北师大版九年级上册7 相似三角形的性质当堂检测题

这是一份北师大版九年级上册7 相似三角形的性质当堂检测题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为( )
A. 34或3B. 43C. 3D. 43或3
2.两三角形的相似比是2:3，则其面积之比是( )
A. 2: 3B. 2:3C. 4:9D. 8:27
3.如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立的是( )
A. ADBD=AECEB. AB⋅AD=AE⋅AC
C. ADAB=DEBCD. AD⋅DE=AE⋅EC
4.在平面直角坐标系中，等腰三角形OAB的位置如图所示，其中点A( 3,1).第1次将等腰三角形OAB绕着O点顺时针旋转90°，且各边长扩大为原来的2倍得到等腰三角形OA1B1；第2次将等腰三角形OA1B1绕着O点继续顺时针旋转90°，且各边长扩大为等腰三角形OA1B1各边长的2倍得到等腰三角形OA2B2；…，以此类推，A2024的坐标为( )
A. (22023 3,22023)
B. (−22024 3,22024)
C. (22024 3,22024)
D. (−22023 3,22023)
5.若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们周长的比为( )
A. 1：1B. 1：2C. 1：3D. 1：4
6.如图，已知▵ABC∽▵EDC，AC:EC=2:3，若AB的长度为6，则DE的长度为( )
A. 4B. 9C. 12D. 13.5
7.如图，已知点A(1,0)，点B(b,0)(b>1)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为b4，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.如图，游戏板正五边形ABCDE中，点F、G、H、K、L分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次(击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次)，飞镖击中阴影部分的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
9.如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，△ADE∽△ABC.若AD：AB=4：7，则DE：BC的值为( )
A. 16：49B. 4：7C. 2：7D. 8：7
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为( )

A. 3.6B. 4C. 4.8D. 5
11.如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是( )
A. 矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B. 矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C. 矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D. 矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
12.如圖，已知▵ABC∽▵ADE，且BC=2DE，若S▵ABC=20cm2，則S▵ADE=( )
A. 5cm2B. 6cm2C. 8cm2D. 10cm2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=BC=1，点D是AB边的中点，分别过点A，B作直线l1，l2，l1/​/l2，过点D作直线EF，分别交l1，l2于点E，F，则l1与l2之间的距离最大为 ;当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC的相似比k的值为 ．
14.已知△ABC∽△DEF，其相似比为2：3，则它们的周长之比为______．
15.如图，已知矩形ABCD∽矩形BCFE，AE=4，EB=1，则BC的长为______．
16.如图，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1,0)，B(0,2)，试在5×5的网格中，以格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，C点的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，已知△ABP，点C，D在边AB上，连接PC，PD，使∠ADP=60°，且△ACP∽△PDB．
(1)请判定△PCD的形状，并说明理由；
(2)若AC=2，BD=3，求△ABP的面积．
18.(本小题8分)
如图，E，F是正方形ABCD边AB，CD上的点，EF // BC，G是EF上的点，H，I分别是DG，EC的中点，若AD=4，GF=1．
(1)若△DFG∽△EFC：
①求FC的长；
②求HI的长；
(2)随着E点移动，猜想HI的长度是否会发生变化，证明你的猜想．
19.(本小题8分)
如图1，在▵ABC中，D、E分别是边BC、AD上的点，且满足∠CED=∠ACD．

(1)求证：CD2=DE⋅AD；
(2)如图2，点D是BC的中点，连接BE，若AB=6,AC=5,CE=2，求BE的长．
20.(本小题8分)
