初中数学北师大版（2024）九年级上册第四章 图形的相似7 相似三角形的性质随堂练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册第四章 图形的相似7 相似三角形的性质随堂练习题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在边长为4的正方形中，点E在边上，，交于点F，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（ ）
①；②的度数不变；③；④．
A．①②B．③④C．①②④D．①②③④
3．如图，在中，，E、F分别是，的中点，动点P在射线上，交于点D，的平分线交于Q，当时，（ ）
A．8B．C．4D．10
4．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( )
A．1对B．2对C．3对D．4对
5．如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，，，相交于点O，若，则的长为（ ）
A．B．4C．D．5
7．如图，直线，每相邻两条直线之间的距离均相等，点A，B，C分别在直线a，c，e上，交于点，交于点，分别交直线b，c于点G，F．若四边形的面积为2，则的面积为（ ）
A．B．5C．D．
8．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦的高度，如图，点处放一水平的平面镜．光线从点出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该大厦的高度约为（ ）
A．米B．米C．米D．米
9．如图，中，D、E两点分别在、上，且平分．若，，则与的面积比为（ ）
A．16∶45B．2∶9C．1∶9D．1∶3
10．如图，在ABCD中，AE∶EB=1∶2，若，则等于（ ）
A．54B．18C．12D．24
11．把△ABC的各边分别扩大为原来3倍，得到△A1B1C1，下列结论不能成立的是（ ）
A．△ABC∽△A1B1C1B．△ABC与△A1B1C1的各对应角相等
C．△ABC与△A1B1C1的相似比为3:1D．△ABC与△A1B1C1的相似比为1:3
12．如图，在中，中线，相交于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．如图，在中，，连接，，分别交于点M，N．则的值为 ．
14．如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点G，则 ，
15．如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积
16．在梯形中，，，，点、分别在边、上，且，如果，那么的长为 ．
17．如图，中，点D，E分别在AB，AC边上，，若，，，则BC的长是 ．
三、解答题
18．小玲用下面的方法来测量学校教学大楼的高度．在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端．已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小玲计算出教学大楼的高度是多少米．（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）
19．【教材呈现】如图是苏科版版数学教材第86页的部分内容．

(1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
(2)【定理应用】如图②，四边形中，M、N、P分别为的中点，边延长线交于点E，，则______．
(3)如图③，在中，，，E、F分别为上一点，M、N分别为的中点．当时，______．
20．如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据（米，米），求x的值．
21．如图，边长为的正方形内部有一点（不在边界上），过点分别作两边的平行线，，与各边的交点分别为，，，，记四边形面积为，四边形的面积分别为，四边形的面积为，四边形的面积为，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，求证：；
(3)对于确定的值，试讨论在线段上存在几个点，使得．
22．如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
23．如图1，在四边形ABCD中，，，．
(1)求∠ACD的度数；
(2)如图2，F为线段CD的中点，连接BF，求证：；
(3)如图3，若，线段BC上有一动点M，连接OM，将沿OM所在直线翻折至的位置，P为B的对应点，连接PA，PC，当的值最小时，设O到直线PC的距离为，PC的长度为，直接写出的值．
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC交AB于点E，交CB延长线于点F
（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；
（2）当点E在边AB上时（如图2），连接CE，求证：CD＝2DE；
（3）连接AF（如图2），当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．
参考答案：
1．C
【分析】勾股定理求出的长，证明，求出与的比值，即可．
【详解】解：∵在边长为4的正方形中，点E在边上，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形相似．
2．D
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键．
证明可得，，，进而判断①；进而可得，进而判断②，根据，进而判断③；证明，进而判断④；
【详解】解：∵是菱形，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
3．A
【分析】延长交射线于，根据三角形中位线定理可得，从而得到，由角平分线的性质可得，从而得到，即，得到，根据，求出，最后根据三角形相似的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，延长交射线于，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、三角形相似的判定与性质，等角对等边，熟练掌握三角形中位线定理、角平分线的定义、三角形相似的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
4．D
【分析】根据点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,可得DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,可得DE//AB,DF//AC,EF//BC,进而可判定△DOE∽△AOD, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC,根据中位线性质可得,,
继而可得，可判定△DEF∽△ABC.
【详解】因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,
所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,
所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,
所以△DOE∽△AOB, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC,
因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,
所以,,
所以，
所以△DEF∽△ABC,
因此有四对相似三角形,
故选D.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法.
