2027年全国高考数学一轮复习讲义 1.2 常用逻辑用语

这是一份2027年全国高考数学一轮复习讲义 1.2 常用逻辑用语，共5页。
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
考点一 充分、必要条件的判定
考点二 充分、必要条件的应用
考点三 含量词命题的否定及真假判断
考点四 含量词命题的应用
考点一 充分、必要条件的判定
1．（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
2．（2026·山东枣庄·三模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．（2026·河南开封·模拟预测）“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2026·天津东丽·二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点二 充分、必要条件的应用
5．（2026·福建泉州·模拟预测）“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．
7．（25-26高三上·山东德州·月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知集合，．
(1)若且，求实数的取值范围；
(2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
9．（25-26高三上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．（25-26高三上·山西·月考）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
考点三 含量词命题的否定及真假判断
11．（2026·吉林·三模）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
12．（2026·湖南长沙·一模）已知命题:，，则该命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（ ）
A．真，B．真，
C．假，D．假，
14．（25-26高三上·广东广州·月考）已知命题，；命题，，则（ ）
A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假
15．（25-26高三上·辽宁·月考）设命题，则的真假性与否定形式分别为（ ）
A．假命题，B．真命题，
C．假命题，D．真命题，
考点四 含量词命题的应用
16．（2026高三上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________．
17．（25-26高三上·辽宁·期末）已知命题，为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
18．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________．
20．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知命题p：“，”为假命题，记实数t的所有取值组成集合A．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
1．（2026·重庆·模拟预测）已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·天津北辰·二模）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2026·四川达州·二模）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．（25-26高三上·陕西西安·期中）命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．（25-26高三上·辽宁·月考）设命题，，则的真假性与否定形式分别为（ ）
A．假命题，，B．真命题，，
C．假命题，，D．真命题，，
7．（23-24高三上·江苏南京·阶段检测）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）
A．B．C．4D．5
8．（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2026·山东泰安·模拟预测）若，下列选项中，使成立的充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）若，则成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
11．（25-26高三上·新疆哈密·期中）（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）
A．-7B．-3C．3D．7
12．（25-26高三上·陕西西安·月考）（多选）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的可能取值为（ ）．
A．B．C．D．
13．（25-26高三上·广东梅州·月考）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．
14．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知命题，使得为假命题，则实数的取值范围是__________.
15．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）（1）若“，使得”是假命题，求实数m的取值范围；
（2）设集合，若，求实数a的取值范围.
16．（25-26高三上·江苏无锡·月考）设命题，不等式恒成立;命题.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏ p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏ p
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中的任意一个x,有p(x)成立
存在M中的元素x,p(x)成立
简记
∀x∈M,p(x)
∃x∈M,p(x)
否定
∃x∈M, ¬p(x)
∀x∈M, ¬p(x)
1.2 常用逻辑用语
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
考点一 充分、必要条件的判定
考点二 充分、必要条件的应用
考点三 含量词命题的否定及真假判断
考点四 含量词命题的应用
考点一 充分、必要条件的判定
1．（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断.
【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”，
但“”不成立，故充分性不成立；
若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立；
所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件.
2．（2026·山东枣庄·三模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件中的推出关系判断，结合共线向量定理求解即可，要注意定理中的条件是为非零向量.
【详解】若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得，
所以，
因为与均为非零向量的倍数，
所以与共线，即，充分性成立.
若，当时，，所以；
当时，存在实数，使得，所以，
假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，，
所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立.
综上，“”是“”的充要条件.
3．（2026·河南开封·模拟预测）“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】求函数定义域后分析函数为奇函数的条件，最后根据充分、必要条件判断即可
【详解】由，解得,即函数的定义域为，关于原点对称，
令，因为，所以为奇函数.
此时，则，
若为奇函数，则，即，
因为不恒为0，所以对所有成立，展开得，即.
若，则,,则为奇函数.
故“”是“函数为奇函数”的充要条件.
4．（2026·天津东丽·二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分性与必要性定义，结合函数的定义域与单调性判断即可得.
【详解】若，此时、无意义，故充分性不成立；
若，由函数在定义域内单调递增，故，即必要性成立；
故“”是“”的必要不充分条件.
考点二 充分、必要条件的应用
5．（2026·福建泉州·模拟预测）“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数求出的单调性和极值点，结合题意，分析可得a的范围，根据充分、必要条件的定义，结合选项，分析即可得答案.