如图，▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．
(1)求证：▱ABEF是菱形：
(2)若▱ABCD∽▱FDCE，则BCCD的值为______．
21.(本小题8分)
在▵ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AB的点，且∠ADE=∠C．
(1)求证：▵ACD∽▵DBE；
(2)求证：4BE⋅AC≤BC2．
22.(本小题8分)
如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 3:2，连接EB，GD．
(1)求证：EB=GD．
(2)若∠DAB=60∘，AB=2，求GD的长．
23.(本小题8分)
如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4．问：每个小矩形与原矩形相似吗?请说明理由．
(2)若原矩形的长AB=a，宽BC=b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式．
24.(本小题8分)
如图，已知△ABC∽△ACD．
(1)若CD平分∠ACB，∠ACD=35°，求∠ADC的度数；
(2)若AD=3，BD=5，求AC的长．
25.(本小题8分)
如图，已知△ABC中，AB=AC=a，BC=10，动点P沿CA方向从点C向点A运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，P，Q中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动，过点P作PD/​/BC，交AB边于点D，连结DQ，设P，Q的运动时间为t．
(1)直接写出BD的长；(用含t的代数式表示)
(2)若a=15，求当t为何值时，△ADP与△BDQ相似；
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，由于题中没有明确相似三角形的对应角和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解．
【解答】
解：以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，
有△ABC∽△AEF和△ABC∽△AFE两种情况进行讨论，
①当△ABC∽△AEF时，有AEAB=AFAC，则26=AF4，得AF=43；
②当△ABC∽△AFE时，有AEAC=AFAB，则24=AF6，得AF=3，
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】
解：∵两三角形的相似比是2：3，
∴其面积之比是4：9，
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△AED，
∴ABAE=ACAD=BCDE，
∵ADBD=ADAB−AD=1ABAD−1，AECE=AEAC−AE=1ACAE−1，ABAD≠ACAE，
∴ADBD≠AECE，故A错误；
∵ABAE=ACAD，
∴AB⋅AD=AC⋅AE，故B正确；
∵DEBC=AEAB，AE≠AD，
∴ADAB≠DEBC，故C错误；
∵AE⋅EC=AE(AC−AE)=AE⋅AC−AE2=AB⋅AD−AE2，AD⋅DE=AD⋅BC⋅ADAC=BCAC⋅AD2，
∴无法推出AD⋅DE=AE⋅EC，故D错误．
故选：B．
根据相似三角形的性质，写出各边的比例关系，然后根据比例的基本性质求解即可．
本题主要考查了相似三角形的性质，明确对应的线段是本题解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题知，
360°÷90°=4，
所以每旋转四次，点An所在的象限位置便重复出现，
又因为2024÷4=506，
所以点A2024在射线OA上．
因为点A坐标为( 3,1)，
所以OA=2，且OA与x轴的夹角为30°．
因为每次旋转后，各边长度扩大为上次的2倍，
所以OA1=22，OA2=23，OA3=24，…，
依次类推，OAn=2n+1．
当n=2024时，
OA2024=22025，
所以点A2024到x轴的距离为22024，点A2024到y轴的距离为22024 3，
即点A2024的坐标为(22024 3,22024).
故选：C．
根据每次旋转90°得出点A2024在OA的延长线上，再根据边长的变化规律求出OA2024的长度即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律及坐标与图形变化−旋转，能根据所给变换方式发现OAn位置及长度的变化规律是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵两个相似多边形的相似比为1：2，
∴两个相似多边形周长的比等于1：2，
故选：B．
直接根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC=2：3．
∴ABED=ACEC=23，
∴当AB=6时，DE=9．
故选：B．
根据相似三角形的性质列比例式即可求解．
本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵点P的纵坐标为b4，
∴点P在直线y=b4上．
①当△PAO≌△PAB时，
AB=b−1=OA=1，b=2，
则P(1,12)；
②∵当Rt△PAO∽Rt△BAP时，PA：AB=OA：PA，
∴PA2=AB⋅OA，
∴b216=b−1，
∴(b−8)2=48，
解得b=8±4 3，
∴P(1,2+ 3)或(1,2− 3).