5．D
【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可证明△DAP≌△ABQ，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=OD•OP，故②正确；根据△CQF≌△BPE，得到S△CQF=S△BPE，根据△DAP≌△ABQ，得到S△DAP=S△ABQ，即可得到S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE的长，进而求得QE的长，证明△QOE∽△POA，根据相似三角形对应边成比例即可判断④正确，即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°．
∵BP=CQ，
∴AP=BQ．
在△DAP与△ABQ中，∵，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P=∠Q．
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP；
故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2=OD•OP．故②正确；
在△CQF与△BPE中，∵，
∴△CQF≌△BPE，
∴S△CQF=S△BPE．
∵△DAP≌△ABQ，
∴S△DAP=S△ABQ，
∴S△AOD=S四边形OECF；故③正确；
∵BP=1，AB=3，
∴AP=4．
∵∠P=∠P，∠EBP=∠DAP=90°，
∴△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE，
∴QE，
∵∠Q=∠P，∠QOE=∠POA=90°，
∴△QOE∽△POA，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
6．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．先证明，进而得到，，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
7．C
【分析】根据以及每相邻两条直线之间的距离均相等，得到D，E，F分别为各边中点，G为中点，即可证明，可得，同理得到，，再推出，可利用得到方程，解之可得．
【详解】解：，每相邻两条直线之间的距离均相等，
∴D，E，F分别为各边中点，G为中点，
∴，
∴，
∴，
同理：，，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是分析出平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
8．A
【分析】因为同学和宝安区海淀广场均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
【详解】解：根据题意，可得到．
即，
故米；，
那么该大厦的高度是32米．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
9．B
【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED=2：1，再根据三角形相似求得S△ACD=S△ABE=S△BED即可求得．
【详解】解：∵AD：ED=3：1，
∴AE：AD=2：3，
∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴S△ABE：S△ACD=4：9，
∴S△ACD=S△ABE，
∵AE：ED=2：1，
∴S△ABE：S△BED=2：1，
∴S△ABE=2S△BED，
∴S△ACD=S△ABE=S△BED，
∴△BDE与△ADC的面积比为2：9，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．
10．A
【详解】试题分析：在ABCD中，AE∶EB=1∶2，∴AE:AB=1:3,又∵AB=CD,∴AE:CD=1:3,在ABCD中AE//CD,∴与相似，∴与的高之比也为1:3，，=9*6=54
考点：相似三角形
点评：抓住题干的的条件，分析出与是相似三角形，它们的边的比跟高的比相等，找到它们面积之间的关系，相似三角形是常考点
11．C
【分析】根据相似三角形的判定与性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：由题意可得：，，
即
∴，A选项正确，不符合题意；
∴，，，B选项正确，不符合题意；
△ABC与△A1B1C1的相似比为1:3，C选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与有关性质．
12．D
【分析】本题考查了中位线，重心的性质．熟练掌握中位线的性质，重心的性质是解题的关键．
是的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断①的正误；根据中线交点将中线分成的部分，以及等高，求面积比值，进而可判断②④的正误；根据比值进行判断③的正误即可．
【详解】解：∵中线，，
∴是的中位线，
∴，，①正确，故符合要求；
∵是中线交点，即重心，
∴，，
∵与、等高，
∴，，②、④正确，故符合要求；
∵，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
13．
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，由，推导出，再证明，，则，，求得，，则，所以，于是得到问题的答案．证明，是解的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，同理：，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【解析】略
15．
【分析】可运用相似三角形的性质求出GF、MN，从而求出OF、OM，进而可求出阴影部分的面积．
【详解】
如图，
∵GF∥HC，
∴△AGF∽△AHC，
∴= =，
∴GF=HC=3，
∴OF=OG−GF=4−3=1.
同理MN=,则有OM=.
∴S△OFM=××1=，
∴S阴影=4−=.
故答案为.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
16．4
【分析】连接交于点P，先利用平行线分线段成比例定理求出、，再利用相似三角形的性质求出、，最后利用线段的和差求出．
【详解】解：如图，连接交于点P，
∵，，
∴．
∴．
∴，．
∵，
∴，．
∴，．
∵，，
∴，．
∵．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握“平行线分线段成比例定理”、相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．
17．5
【分析】根据，，易证△ADE～△ABC，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】∵，
∴∠B=∠ADE，
在△ADE和△ABC中：∠A=∠A， ∠B=∠ADE，
∴△ADE～△ABC，
∴，即：，
解得：BC=5，
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了相似三角形得判断和性质，熟练地掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
18．13.44米
【分析】根据反射定律和垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．
【详解】解：根据题意可得：
，，
∴，
∴，
∴，
∴(米)
∴教学大楼的高度是米．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
19．(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由中点性质得到，根据，推出，据此即可证明结论成立；
（2）根据（1）的结论推出，，根据即可求解；
（3）取AB的中点G，求得，，根据（1）的结论得到，利用勾股定理即可求解.
