初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.5 分式方程同步测试题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.5 分式方程同步测试题，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．解分式方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A．1 B． C．1 或 D．－1 或
3．关于 x 的分式方程 ，下列说法正确的是（ ）
A． 时，方程的解为负数 B．方程的解是
C． 时，方程的解是正数 D．以上都不对
4．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，
各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译
文如下：现在有绫布和罗布，布长共 3 丈（1 丈 尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入
896 文；绫布和罗布各出售 1 尺共收入 120 文．问两种布每尺各多少钱？
若设某个量为 x，根据题意可列方程 ，则 x（ ）
A．只能表示绫布的长度
B．只能表示罗布每尺的价格
C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度
D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格
5．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.
如图，某路口的斑马线路段 横穿双向行驶车道，其中 米，在绿灯亮时，小
敏共用 22 秒通过 路段，其中通过 路段的速度是通过 路段速度的 1.2 倍，则小敏通过
路段时的速度是（ ）
A．0.5 米/秒 B．1 米/秒 C．1.5 米/秒 D．2 米/秒
6．若关于 的分式方程 有整数解，则符合条件的整数 所有值的和为（ ）
A．4 B．3 C．8 D．7
7．李老师在多媒体上展示了一个关于 x 的方程 ，甲、乙、丙同学分别提出了自
己的结论：
甲：当 时，此方程的解为 ；
乙：若此方程有增根，则 ；
丙：当此方程的解是非负数时，k 的取值范围是 ．
下列判断正确的是（ ）
A．甲乙对，丙错 B．甲丙对，乙错 C．乙丙对，甲错 D．甲乙丙都
对
8．若 ，且关于 x 的分式方程 有正整数解，则满足条件的所有 a 的取值之和
为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
二、填空题
9．有下列方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；
⑦ ；⑧ ；⑨ ，其中是分式方程的是 ．（填序号）
10．已知关于 的方程 的解为 0，则 的值为 ．
11．定义一种新运算：对于任意的非零实数 a，b， ．若 ，则x的值为
．
12．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成 米的地铁轨道安装工作，安装 3 天后
改进了安装技术，每天比原计划多安装 米，结果提前 6 天完成了安装任务，设施工队原计划
每天安装 米，根据题意可列方程为 ．
13．若关于 的不等式组 至少有 2 个整数解，且关于 的分式方程
的解为非负数，则 的取值范围为 ．
三、解答题
14.解方程：
(1) ； (2) ．
15．学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校
雇用了 、 两个施工队， 施工队工作 5 天和 施工队工作 6 天完成的粉刷量相同， 施工
队工作 3 天比 施工队工作 2 天完成的粉刷量多 160 平方米．
(1)求 、 施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？
(2)已知 施工队比 施工队每天的费用低 ，施工结束学校给每个施工队支付了 36000 元，
若 施工队比 施工队多工作 10 天，则 施工队每天的费用是多少元?
16．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚： ．
(1)她把这个数“m”猜成 5，请你帮小华解这个分式方程；
(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表
的数是多少．
17．“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于 2025 年 11 月 9 日在广州开幕．本届
运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、
紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿
景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中 型号纪念品比 型号纪念品的单价多 30 元，用 880
元购买 型号纪念品的数量是用 290 元购买 型号纪念品数量的 2 倍，
(1)求 ， 两种型号纪念品的单价分别是多少元？
(2)若计划购买 ， 两种型号的纪念品共 100 个，且所花费用不超过 6400 元，求最多能购买
多少个 型号的纪念品?
18．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成
为素质教育的新内容和新方式．冬季，我校组织学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生
切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中 1、2 两班各需种植 的草地，
已知 2 班每小时比 1 班多种植 的草地，1 班完成任务所需要的时间是 2 班完成任务所需时
间的 倍．
(1)求 1、2 两班每小时各种植多少 的草地？
(2)制作活动开始 1 小时 分钟后，张老师通知所有学生 1 小时后集中乘车返回．由于 1 班无
法在规定时间完成，2 班决定在完成本班任务后，立即帮助 1 班共同完成剩余任务．如果两班
速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由．
19．若关于 的分式方程 的解为整数，关于 的不等式组 有且仅有 2
个偶数解，则所有满足条件的整数 的值之和．
20．观察下列等式： ； ； ……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)若 为正整数，猜想 _____；
(2)计算： _____；
(3)解关于 的分式方程： ．
参考答案
一、单选题
1．C
【详解】解：等式两边同时乘以 得， ，
故选：C．
2．C
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
去分母： ，
展开： ，
移项： ，
整理得： ．
方程无解时：
当 且 ，即 ，此时方程左边为 0，右边为 ，整式方程无解；
当解出的根为增根 ，代入整式方程： ，解得 ．
∴ 或 ．
故选 C．
3．A
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，解得 ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
当 时，方程无解，
对于选项 A：当 时， ，方程有解 ，且 ，故解为负数，A 正确，
符合题意；
对于选项 B：当 时方程无解，故 B 错误，不符合题意；
对于选项 C：当 时，若 无解，故解不一定为正数，C 错误，不符合题意；
对于选项 D：以上 A 正确，故不符合题意；
故选：A．
4．C
【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为 x 尺，则另一种布的长度为 尺，
由“绫布和罗布各出售 1 尺共收入 120 文”可列方程为： ，
由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，
因此 x 既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度．
故选：C．
5．B
【详解】解：设通过 的速度是 ，
根据题意可列方程： ，
解得 ，
经检验： 是原方程的解且符合题意．
∴通过 时的速度是 1 米/秒
故选 B．
6．D
【详解】解： ，
，
两边同乘 （ ），
，
，
整理得： ，
，
∵ 为整数且 ，
∴ 为 的约数，即 或 或 或 ，
当 即 ，则 ，
当 即 ，则 （舍去），
当 即 ，则 ，
当 即 ，则 ，
∴ 或 4 或 0，
其和为 .
