2027年高考数学一轮复习第五章　§5.5　复　数学案含解析

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1.复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数的实部，b是复数的虚部，i为虚数单位.
(2)复数的分类：
复数z=a+bi(a，b∈R)
复数实数(b=0),虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
(3)复数相等：
a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：
a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c，b=-d(a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：
向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=a2+b2(a，b∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z=a+bi(a，b∈R)平面向量OZ.
3.复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=
(a+c)+(b+d)i；
②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=
(a-c)+(b-d)i；
③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=
(ac-bd)+(ad+bc)i；
④除法：z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)
=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i(c+di≠0).
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ=OZ1+OZ2，Z1Z2=OZ2-OZ1.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z=a+bi(a，b∈R)中，虚部为bi. ( × )
(2)原点是实轴与虚轴的交点. ( √ )
(3)已知z=a+bi(a，b∈R)，当a=0时，复数z为纯虚数. ( × )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( √ )
2.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z=-1-i，则|z|等于( )
A.0B.1C.2D.2
答案 C
解析 若z=-1-i，则|z|=(−1)2+(−1)2=2.
3.(2025·长春模拟)复数z=2i+1的共轭复数为( )
A.1-iB.1+i
C.2-2iD.2+2i
答案 B
解析 由题意得，z=2(1−i)(1+i)(1−i)=1-i，
∴z=1+i.
4.(2025·潍坊模拟)在复平面内，复数z=5i1−2i对应的点的坐标为( )
A.(-2，1)B.(2，-1)
C.(-2，i)D.(2，-i)
答案 A
解析 因为z=5i1−2i=5i·(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5·(i+2i2)5=-2+i.
所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-2，1).
1.熟记与复数有关的常用结论
(1)(1±i)2=±2i；1+i1−i=i；1−i1+i=-i.
(2)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*).
(3)z·z=|z|2=|z|2，|z1·z2|=|z1|·|z2|，z1z2=|z1||z2|，|zn|=|z|n(n∈N*).
(4)r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；
|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
2.谨防两个易误点
(1)利用复数相等a+bi=c+di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.
题型一 复数的概念及运算
命题点1 复数的概念
例1 (1)(2025·温州模拟)若复数a2-2a+ai是纯虚数，则实数a= .
答案 2
解析 由题意得a2−2a=0,a≠0⇒a=2.
(2)(2025·全国Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为( )
A.-1B.0C.1D.6
答案 C
解析 因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1.
思维升华 解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)复数是实数的条件：①z=a+bi∈R⇔b=0(a，b∈R)；②z∈R⇔z=z；③z∈R⇔z2≥0.
(3)复数是纯虚数的条件
①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a，b∈R)；
②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0)；
③z是纯虚数⇔z2|CE|=22，
所以|ZE|min=22，即|z-2-3i|的最小值为22.
复数的三角形式
1.复数的三角形式
(1)复数的辐角
以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角.
我们规定在0≤θ