2027年高考数学一轮复习第一章　§1.4　基本不等式学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第一章　§1.4　基本不等式学案含解析，共14页。

1.基本不等式：ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.
(3)其中a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P.
(2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤a+b22与ab≤a+b2成立的条件是相同的. ( × )
(2)y=x+1x的最小值是2. ( × )
(3)y=x(2-x)的最大值是1. ( √ )
(4)若x>0，y>0且x+y=xy，则xy的最小值为4. ( √ )
2.(2025·延庆模拟)已知x0时，y=x-1x单调递增，其值域为R，B选项错误；
若x∈R且x≠0，则x+1x=|x|+1x≥2|x|·1x=2，
当且仅当|x|=1x，即x=-1或x=1时等号成立，C选项正确；
x2+1x2+1=x2+1+1x2+1-1≥2(x2+1)·1x2+1-1=1，
当且仅当x2+1=1x2+1，即x=0时等号成立，D选项正确.
4.已知x>0，y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为 .
答案 8
解析 方法一 由x>0，y>0，2x+y=xy，
可得y=2xx−1>0，则x>1，
则2x+y=2x+2xx−1=2x2x−1
=2(x−1)2+4(x−1)+2x−1
=2(x-1)+2x−1+4
≥22(x−1)·2x−1+4=8，
当且仅当2(x-1)=2x−1，即x=2时，等号成立，
所以2x+y的最小值为8.
方法二 由x>0，y>0，2x+y=xy，得2y+1x=1，
所以2x+y=(2x+y)2y+1x=4xy+yx+4≥24xy·yx+4=8，
当且仅当4xy=yx，2x+y=xy，
即x=2，y=4时，等号成立，
所以2x+y的最小值为8.
1.灵活应用两个基本不等式的变形公式
(1)ab+ba≥2(a，b同号，当且仅当a=b时，等号成立)；
(2)21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a>0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立).
2.谨防两个易误点
(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误.
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.
题型一 基本不等式的理解及常见变形
例1 (1)(多选)下列说法不正确的是( )
A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2ab
B.x+4x的最小值是4
C.x2+2+1x2+2的最小值为2
D.存在a，使得a+1a0时，x+4x≥2x·4x=4(当且仅当x=2时取等号)，当xab>a+b2>a
C.b>a+b2>ab>aD.b>a>a+b2>ab
答案 C
解析 ∵0a+b2>ab.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴ab>a.
故b>a+b2>ab>a.
思维升华 基本不等式的常见变形
(1)ab≤a+b22≤a2+b22.
(2)21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a>0，b>0).
跟踪训练1 (1)已知p：a>b>0，q：a2+b22>a+b22，则p是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵a>b>0，则a2+b2>2ab，
∴2(a2+b2)>a2+b2+2ab，
∴2(a2+b2)>(a+b)2，
∴a2+b22>a+b22，∴由p可推出q；
当a0时，a+b2>0，则a+b22-a2+b222=a2+b2+2ab−2a2−2b24=−(a−b)24≤0恒成立，即a+b2≤a2+b22恒成立，当a+b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项，当a+b>0时，2ab-(a+b)22=−(a−b)22≤0，即2ab≤(a+b)22，2aba+b≤a+b2恒成立，
当a+b0，y>0，且xy=4，则1x+1y的最小值为 .
答案 1
解析 ∵x>0，y>0，且xy=4，
∴1x+1y≥21x·1y=21xy=1，
当且仅当xy=4,1x=1y,即x=y=2时，等号成立，
∴1x+1y的最小值为1.
(2)(人教B版必修第一册P78例4改编)已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为 ，此时x= .
答案 4 1
解析 当x∈(-1，3)时，1+x>0，3-x>0.
由基本不等式可得(1+x)(3−x)≤1+x+3−x2=2，
从而(1+x)(3-x)≤4，即y≤4.
当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立.
从而当x=1时，y取得最大值4.
命题点2 配凑法
例3 (1)(2025·吉林模拟)已知x>3，则y=2x−3+2x的最小值是( )
A.6B.8C.10D.12
答案 C
解析 由x-3>0，则y=2x−3+2(x-3)+6≥22x−3·2(x−3)+6=10，
当且仅当2x−3=2(x-3)，即x=4时等号成立，故最小值为10.
(2)(2026·渭南模拟)已知00，a+1b=1，则b+1a的最小值为 .
答案 4
解析 易知b+1a=b+1aa+1b=ab+1ab+2≥2ab·1ab+2=4，
当且仅当ab=1，即a=12，b=2时取等号，此时b+1a取得最小值4.