【详解】由题意，令，解得或，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以的极小值为，
因为区间内存在最小值，所以极小值点0在区间内，
则，解得，
令，解得，或，
所以，解得，
综上，函数在区间内存在最小值时，
要满足“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件，
即所求为的真子集，
分析选项可得，只有符合题意.
6．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】先求出，对应的集合，由题设可得，，进而得到是的真子集，根据包含关系求解即可.
【详解】由，则，
由，则，即，
因为是的必要不充分条件，所以，，
则是的真子集，
则，等号不能同时成立，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
7．（25-26高三上·山东德州·月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解.
【详解】由，得或，
因为是的必要不充分条件，
所以是的真子集，
当时，，符合题意；
当时，，
因为是的真子集，所以，解得；
当时，，
因为是的真子集，所以，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
8．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知集合，．
(1)若且，求实数的取值范围；
(2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据元素与集合的关系可得关于的不等式，故可求其范围；
（2）根据条件关系的集合的包含关系，从而可得关于的不等式，故可求其范围.
【详解】（1）因为且，故，故.
（2），
因为是的必要不充分条件，故为的真子集，
而，故且即.
9．（25-26高三上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可.
【详解】依题意知：，，
因为是的必要不充分条件，
所以⫋，所以，解得.
故选：C
10．（25-26高三上·山西·月考）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)的取值范围为；
(2)的取值范围是.
【分析】（1）化简集合，由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得；
（2）由必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得.
【详解】（1）不等式可化为，
所以，
所以或，
所以或，
所以不等式的解集为，
所以，
由，可得，
因为，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为.
（2）由题意可得，是的必要不充分条件，故是的真子集，
又，，
则，解得，故实数的取值范围是．
考点三 含量词命题的否定及真假判断
11．（2026·吉林·三模）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定定义写出.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
12．（2026·湖南长沙·一模）已知命题:，，则该命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据命题的否定判断即可.
【详解】根据命题的否定得该命题的否定为：.
13．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（ ）
A．真，B．真，
C．假，D．假，
【答案】B
【分析】根据命题的真假判断即可.
【详解】，故命题为真．
又，．
14．（25-26高三上·广东广州·月考）已知命题，；命题，，则（ ）
A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假
【答案】C
【分析】分别判断命题和命题的真假即可.
【详解】，，所以命题为假命题；
，都有，命题为真命题.
故选：C
15．（25-26高三上·辽宁·月考）设命题，则的真假性与否定形式分别为（ ）
A．假命题，B．真命题，
C．假命题，D．真命题，
【答案】C
【分析】通过构造函数，利用导数判断单调性就可判断命题的真假性；命题的否定将存在量词改成全称量词，并否定结论即可得到.
【详解】由题意得，设，，则，
当时，，，，在上单调递增，
又，当时，，即，，
不存在，使得，故命题为假命题，
根据命题的否定形式，将存在量词改成全称量词，并否定结论即可.
故选：.
考点四 含量词命题的应用
16．（2026高三上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据命题真假判断方程解求的范围，再结合不等式求的范围，最终取交集即可.
【详解】因为命题p：“，”是假命题，
所以命题p的否定“，”是真命题，
则方程无解，即，解得；
又因为命题q：，是真命题，所以，
对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值，
当时最小值为，即
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：.
17．（25-26高三上·辽宁·期末）已知命题，为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据命题的否定及不等式恒成立问题即可求解.
【详解】由题意可转换为，，
当时，，符合题意；
当时，由恒成立知，得，
综上：的取值范围是.
故选：C.
18．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解集可求得实数的取值范围.
【详解】因为命题为真命题，
所以不等式的解集为，
若，则不等式可化为，满足题意；
若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，
解得，综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
19．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围.
【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题．
所以对任意实数，方程都有实数解．
故而对任意固定的实数都有解．
即关于的不等式对任意固定的实数都有解．
对不等式分情况讨论：
①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解.
当时,关于的二次函数开口向上,
其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意.
②.若,即.关于的二次函数开口向下,
其最大值为.
要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负,
即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意.
因此，的取值范围是．
故答案为：
20．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知命题p：“，”为假命题，记实数t的所有取值组成集合A．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或．
(2)
【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可；
（2）若是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可.
【详解】（1）由题意可知为假命题时，关于x的方程无解，
则，即，解得或，故集合或．
（2）因为是的必要不充分条件，所以，
易知，所以或，
解得或，
故实数m的取值范围为．
1．（2026·重庆·模拟预测）已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解，得，
因为是的既不充分又不必要条件，所以和互不包含，
所以，所以的取值范围是.