综上所述，符合条件的点P有3个．
故选：D．
利用相似三角形的对应边成比例来求点P的坐标．注意，全等是一种特殊的相似．
本题考查了相似三角形的判定，坐标与图形性质．此题属于易错题，同学们解题时，往往忽略了全等是一种特殊的相似这一情况．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是相似多边形的性质，几何概率有关知识，先说明正五边形FGHKI∽正五边形ABCDE，再求出面积比即可解决问题．
【解答】
解：如图，
∵点F、G、H、K、L分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，
∴GF=12AB，正五边形FGHKI∽正五边形ABCDE，
∴S正五边形FGHKIS正五边形ABCDE=14，
∴飞镖击中阴影部分的概率是14．
9.【答案】B
【解析】解：∵△ADE∽△ABC.如果AD：AB=4：7，
∴DE：BC=AE：AC=AD：AB=4：7，
故选：B．
根据相似三角形的对应边的比相等直接写出答案即可．
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应边的比相等，难度较小．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决．
【解答】解：作DH//EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，
∴AEAD=EGDH，
∵EF⊥AC，∠C=90°，
∴∠EFA=∠C=90°，
∴EF/​/CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴AEAD=EFCD，
∴EGDH=EFCD，
∵EG=EF，
∴DH=CD，
设DH=x，则CD=x，
∵BC=12，AC=6，
∴BD=12−x，
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH//EG，
∴EG//AC//DH，
∴△BDH∽△BCA，
∴DHAC=BDBC，
即x6=12−x12，
解得，x=4，
∴CD=4，
故选：B．
11.【答案】B
【解析】解：设矩形的边AH=x，GH=y，ED=a，DC=b，
则BJ=x，JC=a，
∵JI//CD
∴JIDC=BJBC即JI=xbx+a
∵矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴FGGH=ADDC，
即xy=x+ab，
∴x+a=xby
∴S阴影=12BJ⋅JI
=12x⋅xbx+a
=12xy．
∵S矩形ABJH−S矩形HDEG
=xb−ay
=x⋅y(x+a)x−ay
=xy．
∴S阴影△BIJ=12S矩形ABJH−S矩形HDEG
所以一定能求出△BIJ面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．
故选：B．
根据相似多边形的性质即可解答．
本题考查了相似多边形的性质、三角形的面积、矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质．
12.【答案】A
【解析】解：∵BC=2DE
∴DEBC=12
∵△ABC∽△ADE
∴S△ADES△ABC=DEBC2=14
∵S△ABC=20cm2
∴S△ADE=14S△ABC=5cm2．
故选：A．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积．
本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方．解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质。
13.【答案】 2
22或12

【解析】【分析】
考查平行线之间的距离、相似三角形的性质等，考查学生的几何直观、空间观念及推理能力．
第一空根据勾股定理解答，第二空分两种情况讨论解答．
【解答】
解：平行线l1与l2之间的距离最大为线段AB的长，由∠C=90∘，AC=BC=1，得AB= 2；
当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，若其直角边为AD，则相似比k的值为 22;
若其斜边为AD，则相似比k的值为12．
14.【答案】2：3
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，其相似比为2：3，
∴它们的周长比为2：3，
故答案为2：3．
根据相似三角形的性质即可得到答案．
本题考查相似三角形的性质，相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
15.【答案】 5
【解析】解∵四边形ABCD和四边形BCFE都是矩形，
∴AD=BC，EF=BC，
∴AD=EF=BC，
∵AE=4，EB=1，
∴AB=AE+BE=5，
∵矩形ABCD∽矩形BCFE，
∴ABBC=ADBE，即5BC=BC1，
∴BC= 5(负值舍去)，
经检验，BC= 5是原方程的解，
故答案为： 5．