故选：D.
7．A
【详解】解：原方程：
，
两边同乘 ，
，
简化得 ，
∴ ，
∴ ，且
即 ，
∴ ；
验证甲：当 时， ，且 ，正确．
验证乙：增根为 ，代入解得 ，
∴ ，正确；
验证丙：解为非负数时 ，即 ，
∴ ，但需排除 （增根），丙未排除，错误；
∴ 甲乙对，丙错．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是熟练解分式方程．
先解分式方程，得到 ，要求 为正整数且 ，结合 ，求出所有符合条件的
值，然后求和．
【详解】解：方程 ，
原方程可以化为 ，
方程两边同乘 ，得：
，
化简得：
，
，
，
为正整数且 ，
为正整数，且 ，
设 ，则 ，其中 为正整数，且
又 ，
，
解得： ，
（ 为正整数），
（ ），
对应 值：
当 ， ；
当 ， ；
当 ， ，
所以，所有 值为 ，
其和为 ，
故选：A．
二、填空题
9．③④⑤⑨
【详解】解：方程①的分母为 ，是常数，不含未知数，故不是分式方程；
方程②的分母为 ，是常数，不含未知数，故不是分式方程；
方程③的分母为 ，含有未知数 ，故是分式方程；
方程④的分母为 ，含有未知数 ，故是分式方程；
方程⑤的分母为 ，含有未知数 ，故是分式方程；
方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程；
方程⑦的分母为 和 ，均为常数，不含未知数，故不是分式方程；
方程⑧不是方程，故不考虑；
方程⑨的分母为 和 ，均含有未知数 ，故是分式方程．
因此，分式方程为③④⑤⑨．
故答案为：③④⑤⑨．
10．
【详解】解：将 代入方程 ，
得： ，即 ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为 1 得： ，
检验：当 时， ，
故 是原方程的解．
故答案为： ．
11．
【详解】解：由定义可知： ，
∴ ，
解得 ；
经检验，当 时，分母 ，
故 是方程的解；
故答案为 ．
12．
【详解】解：设施工队原计划每天安装 米，改进技术后每天安装 米，根据题意得：
．
故答案为： ．
13． 且
【详解】解不等式组 ，得 ，
∵至少有 2 个整数解，
∴ ，
解得 ．
解分式方程 ，得 ，
∵解为非负数，
∴ ，
∴ ．
∵
∴ ，
∴ ．
∴ 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
三、解答题
14.（1）解：
，
检验：当 时， ，故 不是该方程的解，
∴该方程无解．
（2）解：
，
检验：当 时， ，故 是该方程的解，
∴该方程的解为 ．
15．（1）设 A 施工队每天粉刷 x 平方米，B 施工队每天粉刷 y 平方米
根据题意，得 ，
解得 ，
答：A 施工队每天粉刷 120 平方米，B 施工队每天粉刷 100 平方米．
（2）解：设 施工队每天的费用为 y 元，则 施工队每天的费用为 元，
根据题意，得 ，
解得 （元），
答：A 施工队每天的费用是 1200 元．
16．（1）解： ，
去分母，得 ，
解得 ；
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解；
（2） ，
去分母，得 ，
∵分式方程无解，
∴分式方程有增根，
∴ ，解得 ，
把 代入 ，得 ，解得 ．
17．（1）解：设购买一个 型号纪念品的单价为 元，则购买一个 型号纪念品的单价为
元，
∴ ，
解得， ，
经检验，当 时，原方程有意义，
∴ ，
∴购买一个 型号纪念品的单价为 元，购买一个 型号纪念品的单价为 元；
（2）解：设购买 型号的纪念品有 个，则购买 型号的纪念品有 个，
∴ ，
解得， ，
∴最多能购买 个 型号的纪念品．
18．（1）解：设 1 班每小时种植 ，则 2 班每小时种植 ．
由题意，1 班完成任务时间为 小时，2 班为 小时，
解得∶ ．
2 班每小时种植
所以 1 班每小时种植 ，2 班每小时种植 ．
（2）计算两班能否在乘车前完成任务．
两班已制作 1 小时 分钟= 小时．
此时 1 班完成 ，
剩余 ．
2 班完成 ，
剩余 ．
此后 2 班需先完成本班剩余 ，用时 小时（即 分钟），
在 2 班完成本班剩余任务的 分钟内，1 班完成了 ．
此时距集中乘车还剩 1 小时− 分钟= 分钟= 小时．
两班合作每小时可完成 ．
在最后的 小时内，可共同完成 ．
但此时 1 班仍有 未完成，而合作只能完成 ，
因此无法在乘车前完成任务．
答案：不能，因为 1 班还剩 未完成，而两班合作在剩余时间内只能完成 ．
19．解：分式方程 可化为： ，
解得： ，
∵分式方程 的解为整数，
∴ 为 2 的倍数，即 m 为奇数，
解不等式组 ，得 ，
∵关于 y 的不等式组 有且仅有 2 个偶数解，
∴不等式组的偶数解为：2，0，
，
解得： ，
满足条件的整数 m 的值为 、 、 ，
当 时， ，此时分式无意义，不合题意，
，
20．（1）解： ；
；
；
……
．
故答案为： ．
（2）解：
．
（3）解：
．
经检验， 是原分式方程的解．