2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 04-第二节 常用逻辑用语（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 04-第二节 常用逻辑用语（教用），共15页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
第二节 常用逻辑用语
课标要求
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.
2.理解判定定理与充分条件的关系，理解性质定理与必要条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系.
3.理解全称量词与存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
回归教材 强基础
1．充分条件和必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则:
【答案】充分不必要； 必要不充分
2．全称量词和存在量词
【答案】∀； ∃
3.全称量词命题和存在量词命题
点拨 含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（ ）
（2） 全称量词命题一定有全称量词，存在量词命题一定有存在量词.（ ）
（3） “(x−1)(x−2)=0”的充要条件是“x=1且x=2”.（ ）
（4） ∃x∈M,p(x)与∀x∈M,¬p(x)的真假性相反.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．多选 （人教A版必修第一册P27例1改编）下列命题是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A. ∀x∈R，x2−x+1>0
B. ∃x∈R，sinx=2
C. 存在一个无理数，它的平方是有理数
D. 平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上
【答案】AD
3．已知命题p:∀x∈R,2025x+x2026>0,则命题p的否定是（ ）
A. ∀x∈R,2025x+x2026≤0B. ∃x∈R,2025x+x20260，则“a21,x2−2x−3≥0
【答案】D
【解析】命题“∃x>1,x2−2x−31,x2−2x−3≥0”.故选D.
角度2 含量词命题真假的判断
例8 多选 下列四个命题中为真命题的是（ ）
A. ∀x∈R，2x−1>0B. ∀x∈N∗，(x−1)2>0
C. ∃x∈R，lgx1;命题q:∃x>0,x3=x.则（ ）
A. p和q都是真命题B. ¬p和q都是真命题
C. p和¬q都是真命题D. ¬p和¬q都是真命题
【答案】B
【解析】解法一：由绝对值的非负性知，∀x∈R,|x+1|≥0,∴p为假命题.
∵x3=x,∴x3−x=0，即x(x2−1)=0,
∴x=0或x=±1,即∃x=1,使得命题q成立，∴q为真命题.
综上，¬p,q都是真命题，故选B.
解法二（特殊值法）：
当x=0时，|x+1|=1,不满足|x+1|>1,故命题p为假命题.
当x=1时，13=1,故命题q为真命题,
∴¬p,q都是真命题.
归纳总结
1.判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x，证明p(x) 成立；判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在集合M 中找到一个x，使p(x) 成立即可.
2.因为命题p 和¬p 的真假性相反，所以当直接判断一个命题的真假有困难时，可以先判断此命题的否定的真假.
角度3 含量词命题的应用
例10 若“∀x∈R，ax2−2ax+3>0恒成立”是假命题，则a的取值范围为（ ）
A. (−∞,0)B. (−∞,0)∪(3,+∞)
C. [3,+∞)D. (−∞,0)∪[3,+∞)
【答案】D
【解析】当a=0时，3>0恒成立，此时题中命题是真命题；当a≠0时，若题中命题是真命题，则a>0,Δ=4a2−12a