初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）2认识证明优质导学案

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）2认识证明优质导学案，共24页。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 命题与定理
【典例1】下列命题的逆命题中，是真命题的为（ ）
A．无理数都是无限小数
B．成轴对称的两个图形全等
C．若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF
D．直角三角形的两锐角互余
【变式1】下列命题中，真命题是（ ）
A．如果a2=b2，那么a＝b
B．如果a＝b，那么ac＝bc
C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
【变式2】下列命题是真命题的是（ ）
①两条对角线垂直的四边形是菱形；
②四个角相等的菱形是正方形；
③顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形；
④有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【变式3】下列语句不是命题的是（ ）
A．如果a＝b，b＝c，那么a＝c
B．等角的补角相等
C．过点A作直线m的垂线
D．两个锐角的和是钝角
题型2 反证法
【典例1】用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角”时，应假设（ ）
A．∠B是锐角B．∠B不是锐角
C．∠C是直角D．∠C不是直角
【变式1】反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，则应先假设（ ）
A．三角形中没有内角大于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中三个内角都大于60°
D．三角形中有两个内角大于60°
【变式2】“已知a2＝b2，a＞0，b＞0，求证：a＝b”．若用反证法证明，则应假设（ ）
A．a＝bB．a≠bC．a2＝b2D．a2≠b2
【变式3】命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠B＜90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（ ）成立．
A．AB≠ACB．∠B＞90°
C．∠B≥90°D．AB≠AC且∠B≥90°
过 关 验 收
1．下列选项中，可以用来说明命题“若|a|＞2，则a＞2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝3B．a＝1C．a＝0D．a＝﹣4
2．要判断命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（ ）
A．a＝2，b＝﹣1B．a＝1，b＝0C．a＝2，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣2
3．下列所学过的真命题中，是公理的是（ ）
A．对顶角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．三角形两边之和大于第三边
D．同角的余角相等
4．下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题是真命题
B．每个定理都有逆定理
C．每个命题都有逆命题
D．假命题的逆命题是假命题
5．“两点确定一条直线”这一语句是（ ）
A．定理B．公理C．定义D．只是命题
6．下列语句是命题的是（ ）
A．你昨天锻炼身体了吗？
B．数学是自然科学的基础
C．第一考场
D．保护视力
7．能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a＝﹣2B．a＝0C．a=12D．a＝3.14
8．下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．等边对等角
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．三个角都是60°的三角形是等边三角形
9．下列命题中，原命题与逆命题不同时成立的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．对顶角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
10．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式： ．
故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
11．命题“如果x＝1，那么x2＝1”的逆命题是 命题．
12．命题“等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等”是 命题．（填“真”或“假”）
13．命题“同角的余角相等”的条件是 ，结论是 ．
14．如图，已知∠1+∠ABC＝180°，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题．
①BE是∠ABC的角平分线；②∠E＝∠2；③DF∥AB．
你选的条件是 ，结论是 ．请加以证明．
15．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．
①先画出相应的图形，并判断命题的真假；
②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例．
（2）如图，已知AD∥BF，AE∥BC，AF∥EC，若∠B＝45°，∠C＝75°，将求∠FAD的过程填写完整．
解：∵AD∥BF，
∴∠B＝∠ADC．
∵AE∥BC，
∴① +∠DAE＝180°．
又∠B＝45°，可解得∠DAE＝（② ）°．
∵AE∥BC，
∴∠C+∠E＝180°．
∵AF∥EC，
∴∠FAE＝③ ．（④ ）
又∠C＝75°，可解得∠FAE＝（⑤ ）°，
∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝（⑥ ）°．
16．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分别为点M和N，试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
17．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
18．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设 ．
19．用反证法证明：平行于同一条直线的两条线平行．
20．用反证法证明：如果a+b＞0，那么a，b中至少有一个大于零．题型1 命题与定理
题型2 反证法
解｜题｜知｜识
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
解｜题｜知｜识
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．