新高考数学一轮复习考点学案第1章§1.2常用逻辑用语（含答案解析）

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1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.( )
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.( )
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.( )
(4)命题“∃x∈R，sin2x2＋cs2x2＝12”是真命题.( )
2.(2025·南通模拟)命题“∀x∈R，2x2－3x＋4>0”的否定为( )
A.∀x∈R，2x2－3x＋4≤0
B.∃x∈R，2x2－3x＋4>0
C.∃x∉R，2x2－3x＋4≤0
D.∃x∈R，2x2－3x＋4≤0
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.设p：1≤x≤4，q：x0；乙：{Sn}是递增数列，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型二 充分、必要条件的应用
例2 (1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 .
(2)已知p：x>1或xa(a为实数).若綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是 .
思维升华 求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
跟踪训练2 (1)已知p：1x>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是( )
A.[0，＋∞)B.[1，＋∞)
C.(－∞，0]D.(－∞，1]
(2)设p：0≤x≤2，q：m－1≤x≤m＋2.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 .
题型三 全称量词与存在量词
命题点1 含量词的命题的否定
例3 (多选)下列说法正确的是( )
A.“菱形是正方形”是全称量词命题
B.“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y20
B.∃x∈R，x2＋10，x＋y≥2xy
D.∃x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x＋sin y
命题点3 含量词的命题的应用
例5 (2025·台州模拟)若命题“∀x∈R，x2－x－m≠0”是假命题，则实数m的取值范围是 .
思维升华 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
跟踪训练3 (1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则( )
A.p和q都是真命题
B. 綈p和q都是真命题
C.p和綈q都是真命题
D. 綈p和?綈都是真命题
(2)已知命题“∃x∈[－1，2]，x2－3x＋a>0”是假命题，则实数a的取值范围是 .
答案精析
落实主干知识
1.充分 必要 p⇒q且qp 充要
2.(1)∀ (2)∃
3.∃x∈M，?p(x) ∀x∈M，?p(x)
自主诊断
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.D [命题“∀x∈R，2x2－3x＋4>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是“∃x∈R，2x2－3x＋4≤0”.]
3.C
4.4，＋∞
解析 由p是q的充分条件，
且p：1≤x≤4，q：x0，如数列－10，－9，－8，－7，…，0，1，2，…，则数列的前n项和Sn先减后增；
若{Sn}是递增数列，如Sn＝n，则an＝1，{an}为常数列也为等差数列，且d＝0；
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.]
例2 (1)(－∞，1) (－∞，1]
解析 因为p：x≤1，q：x≤a，
若p是q的必要不充分条件，则(－∞，a](－∞，1]，因此a1可得x(x－1)