初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.3 分式的加法与减法同步达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.3 分式的加法与减法同步达标检测题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如果，那么代数式的值是（ ）
A．B．2C．D．
2．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．且D．且
4．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（ ）
A．B．C．D．
5．分析认为，多年来中学生的体质情况有喜有忧，喜的是伴随社会经济的发展，中国青少年的身高有所增加，多发病和常见病发病率逐年下降，忧的是身体素质的部分指标连续下降，突出表现在耐力素质和柔韧素质下降．为此，全国各级学校高度重视，纷纷增加学生课外体育锻炼的时间．小明为增强身体耐力，长期坚持长跑训练．如果小明在操场上跑第一圈的速度为，跑第二圈的速度为，那么小明跑这两圈的平均速度是（ ）
A．B．C．D．
6．下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如果，，那么，的值为（ ）
A．36B．16C．14D．3
8．若，则使最接近的正整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
9．计算：________．
10．在物理学中，并联电路中的一条规律是并联电路的总电阻（）的倒数等于各支路电阻的倒数和，即，用含，的表达式表示为___________．
11．已知 ，则的值为__________ ．
12．集大原高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分，它连接内蒙古乌兰察布与山西忻州原平，其山西段通车后，一举打破晋北地区交通瓶颈，让晋北接入全国高铁网，尽显“中国速度”的硬核实力．已知大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少，则高铁列车的平均速度比普通列车提升了________．
13．一个各个数位互不相等且均不为的四位数，满足．则满足题意的的最小值为_________．对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为_________．
三、解答题
14．计算 ：
(1)
(2)
(3)
15．在代数式的变形中，整式乘法与因式分解是一种方向相反的变形，既有，反之也有．据此，请解答下列问题：
(1)如果，则________，________；
(2)如果．
①求的值；
②求的值．
16．a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是．
(1)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______．
(2)请证明（1）中的数学关系式．
17．甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买x千克，乙每次用去y元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且）．
(1)甲两次所购大米的平均单价是______元/千克；
(2)求出乙两次所购大米的总量为多少千克？
(3)比较甲，乙所购大米的平均单价，哪一个较低？参考答案
1．【答案】B
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查分式的加减法，先计算同分母分式的减法，再将分子、分母因式分解，最后约分，继而将代入计算可得．
【详解】
，
∵，
∴原式，
故选：B．
2．【答案】D
【知识点】异分母分式加减法
【分析】先对分母因式分解确定最简公分母，再将两个分式通分为同分母分式，接着对分子进行减法运算并因式分解，最后约去分子分母的公因式，得到最简分式．
【详解】解：
．
3．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、整式与分式相加减
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，根据题意表示出，，，，即可求得每个数为一个循环，进而根据分式有意义的条件得出的取值范围，即可求解．
【详解】解：，，，，
∴且，，即且
故选：D
4．【答案】B
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】此题考查了分式的加减运算的应用，
根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数．
【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天．
实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天．
∴推迟天数为实际时间减去原计划时间，
∴
．
故选：B．
5．【答案】B
【知识点】分式加减乘除混合运算、列代数式
【分析】小明跑两圈的平均速度，可利用总的路程总的时间求解．
【详解】解：令环形操场的长度为S，小明跑两圈的平均速度为：
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，明确平均速度应该是总的路程总的时间．
6．【答案】B
【知识点】零指数幂、判断分式变形是否正确、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的运算及零指数幂的计算，熟练掌握分式的相关运算法则是解本题的关键．根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行计算即可．
【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意；
B、，原式计算错误，符合题意；
C、，原式计算正确，不符合题意；
D、，原式计算正确，不符合题意；
故选：B．
7．【答案】A
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案．
【详解】解：由，去分母，得
，
则
∵，
∴原式．
故选：A．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键．
8．【答案】A
【知识点】分式加减混合运算
【分析】先利用“裂项法”对已知分式变形化简，再分别将n取3，4，5和6代入计算，即可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴
，
∴当n=3时，，
当n=4时，，
当n=5时，，
当n=6时，，
显然，，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练运用“裂项法”对已知分式变形化简是解题的关键．
9．【答案】2
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是做题的关键．根据同分母分式的加减运算步骤进行计算即可．
【详解】解：原式（其中）．
故答案为：2．
10．【答案】
【知识点】倒数、异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式化简，通分，倒数，熟练掌握通分的方法是解题的关键．先通分，然后取倒数解答即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
11．【答案】8
【知识点】分式加减混合运算
【分析】等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，去分母整理即可求解．
【详解】解：等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，得
，
即，
即，
即，
即，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
12．【答案】
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题考查的是分式的加减运算的应用，根据题意列式计算速度差即可.
【详解】解：∵大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少，
∴高铁列车的平均速度比普通列车提升了，
故答案为：
13．【答案】
【知识点】整式的加减运算、分式加减乘除混合运算、不等式的性质
【分析】根据最小，可得，，，根据即可确定的最小值；规定化简，再根据整除特性得到为整数，令，，则，即可得到是整数，根据得出，，即可求出，，要使最大，可得，，，，即可得答案．
【详解】解：∵，，，互不相等，且均不为，
∴当，，时，最小，
∵，
∴，
∴；
∵对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，
∴，
∵
∴，
∴，
∵能被的各个数位上的数字之和整除，
∴为整数，
∴为整数，
设，，
∵，
∴，，，
∴为整数，
∵，
∴是整数，
∴是的正因数，
∵，
∴，
∴，
∵要使的值最大，四个数字互不相等且不为，
∴，，，．
∴的最大值为．
14．【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式乘除混合运算、同分母分式加减法
【分析】（1）根据分式的减法运算进行计算即可求解；
（2）根据分式的乘除法进行计算即可求解；
（3）根据分式的加减乘除法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的性质是解题的关键．
15．【答案】(1)1，
(2)①7；②
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、通过对完全平方公式变形求值、异分母分式加减法
【分析】本题考查整式乘法与因式分解以及乘法公式的应用，根据题意结合相关运算法则进行思考即可．
（1）先根据多项式乘多项式法则计算，再根据，求出m，n即可；
（2）先求出，再根据，求出和的值，然后根据完全平方公式计算①中的代数式，再把②中的分式通分，最后把和的值代入进行计算即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
故答案为：1，；
（2），
∵，
∴，
① ；
②．
16．【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】列代数式、分式加减的实际应用
【分析】（1）先表示出入克糖后，糖水的浓度为：，根据糖水变甜，浓度变大，得出；
（2）理由作差法进行证明即可．
【详解】（1）解：再往杯中加入克糖后，糖水的浓度为：，
∵糖水变甜了，即糖水的浓度变大了，
∴；
故答案为：．
（2）证明：
，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
17．【答案】(1)
(2)
(3)乙所购大米的平均单价较低
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式除法
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系求出两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题，熟练掌握分式的运算法则是关键．
（1）甲每次购买x千克，两次购买饲料的单价为m元/千克和n元/千克， 由此以得到甲两次用的总钱数和总饲料数，接着就可以求出平均单价；
（2）根据总量=总价÷单价可得答案；
（3）先求得乙的平均单价，再二者相减比较大小即可．
【详解】（1）解：∵甲每次购买x千克，两次购买饲料的单价为m元/千克和n元/千克，
∴甲的平均单价为：，
（2）解：千克，
∴乙两次所购大米的总量为：；
（3）解：∵乙每次用去y元，两次购买饲料的单价为m元/千克和n元/千克，
∴乙的平均单价为：，
∵m，n是正数，且，
∴，
∴乙所购买的饲料的平均单价较低．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
B
B
B
A
A