北师大版（2024）七年级上册（2024）认识有理数优秀学案及答案

这是一份北师大版（2024）七年级上册（2024）认识有理数优秀学案及答案，共3页。学案主要包含了规律方法等内容，欢迎下载使用。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 正数和负数
【典例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）
A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃
【变式1】手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（ ）
A．支出18元B．支出32元C．收入32元D．收入50元
【变式2】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1080元表示（ ）
A．支出80元B．收入80元
C．支出1080元D．收入1080元
【变式3】通常，12岁男孩正常身高标准为“156±9cm”，则下列身高不符合标准的是（ ）
A．150cmB．158cmC．165cmD．170cm
题型2 有理数
【典例1】在3.14，72，π3，0，0.2020020002中，有理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】在﹣1，+3.5，0，−23，π，15中，整数共有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【变式2】在﹣3，5，π，0，23，﹣0.2中，正有理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式3】下列说法正确的是（ ）
①在+3和+4之间没有正数；
②在0与﹣1之间没有负数；
③在+1和+2之间有很多个正分数；
④在0.1和0.2之间没有正分数．
A．③B．④C．①②③D．③④
题型3 数轴
【典例1】数轴上表示﹣1的点到原点的距离是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
【变式1】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．0.5B．﹣0.5C．﹣1.5D．﹣2.5
【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．ab＞0C．﹣b＞aD．﹣a＜b
【变式3】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数12，且AB＝18，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，PB的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①B对应的数是﹣6；
②点P到达点B时，t＝9；
③BP＝2时，t＝8；
④在点P的运动过程中，线段MN的长度会发生变化．
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
题型4 相反数
【典例1】﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6B．−16C．6D．16
【变式1】如果a与﹣2025互为相反数，那么a的值是（ ）
A．﹣2025B．12025C．−12025D．2025
【变式2】下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣（+2）与+（﹣2）B．−15与0.5
C．−(+113)与−(−43)D．+（﹣0.1）与+10
【变式3】小宇同学在数轴上表示﹣3时，由于粗心，将﹣3画在了它相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（ ）
A．向左移6个单位B．向右移6个单位
C．向左移3个单位D．向右移3个单位
题型5 绝对值
【典例1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A．﹣3.5B．+2.5
C．﹣0.6D．+0.7
【变式1】下列说法不正确的是（ ）
A．一个数的绝对值一定不小于它本身
B．互为相反数的两个数的绝对值相等
C．任何数的绝对值都不是负数
D．任何有理数的绝对值都是正数
【变式2】已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中，正确的个数是（ ）①a+b＜0；②a﹣b＜0；③ab＜0；④ab＜0．
A．4B．3C．2D．1
题型6 非负数的性质：绝对值
【典例1】如果|x﹣1|+|y+2|＝0，那么x﹣y的值是（ ）
A．﹣3B．3C．1D．﹣1
【变式1】对于任意有理数a，下列结论正确的是（ ）
A．|a|是正数B．﹣a是负数
C．﹣|a|是负数D．﹣|a|不是正数
【变式2】若|3x﹣1|与|y+1|互为相反数，则xy＝ ．
【变式3】式子|﹣a+2023|﹣1的最小值是 ．
题型7 有理数大小比较
【典例1】数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣a＜﹣b＜a＜bC．﹣b＜a＜﹣a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a
【变式1】在﹣1，0，1，−13这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．−13
【变式2】比较大小：−12 −13（用“＞或＝或＜”填空）．
【变式3】大于﹣1.5且小于3.5整数共有 个．
过 关 验 收
1．下面两个量中，不具有相反意义的是（ ）
A．进三个球和输三场比赛
B．浪费1t水和节约1t水
C．盈利400元和亏损400元
D．上升50m和下降50m
2．在1、﹣2、﹣5.6、43、−17、π中负数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
3．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为﹣248，则算筹“”表示的数为（ ）
A．6037B．﹣6037C．637D．﹣637
4．在一次立定跳远测试中，合格的标准是2.00m，小明跳出了2.12m，记为+0.12m；小敏跳出了1.96m，记为 m．