先根据矩形的性质得到AD=EF=BC，再求出AB=AE+BE=5，最后根据相似多边形对应边成比例得到ABBC=ADBE，据此代值计算即可．
本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
16.【答案】C(4,4)或C(5,2)
【解析】解：如图，
△OAB的两直角边之比为1：2，那么△ABC两直角边之比为1：2，
∵AB= 5，
∴当∠A=90°，AC=2 5，此时点C(5,2)，
当∠B=90°，BC=2 5，此时点C(4,4)，
故C点的坐标是C(4,4)或C(5,2)．
本题可根据图形得出AC与AB的长度比，再根据角A或角B为直角，来判断C点的位置．
本题考查了相似多边形的性质及点的坐标，此题需注意分情况讨论三角形哪一个角为直角的情况．
17.【答案】解：(1)△PCD为等边三角形，理由如下：
∵△ACP∽△PDB，
∴∠ACP=∠PDB，
∴∠PCD=∠PDC，
∴△PCD是等腰三角形，
又∵∠ADP=60°，
∴△PCD是等边三角形；
(2)∵△ACP∽△PDB，
∴ACPD=PCBD，
又∵AC=2，BD=3，△PCD的等边三角形，
∴2PD=PD3，
∴PD= 6(负值已舍)，
如图，过点P作PH⊥CD于H，

∵∠CDP=60°，
∴PH= 32PD=3 22，
∴S△ABP=12AB⋅PH=12×(2+ 6+3)×3 22=15 2+6 34．
【解析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
(1)根据三角形相似结合∠ADP=60°即可判断；
(2)根据三角形相似得出等式求出等边三角形边PD的长从而得出高，即可得出结果．
18.【答案】解：(1)①∵△DFG∽△EFC
∴DFGF=EFFC
∵四边形ABCD为正方形，EF//BC
∴∠BCD=90∘，CB=AD=4
∴EF⊥CD
∴四边形BCFE为矩形
∴EF=BC=4
∴4−FC1=4FC
得FC=2
②作HM⊥CD于M，IN⊥CD于N，HK⊥IN于K，如图，
∵四边形BCFE为矩形，H，I分别是DG，EC的中点，
∴MH//GF//IN
∴HMGF=DMDF=DHDG=12
∴MF=DF−DM=12DF=12(DC−FC)=1，HM=12GF=12
同理，CICE=INEF=CNCF=12
∴FN=FC−CN=12FC=1，IN=12EF=2
易得四边形KHMN为矩形，
∴HK=MN=FN+MF=2，IK=IN−HM=32
∴HI= HK2+IK2=52
(2)随着E点移动，HI的长度不会发生变化
由上述论证可知，HK=MN=FN+MF=12(DF+CF)=2
IN=12EF=2，HM=12GF=12
IK=IN−HM=32
∴ HI= HK2+IK2=52
HI不会发生变化．
【解析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理等．
(1)①根据相似三角形得出DFGF=EFFC，再根据正方形和矩形的性质，可得FC的长；
②作HM⊥CD于M，IN⊥CD于N，HK⊥IN于K，从而的到矩形HMNK以及直角三角形IKH，根据平行线分线段成比例，勾股定理，可得HI的长
(2)在直角三角形IKH中，因为KH、IK的值固定，不随着E点移动而变动，所以HI的长度不会改变
19.【答案】解：(1)∵∠CED=∠ACD，∠EDC=∠CDA，
∴▵EDC∽▵CDA，
∴EDCD=CDDA，
即CD2=DE⋅AD．
(2)由(1)可知△EDC∽△CDA，
∴DECD=CDDA=CEAC=25，
又∵BD=CD，
∴EDBD=BDDA ，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴BEAB=DEDB=DECD=25，
∴BE=25AB=125．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些是解答本题的关键．
(1)依据已知的条件推出▵EDC∽▵CDA，由相似的性质得出结论；
(2)依据△EDC∽△CDA推出和点D是BC的中点推出△BDE∽△ADB，由相似的性质逐步推出结论．
20.【答案】【详解】(1)∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE=∠EAF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴∠EAF=∠AEB．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理，AB=AF．
∴BE=AF．
∵AD//BC
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形．
(2)由(1)知，四边形ABEF是菱形，
∴AB=BE=EF=FA,
又四边形CDFE是平行四边形，
∴FD=CE,EF=CD，
∴AB=BE=EF=FA=CD,
设FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则有：BC=BE+CE=x+y,
∵▱ABCD∼▱FDCE,
∴ADCD=CDFD，即x+yy=yx，
整理得，x2+xy−y2=0.
