数学人教版（2024）18.5 分式方程同步测试题

这是一份数学人教版（2024）18.5 分式方程同步测试题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列方程中是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．若是分式方程的解，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．解分式方程时，去分母后变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知关于的分式方程有增根，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
5．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆)
A．B．C．D．
6．为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（ ）
A．10B．15C．20D．25
7．参加“绿化家园”活动，已知乙班同学每小时比甲班多种2棵树，甲班同学种20棵树与乙班种26棵树所用的时间相同．设甲班每小时种x棵树，则列出的方程是（ ）
A．B．C．D．
8．甲乙两地相距千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了小时．设原来的平均速度为千米/时，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天生产箱药品，则下面所列方程正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
10．如图所示的电路的总电阻为10Ω，若R1＝2R2，则R1，R2的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、填空题
11．观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程：_______．
12．关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的正整数的值之和为____________．
13．关于x的分式方程会产生增根，则______．
14．甲、乙两地之间的高速公路全长200km，比原来国道的长度少了20km，高速公路通车后，某长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多45km，从甲地到乙地的行驶时间是原来的．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，则可得方程___________．
15．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，则所列方程是________．
三、解答题
16．解下列方程：
(1)
(2)
17．已知方程．
(1)若是方程的解，求m的值；
(2)若，解方程．
18．在学习“分式方程的应用”时，王老师给出了如下的例题，小明和小颖两名同学都列出了对应的方程．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)①小明同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：________；
②小颖同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：_________；
(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．
19．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍．
采购清单
(1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值．
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？
(3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板．
①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）．
②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？例：某县城修一条通往市区的快速通道，有甲、乙两个工程队一起施工．已知甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且甲队每天比乙队少修，求乙队每天修路的长度．
小明： 小颖：
单价（元/块）
数量（块）
总价（元）
正方形木板
m
120
长方形木板
300
参考答案
1．【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程．
【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；
B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求；
C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；
D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义，
2．【答案】A
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解，把代入方程解答即可，掌握分式方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：把代入方程得，，
解得，
故选：．
3．【答案】B
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】利用等式的性质给方程两边每一项都乘以最简公分母，注意不能漏乘项．
本题考查分式方程去分母的方法，解题关键是确定最简公分母．
【详解】解：∵
∴该分式方程的最简公分母为，
方程两边同时乘以
得．
故选：B．
4．【答案】C
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
先解分式方程可得，根据分式方程有增根，让最简公分母为确定增根，即可得关于的方程，解方程可求解值即可．
【详解】解：，
整理得：，
解得：，
∵分式方程有增根，
∴，解得：，
∴把代入中，解得：．
故选：C．
5．【答案】D
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程．
【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，
∴1株椽的价钱为文，
∵这批椽的价钱为6210文，
∴1株椽的价钱为文，
∴，
故选：D．
6．【答案】B
【知识点】分式方程的经济问题、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查分式方程的应用．设第二批跳绳每根的进价为x元，则第一批进价为元．根据第二批跳绳数是第一批的1.5倍，列出方程求解．
【详解】设第二批跳绳每根的进价为元，则第一批跳绳每根的进价为元．
∵第一批跳绳数量为根，第二批跳绳数量为根，
且第二批跳绳数是第一批的1.5倍，
根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴第二批跳绳每根的进价是15元．
故选：B．
7．【答案】D
【知识点】分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
根据甲班同学种20棵树与乙班种26棵树所用的时间相同，可以列出相应的分式方程．
【详解】解：甲班每小时种棵树，则乙班每小时种棵树，
由题意可得：，
故选：D．
8．【答案】B
【知识点】列分式方程、分式方程的行程问题
【分析】根据“原时间减去现时间等于时间差”的等量关系，分别用路程除以对应速度表示出原时间和现时间，再列出方程．