2．（2026·天津北辰·二模）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用充分条件与必要条件定义，结合直线与平面的位置关系判断即可得.
【详解】由，，若，则与可能平行也可能相交；
由，，若，则与可能平行、可能异面也可能相交；
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
3．（2026·四川达州·二模）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】当时，向量，，则，即,故充分性成立；
当时，满足,即，解得：或,所以必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件
4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【详解】由全称命题的否定是特称命题可知：命题“，”的否定为，.
5．（25-26高三上·陕西西安·期中）命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】命题，的否定是：，.
6．（25-26高三上·辽宁·月考）设命题，，则的真假性与否定形式分别为（ ）
A．假命题，，B．真命题，，
C．假命题，，D．真命题，，
【答案】C
【分析】根据指数函数和余弦函数的值域，先判断命题的真假，再写出其否定形式即可.
【详解】易得时，，故为假命题，
由存在量词命题的否定为全称量词命题可得，.
故选：C.
7．（23-24高三上·江苏南京·阶段检测）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】A
【分析】由题意得到，成立是真命题，转化为在上恒成立，由基本不等式得到，从而得到，从而求出答案．
【详解】由题意得：，成立是真命题，
故在上恒成立，
由基本不等式得：，当且仅当，
即时，等号成立，
故，
故选：A．
8．（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意，是的子集，利用子集思想求解即可.
【详解】是的必要不充分条件，则是的子集，
又因为，或，所以.
故选：C.
9．（2026·山东泰安·模拟预测）若，下列选项中，使成立的充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解不等式，得，
则不等式的解集为，
记使不等式成立的充分不必要条件为集合，
则集合为集合的真子集，
所以集合.
10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）若，则成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】结合充分条件、必要条件的定义，由函数单调性和举反例进行判断，得到结论
【详解】A选项，若，则，
若，则，若，则，所以，充分性成立，
若，不妨设，但不满足，必要性不成立，A正确；
B选项，若，不妨设，此时，充分性不成立，B错误；
C选项，若，则，充分性成立，
当时，无意义，必要性不成立，C正确；
D选项，若，则，当时，，
故为成立的充分必要条件，D错误.
11．（25-26高三上·新疆哈密·期中）（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）
A．-7B．-3C．3D．7
【答案】ACD
【分析】解一元二次不等式，结合充分不必要的定义列式求解即可.
【详解】，即，解得，
，即，
解得或，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
所以或，即或.
故选： .
12．（25-26高三上·陕西西安·月考）（多选）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的可能取值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由题意可得根据题意推出是A的真子集，分，讨论，即可求得实数的可能取值范围，从而得结论．
【详解】由题意集合，，
因为“”是“”的必要不充分条件，故是A的真子集，
当时，则，即时，符合题意，
当时，则，所以，
综上，实数的范围为，结合选项可知AB符合题意.
故选：AB．
13．（25-26高三上·广东梅州·月考）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．
【答案】．
【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可.
【详解】由题可得：，，
因为“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集；
所以，解得：，
检验：时，，满足条件；
时，，满足条件；
所以综上，实数的取值范围为：；
故答案为：
14．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知命题，使得为假命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】利用命题的否定为真命题，分离参数，将问题转化为求函数的最值问题，即可求得实数的取值范围.
【详解】因为命题，使得为假命题，
所以命题，使得为真命题，
即恒成立，即.
令，则.
若，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为.
所以实数的取值范围是：.
故答案是：.
15．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）（1）若“，使得”是假命题，求实数m的取值范围；
（2）设集合，若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）先求出真命题，然后根据二次函数的性质求解即可；
（2）分和两种情况讨论，分别求出对应的的范围，然后取并集即可.
【详解】（1）因为“，使得”是假命题，
所以其否定为“，使得”是真命题，
所以，解得，
（2）若，当时，有，解得;
当时，如图，
或
有或，
解得或，
综上可得，或.
16．（25-26高三上·江苏无锡·月考）设命题，不等式恒成立;命题.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
（2）根据真假或假真，列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）对于命题，不等式恒成立，
当时，恒成立.
当时，则需，解得.
综上所述，的取值范围是.
（2）由得，
所以，解得.
若真假，则“”且“或”，则.
若假真，则“或”且“”，则.
综上所述，的取值范围是或.
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏ p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏ p
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中的任意一个x,有p(x)成立
存在M中的元素x,p(x)成立
简记
∀x∈M,p(x)
∃x∈M,p(x)
否定
∃x∈M, ¬p(x)
∀x∈M, ¬p(x)