5．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：
（1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 单；
（2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？
（3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？
6．在−3，−25，0，18%，π4，3.1415926，1.3.，0.232232223⋯（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．下面各数，一个“零”也不读的数是（ ）
A．500600B．630681C．40002400D．7030
8．下列说法错误的是（ ）
A．没有最大的有理数B．没有最小的有理数
C．有最小的正整数D．有最大的负有理数
9．最大的负整数与最小的正整数的和是 ．
10．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（ ）
A．1B．﹣3C．1或﹣5D．1或﹣4
11．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＞0；正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．在数轴上，表示﹣2的点到表示5的点之间的距离是（ ）
A．﹣7B．7C．﹣3D．3
13．如图，将刻度尺放在数轴上，让3cm和5cm刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与0cm刻度线对齐的点表示的数为（ ）
A．﹣2B．0C．﹣1D．1
14．点M在数轴上距离原点5个单位长度，若将点M向右移动2个单位长度至N点，则N表示的数是 ．
15．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣（+7）与+（﹣7）B．﹣（+0.5）与+（﹣0.5）
C．−114与−(−45)D．+（﹣0.01）与−(−1100)
16．化简﹣（+8）＝ ．
17．已知﹣[﹣（﹣y）]＝4，求﹣y的相反数 ．
18．若x+1的相反数是﹣7，则x＝ ．
19．若a、b互为相反数，则2025+a+1+b＝ ．
20．已知A，B，C三点对应的有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中数a，b互为相反数．
（1）判断a，b，c的正负性；
（2）若点A与点B相距8个单位长度，点A，C相距2个单位长度，则点A，B，C表示的数各是多少？
21．设abc≠0，且a+b+c＝0，则a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的值可能是（ ）
A．0B．±1C．±2D．0或±2
22．|﹣2025|的相反数是（ ）
A．2025B．﹣2025C．±12025D．−12025
23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b|的结果是（ ）
A．﹣a﹣cB．2b﹣cC．2a﹣cD．﹣c
24．已知|a|＝4，|b|＝3，且b＜a，则a+b的值为（ ）
A．1或﹣1B．7或﹣7C．﹣7或1D．7或1
25．数轴上的点A到表示﹣3的点B的距离是10，那么点A表示的数是（ ）
A．7B．﹣13C．7或﹣13D．13或﹣7
26．绝对值小于3.7的所有非负整数的个数为（ ）
A．3B．4C．6D．7
27．若一个数的绝对值等于3，那么这个数是 ．
28．已知a＜0，且|a|＞1，请写出一个符合条件的a的值： ．
29．已知a，b满足|a﹣3|+|b+4|＝0，则式子（a+b）2025的值是 ．
30．若a是任意的有理数，则式子2025﹣|a﹣2025|的最大值是 ．
31．已知|x﹣2|+|y+3|＝0．
（1）求x，y的值；
（2）已知|x+y+z|＝5，求z的值．
32．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）在数轴上标出表示−52，0，﹣|﹣1|，﹣b的点，并用“＜“连接起来．
题型1 正数和负数
题型2 有理数
题型3 数轴
题型4 相反数
题型5 绝对值
题型6 非负数的性质：绝对值
题型7 有理数大小比较
解｜题｜知｜识
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
解｜题｜知｜识
我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数．
我们还学习过正分数，如12，23，157，0.1，5.32，0.3⋅，……；负分数，如−52，−23，−17，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数．
进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=21；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3=−31；0也可以写成分数的形式01．这样，整数可以写成分数的形式．
可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．
0.1=110，﹣0.5=−12，0.3⋅=13，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数．
解｜题｜知｜识
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
解｜题｜知｜识
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
解｜题｜知｜识
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
解｜题｜知｜识
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
解｜题｜知｜识
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
星期
一
二
三
四
五
六
日
送餐量（单位：单）
﹣3
+4
﹣5
+14
﹣8
+7
+12