【详解】解：原来的平均速度为千米/时，则原行驶时间为小时，
高速公路开通后，平均速度是原来的倍，则速度为千米/时，行驶时间为小时，
根据题意可得．
9．【答案】C
【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键．
设原计划平均每天生产箱药品，则实际每天生产箱药品，由“现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”构造方程．
【详解】解：设原计划平均每天生产箱药品，则实际每天生产箱药品，
现在生产6000箱药品所需时间为天，原计划生产4500箱药品所需时间为天，
由两者时间相等，可列方程．
故选：C．
10．【答案】A
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】结合并联电路的性质，由等量关系，把R1＝2R2，代入得，解这个分式方程即可解答．
【详解】解：， R1＝2R2，
经检验，是分式方程的解，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的应用，涉及公式，掌握相关知识是解题关键．
11．【答案】
【知识点】分式方程的定义、数字类规律探索
【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程．
【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：，
即，
故答案为：．
12．【答案】
14
【知识点】求一元一次不等式的整数解、根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
先解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为非负数和分母不为零的条件确定的取值范围，最后求满足条件的正整数的和．
【详解】解：分式方程，方程两边同时乘以，
得，
整理得，
解得．
由于解为非负数，即，且分母（即），
因此且．
解得且．
又∵为正整数，
∴．
这些值的和为．
故答案为：14．
13．【答案】或6/6或-4
【知识点】分式方程无解问题
【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
【详解】解：方程两边同时乘以，得：
，即
最简公分母为
原方程的增根为
将代入整式方程得：，
将代入整式方程得：，
故答案为：或6，
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
14．【答案】
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据时间关系列出分式方程．
先求出原来国道的长度以及长途汽车在高速公路上的速度，再根据“从甲地到乙地的行驶时间是原来的”这一关系列出方程．
【详解】解：已知高速公路全长，比原来国道的长度少了，所以原来国道的长度为，
设长途汽车在原来国道上行驶的速度为，因为高速公路通车后，长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多，所以在高速公路上的速度为，
根据时间路程速度，原来在国道上行驶的时间为小时，在高速公路上行驶的时间为小时，
又因为从甲地到乙地在高速公路上的行驶时间是原来在国道上的，
所以可列方程．
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】设第一次买本资料，可表示出第二次购买的数量，根据单价等于总价除以数量得到两次的单价，再利用第二次每本比第一次优惠4元的等量关系列出方程．
【详解】解：设第一次买了本资料，
由题意可知，第二次购买资料的数量为本，
根据单价等于总价除以数量，可得第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元，
∵第二次每本优惠4元，即第一次单价比第二次单价多4元，
∴列方程得：．
16．【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键．
（1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
17．【答案】(1)
(2)
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，
对于（1），将方程的解代入原方程，求出m的值即可；
对于（2），将m的值代入原方程，再根据解分式方程的步骤求出解，然后检验．
【详解】（1）解：∵是方程的解，
∴，
解得；
（2）解：当时，，
去分母，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验，.是原方程的根．
18．【答案】(1)①甲队每天修路的长度，甲队修路与乙队修路所用时间相等；
②甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间），甲队每天比乙队少修；
(2)若选小明的方法，乙队每天修路
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查分式方程的工程问题，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出等量关系式是解题的关键．
（1）小明的方法是：设甲队每天修的路为x米，则甲队修路与乙队修路所用时间相等；小颖的方法是：设甲队修路所用时间为y天，乙队每天比甲队多修，以此数量关系列出两个分式方程；
（2）解出分式方程即可．
【详解】（1）解：①甲队每天修路的长度，甲队修路与乙队修路所用的时间相等；
②甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间），甲队每天比乙队少修；
（2）解：若选小明的方法，设甲队每天修，
则有，
解这个分式方程，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：乙队每天修路．
19．【答案】(1)，，；
(2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
(3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块．
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键．
（1）根据题意列出分式方程进行求解即可；
（2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可；
（3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可；
②根据题意，进行求解即可．
【详解】（1）解：填写表格如下：
采购清单
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：；
（2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块．
设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，
根据题意，得，
解得，
答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
（3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，
得，
，
因为都是非负整数，
所以或．
答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；
②所需正方形木板块，长方形块．
所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块，
所以废旧木板共块．
答：这批废旧木板共70块．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
D
B
D
B
C
A
单价（元/块）
数量（块）
总价（元）
正方形木板
120
长方形木板
300