解得，x=−1± 52y,
∵x>0
∴x= 5−12y，
∴BCCD=x+yy= 5+12yy = 5+12，
故答案为：1+ 52

【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到AB=BE=EF=FA=CD,设FD=x,CD=y，根据相似多边形的性质可得ADCD=CDFD，列方程求出x和y的关系，从而可解答本题
本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出AF与FD的数量关系是解答本题的关键
21.【答案】【小题1】
证明：∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C．
∵ ∠BDA=∠DAC+∠C=∠BDE+∠ADE，∠ADE=∠C，
∴ ∠BDE=∠DAC ．
∴ ▵ACD∽▵DBE．
【小题2】
∵▵ACD∽▵DBE，
∴BECD=BDAC，即BE⋅AC=BD⋅CD.
设BC=m，BD=x，则CD=m−x．
∴4BE⋅AC=4BD⋅CD=4x(m−x)=−(2x−m)2+m2．
∴4BE⋅AC≤m2，即4BE⋅AC≤BC2．

【解析】1.
本题考查了相似三角形的性质与判定；
先证明∠B=∠C，∠BDE=∠DAC，即可得证；
2.
根据(1)的结论得出BE⋅AC=BD⋅CD，设BC=m，BD=x，则CD=m−x.得出4BE⋅AC≤m2，即可得证．
22.【答案】【小题1】
证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，AE=AG，AB=AD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD．∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD．
【小题2】
如图，连接BD交AC于点P，则BP⊥AC．
∵∠DAB=60∘，∴∠PAB=30∘．
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 3:2，AB=2，∴AE= 3，BP=12AB=1，∴AP= AB2−BP2= 3，∴EP=AE+AP=2 3，
∴EB= EP2+BP2= 12+1= 13，
∴GD= 13．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
23.【答案】解：(1)不相似．理由如下：
∵原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4，
∴划分后小矩形的长为AD=4，宽为AE=6÷3=2，
又∵ABBC=64≠42=ADAE，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
(2)∵原矩形的长AB=a，宽BC=b，
∴划分后小矩形的长为AD=b，宽为AE=a3，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴ABBC=ADAE
∴ab=ba3，即a2=3b2．
【解析】(1)根据划分后小矩形的长为AD=4，宽为AE=2，可得ABBC≠ADAE，进而可判断结论；
(2)根据划分后小矩形的长为AD=b，宽为AE=a3，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得ABBC=ADAE，从而可得a与b的关系式．
本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．
24.【答案】解：(1)∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD=∠B，
∵CD平分∠ACB，∠ACD=35°，
∴∠ACD=∠DCB=∠B=35°，
∴∠ADC=35°+35°=70°；
(2)∵△ABC∽△ACD，
∴ACAD=ABAC，
∵AD=3，BD=5，
∴AC3=3+5AC，
解得：AC=2 6．
【解析】(1)直接利用相似三角形的性质得出∠ACD=∠B，再结合已知条件得出答案；
(2)利用相似三角形的性质得出ACAD=ABAC，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．
25.【答案】解：(1)∵PD//BC，AB=AC，
∴ABBD=ACCP，
∵CP=t，
∴BD=t；
(2)∵PD//BC，AB=AC=15，
∴APAC=ADAB，
∴AD=AP=15−t，
∴BD=CP=t，
∵AC=15，BC=10，CP=t，
∴PD=10−23t，
∵△ADP和△BDQ相似，
∴QBAD=BDPD或QBPD=BDAD，
∴10−t15−t=t10−23t或10−t10−23t=t15−t，
解得：t1=4，t2=15(舍去)，t3=15>10(舍去)，t4=6，
则当t=4或6时，△ADP与△BDQ相似．
【解析】本题考查了相似三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，关键是根据题意得出等式或方程．
(1)根据PD/​/BC，AB=AC，即可求出BD；
(2)根据平行线得出比例式，求出PD，根据△ADP和△BDQ，得出比例式，代入即可求出答案．