命题点4 消元法
例5 已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是( )
A.23B.223C.22D.32
答案 B
解析 因为实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，
所以x=1−y23y，
则2x+y=2−2y23y+y=23y+y3≥223y·y3=223，
当且仅当23y=y3，即y=2时，等号成立，
所以2x+y的最小值是223.
命题点5 构造不等式法
例6 (多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则( )
A.x+y≤1B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1
答案 BC
解析 因为ab≤a+b22≤a2+b22(a，b∈R)，
由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3x+y22，
解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；
由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤x2+y22，
解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；
方法一 因为x2+y2-xy=1可变形为x−y22+34y2=1，
设x-y2=cs θ，32y=sin θ，
所以x=cs θ+33sin θ，y=233sin θ，
因此x2+y2=cs2θ+53sin2θ+233sin θcs θ
=1+33sin 2θ-13cs 2θ+13
=43+23sin2θ−π6∈23，2，所以D错误.
方法二 因为x2+y2≥-2xy，
所以-xy≤x2+y22，
所以1=x2+y2-xy≤x2+y2+x2+y22=32(x2+y2)，
则x2+y2≥23，当且仅当x=-y=±33时等号成立，所以D错误.
方法三 当x=33，y=-33时满足x2+y2-xy=1，
但是x2+y2≥1不成立，所以D错误.
命题点6 齐次化法
例7 (2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6y+6xy的最小值为( )
A.12B.3+22
C.252D.62−32
答案 C
解析 由x+y=2，则x+6y+6xy=2x+12y+122xy
=(x+y)x+6(x+y)y+3(x+y)22xy
=4x2+9y2+13xy2xy=2xy+9y2x+132，
∵x，y为正实数，∴2xy>0，9y2x>0，
∴2xy+9y2x+132≥22xy·9y2x+132=252，
当且仅当2xy=9y2x，即x=65，y=45时，等号成立.
故x+6y+6xy的最小值为252.
思维升华 利用基本不等式求最值时需注意
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有六种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法；六是齐次化法.
跟踪训练2 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A.y=2-3x-4x(x>0)的最大值是2-43
B.函数y=x2+3x+3x+1(x>-1)的最小值为2
C.已知x+y=1，x>0，y>0，则12x+xy+1的最小值为54
D.若正数m，n，满足m+n=2，则m+n的最大值为2
答案 ACD
解析 当x>0时，y=2-3x-4x=2-3x+4x≤2-23x·4x=2-43，当且仅当3x=4x，即x=233时，等号成立，所以y=2-3x-4x(x>0)的最大值是2-43，故A正确；
因为x>-1，则x+1>0，
所以y=x2+3x+3x+1=(x+1)2+x+2x+1=x+1+1x+1+1≥2+1=3，当且仅当x+1=1x+1，
即x=0时，等号成立，故B错误；
因为x+y=1，x>0，y>0，
所以12x+xy+1=x+y2x+xx+2y=14+x+2y4x+xx+2y≥14+214=54，
当且仅当x+2y4x=xx+2y，即x=23，y=13时，等号成立，故C正确；
由(m+n)2=m+n+2mn=2+2mn≤2+(m+n)=4，当且仅当m=n=1时等号成立，
则m+n的最大值为2，故D正确.
(2)已知x>0，y>0，且2x+y=1，则x2+x+3y2xy的最小值为 .
答案 7
解析 ∵x>0，y>0，2x+y=1，
∴x2+x+3y2xy=x2+x(2x+y)+3y2xy
=3x2+xy+3y2xy=3xy+3yx+1
≥23xy·3yx+1=7，
当且仅当3xy=3yx，且2x+y=1，
即x=y=13时，等号成立，
∴x2+x+3y2xy的最小值为7.
课时精练
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(苏教版必修第一册P61练习T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是( )
A.4B.43C.9D.18
答案 D
解析 因为m>0，n>0，mn=81，
由基本不等式得m+n≥2mn=18，
当且仅当m=n=9时，等号成立，
所以m+n的最小值是18.
2.若x>0，则函数y=x2+x+25x的最小值为( )
A.6B.7C.10D.11
答案 D
解析 ∵x>0，∴y=x2+x+25x=x+25x+1
≥2x·25x+1=11，
当且仅当x=25x，即x=5时，等号成立，
∴函数y=x2+x+25x的最小值为11.
3.(2025·德阳模拟)若x>1，则函数y=2x+8x−1的最小值为( )
A.8B.9C.10D.11
答案 C
解析 若x>1，则x-1>0，
所以y=2(x-1)+8x−1+2≥22(x−1)·8x−1+2=10，
当且仅当2(x-1)=8x−1，即x=3时等号成立.
