2027年高考数学一轮复习第一章　§1.3　等式性质与不等式性质学案含解析

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1.两个实数比较大小的方法
作差法a−b>0⇔a>b,a−b=0⇔a=b,a−bc⇒a>c；
性质3 可加性：a>b⇔a+c>b+c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，cd⇒a+c>b+d；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a1，则b>a. ( × )
(3)同向不等式具有可加性和可乘性. ( × )
(4)若1a>1b，则bb，则ac2>bc2
B.若a>b，c>d，则a-c>b-d
C.若a>|b|，则a2>b2
D.若a>b，则1a>1b
答案 C
解析 当c=0时，ac2=bc2，A不成立；
2>1，3>-1，而2-30，所以a2>b2，C正确.
3.设M=2a2+5a+4，N=(a+1)(a+3)，则M与N的大小关系为( )
A.M>NB.M=N
C.M0，所以M>N.
4.已知实数a∈(1，3)，b∈18，14，则ab的取值范围是 .
答案 (4，24)
解析 ∵b∈18，14，
∴40)
答案 AD
解析 ∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，
∴x2-2x>-3，故A正确；
a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).
∵(a-b)2≥0，a+b的符号不确定，
∴a3+b3与a2b+ab2的大小不确定，故B错误；
∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，
∴a2+b2≥2(a-b-1)，故C错误；
a+2 026b+2 026-ab=2 026(b−a)b(b+2 026)，
∵b>a>0，∴2 026(b−a)b(b+2 026)>0，
∴abN
解析 方法一 M-N=e2 024+1e2 025+1-e2 025+1e2 026+1
=(e2 024+1)(e2 026+1)−(e2 025+1)2(e2 025+1)(e2 026+1)
=e2 024+e2 026−2e2 025(e2 025+1)(e2 026+1)=e2 024(e−1)2(e2 025+1)(e2 026+1)>0，
∴M>N.
方法二 令f(x)=ex+1ex+1+1
=1e(ex+1+1)+1−1eex+1+1=1e+1−1eex+1+1，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 024)>f(2 025)，即M>N.
思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
跟踪训练1 (1)已知c>1，且x=c+1-c，y=c-c−1，则x，y之间的大小关系是( )
A.x>y
B.x=y
C.x0，y>0，又xy=c+1−cc−c−1=c+c−1c+1+c1，则f(c+1)0，则下列不等式一定成立的是( )
A.bab+1b
C.a+ab>b+baD.2a+ba+2b>ab
答案 AC
解析 对于A，ba-b+1a+1=b−aa(a+1)，因为a>b>0，所以b-a0，
所以b−aa(a+1)0，ab>0，但ab与1的大小不确定，故a+1a与b+1b的大小不确定，故B错误；
对于C，a+ab-b+ba=ab+ab-ab+ba=a2b+a2−ab2−b2ab=(a−b)(ab+a+b)ab，因为a>b>0，所以a-b>0，ab>0，ab+a+b>0，所以(a−b)(ab+a+b)ab>0，即a+ab-b+ba>0，于是a+ab>b+ba，故C正确；
对于D，2a+ba+2b-ab=(2a+b)b−a(a+2b)b(a+2b)=(b−a)(b+a)b(a+2b)，因为a>b>0，所以b-a0，a+2b>0，所以(b−a)(b+a)b(a+2b)b，故A符合题意；
对于B，因为1b>1a>0，所以1b-1a=a−bab>0，且ab>0，所以a-b>0，即a>b，故B符合题意；
对于C，因为ac2>bc2，所以ac2-bc2=a−bc2>0，且c2>0，即a>b，故C符合题意；
对于D，取a=-1，b=0，满足a2>b2，但ab>0，则下列不等式正确的是( )
A.a2>ab
B.aa+1>bb+1
C.a+b+ln(ab)>2
D.a-1a>b-1b
答案 ABD
解析 对于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正确；
对于B，∵a>b>0，∴1ab-1b，故D正确.
题型三 不等式性质的综合应用
例3 (1)(多选)已知-16，故a>c；
由b-c=(7+2)-(6+3)，且(6+3)2=9+218>9+214=(7+2)2，故c>b.
所以a>c>b.
10.若a，b同时满足下列两个条件：
①a+b>ab；②1a+b>1ab.
请写出一组a，b的值： .
答案 a=-1，b=2(答案不唯一)
解析 容易发现，若将①式转化为②式，
需使(a+b)ab0，ab0，则|a|0，b0，则|a|>|b|，
可取a=2，b=-1.
综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.
四、解答题(共28分)
11.(13分)证明下列不等式：
(1)已知a>b>1，db>0，c1，则a-1>0，b-1>0，
故(a-1)(b-1)>0，
由d0，cb-d>0，b-aeb−d.
方法二 ∵c0，
又a>b>0，∴a-c>b-d>0，
∴00，M=minx，1y，1x+y，所以M>0，0