【详解】（1）证明：∵点D、E分别是与的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，且；
（2）解：∵M、N、P分别为的中点，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图③，取AB的中点G，连结，

∵，，
∴，，
∴M、N分别为的中点，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴MN=，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的外角等于与它不个邻的两个内角的和、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，属于考试压轴题．
20．
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质等知识，由直线平行得出三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比列式计算即可，熟练运用三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：
，
．
21．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】
本题是正方形、全等三角形、一元二次方程等有关知识的综合考查．
（1）根据题意用含字母的式子表示出相应的边长，即可求出答案；
（2）构造全等三角形实现三角形边的等量代换，从而即可证明；
（3）由题意得出三角形相似，从而列出比例式，化简得一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式即可得出答案．
【详解】（1）
解：四边形是正方形，，，
，，
，，
，，
，
，，
，，
；
（2）
证明：过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
即．
，
；
（3）
当时，在与中，
，
，
即，
整理得：，
方程的判别式，
当时，，方程有两个解，此时，边上存在两点，即线段上有两个点使得；
当时，，方程有唯一解，此时，边上有唯一一点，即线段上有一个点使得；
当时，，方程无解，此时，边上不存在点，即线段上不存在点使得．
综上所述：当时，线段上有两个点使得；
当时，线段上有一个点使得；
当时，线段上不存在点使得．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
22．河宽为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键．
如图：过点A作于点M，交于点N，易证可得，由意义可得，代入可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：过点A作于点M，交于点N，
∵，
∴， ，
∴
∵，
∴，解得：，
∴．
答：河宽为．
23．(1)；
(2)证明见解析部分；
(3)．
【分析】（1）如图1中，连接．求出，，可得结论；
（2）如图2中，连接，延长到，使得，在上取一点，使得，连接．证明，推出，再证明，推出，可得结论；
（3）如图3中，在上取一点，使得，连接．，过点作于点．证明，推出，推出，推出，由，推出当点与重合时，的值最小，求出，，，可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，连接．
，，
是等边三角形，
，，
，，
，，，
，
；
（2）证明：如图2中，连接，延长到，使得，在上取一点，使得，连接．
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图3中，在上取一点，使得，连接．，过点作于点．
，
，，
，
点在上运动，设交圆弧于点，连接．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与重合时，的值最小，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
24．（1）9，（2）见解析，（3）25或73
【分析】（1）证明△AED，△BEF，△DFC都是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）如图2中，连接BD．取EC的中点O，连接OD，OB．证明E，B，C，D四点共圆，可得∠DCE＝∠ABD即可解决问题．
（3）有两种情况：
①如图3中，E在边AB上时，连接AF．设AE＝x，FB＝y，EB＝m，由S△AEF＝•AE•FB＝3，推出xy＝6，由AD∥FB，推出，推出，可得xy＝3m，推出6＝3m，推出m＝2，可得EB＝2，AE＝4，再利用勾股定理求出DE，DC即可解决问题．
②E在AB的延长线上时，同理可得结论．
【详解】解：（1）如图1中，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∵AE＝EB＝3，AD＝3，
∴AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝∠BEF＝∠F＝45°，
∴
∵DF⊥DC，
∴∠FDC＝90°，
∴∠C＝∠F＝45°，
∴
∴
∴BC＝CF﹣BF＝12﹣3＝9．
（2）如图2中，连接BD．取EC的中点O，连接OD，OB．
∵∠EBC＝∠EDC＝90°，EO＝OC，
∴OD＝OE＝OC＝OB，
∴E，B，C，D四点共圆，
∴∠DCE＝∠ABD，
∵tan∠ABD＝tan∠DCE＝
∴CD＝2DE；
（3）①当E在边AB上时，如图3，连接AF．
设AE＝x，FB＝y，EB＝m，
∵
∴xy＝6，
∵AD∥FB，
∴
∴
∴xy＝3m，
∴6＝3m，
∴m＝2，
∴EB＝2，AE＝4，
在Rt△AED中，DE＝5，
在Rt△DEC中，∵tan∠DCE＝
∴DC＝10，
∴
②当点E在AB的延长线上时，如图4，同法可得AE＝8，
∴
∴
综上所述，△DEC的面积为25或73．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用四点共圆解决问题，属于中考压轴题．
猜想：如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：

，且．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
D
D
C
C
A
B
A
题号
11
12








答案
C
D