4.(2026·绍兴模拟)已知a>0，b>0，且a+4b=4ab，则a+b的最小值是( )
A.2B.2+1C.94D.52
答案 C
解析 ∵a>0，b>0，a+4b=4ab，
∴1a+14b=1，
∴a+b=(a+b)1a+14b=1+14+ba+a4b≥54+2ba·a4b=94，
当且仅当ba=a4b，即a=32，b=34时，等号成立.
5.(2025·连云港模拟)设a>0，b>-1，且a+b=1，则1a+1b+1的最小值为( )
A.1B.2C.4D.8
答案 B
解析 因为a>0，b>-1，则b+1>0，
因为a+b=1，则a+(b+1)=2，
所以1a+1b+1=12[a+(b+1)]1a+1b+1
=122+ab+1+b+1a
≥122+2ab+1·b+1a=2，
当且仅当b+1a=ab+1,a+(b+1)=2,a>0,b>−1,即a=1,b=0时，等号成立，
因此1a+1b+1的最小值为2.
6.设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则xyz的最大值为( )
A.4B.2C.3D.1
答案 D
解析 因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy，
所以xyz=xyx2+y2−xy=1xy+yx−1≤12xy·yx−1=1，
当且仅当xy=yx(x>0，y>0)，即x=y时，等号成立，故xyz的最大值为1.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的是( )
A.函数y=2x+2x(x-2)的最小值是6
D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8
答案 ACD
解析 A选项，对于函数y=2x+2x(x-2)，x+2>0，
x+16x+2=x+2+16x+2-2≥2(x+2)·16x+2-2=6，
当且仅当x+2=16x+2，即x=2时等号成立，所以C选项正确；
D选项，由基本不等式得x2+y22≥x+y22，
所以x2+y2≥2·x+y22=2×22=8，
当且仅当x=y=2时等号成立，所以D选项正确.
8.(2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是( )
A.ab≤2B.1a+2b≤1
C.a2+b2≥165D.3a+9b≥18
答案 ACD
解析 ab=12·a·2b≤12a+2b22=2，当且仅当a=2b=2时取等号，故A正确；
1a+2b=14(a+2b)1a+2b=145+2ba+2ab≥145+22ba·2ab=94，
当且仅当a=b=43时取等号，故B错误；
a2+b2=(4-2b)2+b2=5b2-16b+16=5b−852+165≥165，
当b=85，a=45时取等号，故C正确；
3a+9b=3a+32b≥23a·32b=23a+2b=18，
当且仅当a=2b=2时取等号，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数f(x)=x+3x−1的最小值为 .
答案 4
解析 函数f(x)=x+3x−1的定义域为(1，+∞)，f(x)=(x−1)+4x−1=x−1+4x−1≥2x−1·4x−1=4，当且仅当x−1=4x−1，即x=5时取等号，故当x=5时，f(x)取得最小值，最小值为4.
10.已知a>-1，b0，2-b=y>0，
则1x+1y=13，a-b=x+y-3
=3(x+y)1x+1y-3=32+yx+xy-3≥32+2yx·xy-3=9.
当且仅当yx=xy,1x+1y=13,
即x=y=6，即a=5，b=-4时等号成立.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求：
(1)x+y的最小值；(4分)
(2)xy的最大值；(4分)
(3)x-y的取值范围.(5分)
解 由题意，正实数x，y满足x+y+xy=8，
(1)由x+y=8-xy≥8-x+y22，
可得(x+y)2+4(x+y)-32≥0，
解得x+y≥4，
当且仅当x=y=2时，等号成立，
故x+y的最小值为4.
(2)方法一 因为x+y+xy=8，x>0，y>0，
所以8-xy=x+y≥2xy，
所以(xy)2+2xy-8≤0，
所以(xy+4)(xy-2)≤0，
所以xy≤2，即xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，所以xy的最大值为4.
方法二 由x+y≥4，可得xy=8-(x+y)≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，
所以xy的最大值为4.
(3)由x+y+xy=8，可得y=8−xx+1，
由x>0,y=8−xx+1>0,可得00，
利用a+b+c≥33abc，
当且仅当a=b=c时等号成立，
得到x3+aa33+aa33≥ax，
所以x3-ax=x3+aa33+aa33-2aa33-ax≥ax-2aa33-ax=-2a3a9，
当且仅当x=a3=3a3时等号成立，
即x3-ax(a>0)，x∈[0，+∞)的最小值为-2a3a9.
[每小题5分，共10分]
13.(2026·重庆模拟)已知x，y均为正实数，若x+y=1，则4x−y+5xy的最小值为 .
答案 25
解析 由x+y=1，可得y=1-x，
代入S=4x−y+5xy中，
可得S=4x−(1−x)+5x(1−x)=-5×x+45x2−x，
设t=x+45，由x>0，y>0得0