2027年高考数学一轮复习第一章　§1.5　基本不等式的综合应用学案含解析

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题型一 与基本不等式有关的恒(能)成立问题
例1 (1)(2025·达州模拟)已知a>0，b>0，若不等式ma+b≤4a+9bab恒成立，则实数m的最大值为( )
A.64B.25C.13D.12
答案 B
解析 a>0，b>0，则a+b>0，
不等式ma+b≤4a+9bab恒成立，即m≤4a+9bab·(a+b)恒成立，
4a+9bab·(a+b)=4b+9a(a+b)=13+4ab+9ba≥13+24ab·9ba=25，
当且仅当4ab=9ba，即b=23a时，等号成立，
所以m≤25，即实数m的最大值为25.
(2)若正实数x，y满足x+y=1，且不等式4x+1+1y92，解得m32.
思维升华 ∀x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)min≥a，∀x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)max≤a；∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a，∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
跟踪训练1 (1)(2026·遵义模拟)“a=9”是“不等式(x+y)1x+ay≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当a=9时，对于任意正实数x，y，
(x+y)1x+9y=10+yx+9xy≥10+2yx·9xy=16，当且仅当y=3x时取等号，
即此时不等式(x+y)1x+ay≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立，充分性成立；
当不等式(x+y)1x+ay≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立时，
(x+y)1x+ay=1+a+yx+axy≥1+a+2yx·axy=1+a+2a，
当且仅当y=ax时取等号，
此时需满足1+a+2a≥8(a>0)，解得a≥(22−1)2，此时a不一定等于9，必要性不成立，
故“a=9”是“不等式(x+y)1x+ay≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件.
(2)若两个正实数x，y满足x+2y=xy，且存在这样的x，y使不等式2x+y0，y>0，x+2y=xy得2x+1y=1，
2x+y=(2x+y)2x+1y=5+2xy+2yx≥5+22xy·2yx=9，
当且仅当x=y=3时，等号成立，
则要使不等式2x+y9即可，
解得m1，即m的取值范围为(-∞，-9)∪(1，+∞).
题型二 基本不等式的实际应用
例2 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x(x∈N*)台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=2x2+80x,00，y>0时，1x+4y≥mx+y，则实数m的最大值为( )
A.9B.8C.4D.1
答案 A
解析 因为当x>0，y>0时，1x+4y≥mx+y，可得(x+y)1x+4y≥m，
又因为(x+y)1x+4y=yx+4xy+5≥2yx·4xy+5=9，
当且仅当yx=4xy，即y=2x时，等号成立，
可得m≤9，所以实数m的最大值为9.
3.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a47
答案 A
解析 当x∈(0，2]时，由ax2-2x+3a0，
mxym−1≤x+2y恒成立，
即mm−1≤x+2yxy=2x+1y恒成立，
又2x+1y=2x+1y(2x+y)=5+2yx+2xy
≥5+22yx·2xy=9，
当且仅当x=y=13时，等号成立，
故mm−1≤9，即mm−1-9=−8m+9m−1≤0，
即(m−1)(−8m+9)≤0,m−1≠0,
解得mb，则a2+b2a−b的最小值为 .
答案 22
解析 函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)，
令ax2+2x+b=0，
则有Δ=4−4ab=0,a>0,即ab=1，且a>0，所以b>0，
又a>b，所以a-b>0，
所以a2+b2a−b=(a−b)2+2aba−b=(a-b)+2a−b
≥22a−b·(a−b)=22，
当且仅当a-b=2，且ab=1，
即a=6+22，b=6−22时等号成立，
所以a2+b2a−b的最小值为22.
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2025·武汉模拟)已知x，y都是正数，且2x+1y=1.
(1)求2x+y的最小值；(6分)
(2)已知不等式λ(x+2y)≤(3x+2y)2恒成立，求实数λ的取值范围.(7分)
解 (1)由题意知x>0，y>0，
则2x+y=(2x+y)2x+1y
=4+2xy+2yx+1≥5+22xy·2yx=9，
当且仅当2xy=2yx,2x+1y=1,x>0,y>0,即x=y=3时取等号，
此时2x+y的最小值为9.
(2)方法一 由题意知λ≤(3x+2y)2x+2ymin.
因为y=xx−2，x-2>0，
所以(3x+2y)2x+2y=3x+2xx−22x+2xx−2=(3x−4)2x−2
=[3(x−2)+2]2x−2=9(x-2)+4x−2+12
≥29(x−2)·4x−2+12=24，
当且仅当9(x-2)=4x−2，即x=83，y=4时，等号成立.
所以λ≤24，即λ的取值范围为(-∞，24].
方法二 由2x+1y=1，得x+2y=xy>0，又λ(x+2y)≤(3x+2y)2恒成立，
所以λ≤(3x+2y)2x+2ymin，
因为(3x+2y)2x+2y=(3x+2y)2xy=9x2+12xy+4y2xy
=9xy+4yx+12≥29xy·4yx+12=24，
当且仅当x+2y=xy>0，且9xy=4yx，
即x=83，y=4时等号成立.所以λ≤24，即λ的取值范围为(-∞，24].
10.(15分)(2025·曲靖模拟)某村原有一块矩形ABCD场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地AEGF.为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点B在AE上，点D在AF上，且对角线EF经过点C，如图所示.已知AB=16 m，AD=12 m，设DF=x m，矩形AEGF的面积为y m2.
(1)写出y关于x的表达式，并求出x为多少时，y有最小值；(8分)
(2)要使矩形AEGF的面积大于1 024 m2，则DF的长应在什么范围内？(7分)
解 (1)由题图知CD∥AE，
所以DFAF=CDAE，即xx+12=16AE，
解得AE=16(x+12)x，
所以y=16(x+12)x·(x+12)=16(x+12)2x(x>0).
因为y=16(x+12)2x=16x+144x+24
≥162x·144x+24=768，当且仅当x=12时，等号成立，
所以当x=12时，y取得最小值768.
(2)因为矩形AEGF的面积大于1 024 m2，
所以16(x+12)2x>1 024，
化简得x2-40x+144>0，
即(x-4)(x-36)>0，
解得0AD)的周长为24，将△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后与DC交于点P.设AB=x，则DP= (用x表示)，当△ADP的面积最大时，x= .
答案 12x−72x(6