小学数学圆的认识（一）精品第1课时同步测试题

这是一份小学数学圆的认识（一）精品第1课时同步测试题，共2页。试卷主要包含了学习目标，重点，难点，知识要点，典型例题等内容，欢迎下载使用。
本课核心问题
为什么套圈游戏大家站成圆形就公平？圆规又是凭什么画出圆的？怎样用圆心、半径和直径说清一个圆？
一、学习目标
1. 认识圆，理解“圆上所有点到圆心的距离都相等”这一特征，并能用它解释套圈公平、井盖、涟漪等现象
2. 认识圆心、半径、直径及其字母表示（圆心O、半径r、直径d），掌握同一个圆中直径是半径的2倍、半径是直径的一半，能进行互求
3. 会用圆规和绳钉等方法画圆，知道圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小
二、重点
• 圆上所有点到圆心的距离都相等（“一中同长”）
• 圆心、半径、直径的认识及同一个圆中直径与半径的关系
• 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小
三、难点
• 把“圆上点到圆心距离相等”作为理解圆的画法、判断公平性与解释生活现象的共同依据
学习支架
用圆规画出的圆：圆心、半径与直径
半径与直径的互求
用圆规画圆的步骤
1. 定点：把圆规带针的一端固定在纸上，扎出的点就是圆心O
2. 定长：两脚分开，量好两脚间的距离等于半径
3. 旋转：保持两脚距离不变，带笔的一端绕点O旋转一周
4. 标注：画出半径r和直径d，标上字母
四、知识要点
1. 圆的认识：圆上所有点到圆心的距离都相等
圆是一种由曲线围成的平面图形。圆最本质的特征是：圆上任意一点到圆心的距离都相等。这个特征在两千多年前就被我国古人记录下来了。我国古代名著《墨经》中记载：“圆，一中同长也。”“一中”指一个圆心，“同长”指从圆心到圆上各点的长度都相等。关键结论：圆上所有点到圆心的距离都相等。这个特征可以解释生活中的公平现象：套圈游戏把奖品放在圆心，参加游戏的人围成一个圆站在圆上，每个人到奖品的距离都等于同一个圆的半径，距离相等，游戏就公平。即使参加的人更多，只要大家仍然站在同一个圆上，到圆心的距离依然都相等，还是公平的。圆与长方形、正方形等由线段围成的图形不同，圆是由一条曲线围成的图形，没有棱和角。找圆的特征，关键看圆上的点与圆心（中心）的关系：不论从哪个方向看，圆上的点到圆心的距离都一样。
2. 圆心、半径和直径
用圆规画圆时，针尖固定的点叫做圆心，通常用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母r表示，例如图中的线段OA就是一条半径。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示，例如图中的线段BC就是一条直径。关键结论：① 半径和直径都是圆内的线段：半径一端在圆心、一端在圆上；直径通过圆心且两端都在圆上。② 一个圆有无数条半径，也有无数条直径。③ 判断一条线段是不是直径，必须同时检查两个条件：是否通过圆心、两端是否都在圆上。只满足其中一个条件都不是直径。
3. 半径与直径的关系
同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。同一个圆中，直径是半径的2倍，用字母表示就是d=2r；反过来，半径是直径的一半，用字母表示就是r=d÷2。关键结论：① 求直径：直径=半径×2，即d=2r。② 求半径：半径=直径÷2，即r=d÷2。③ 注意前提“同一个圆中”：教材结论说的是“同一个圆中所有的半径都相等”。不同圆的半径、直径大小不同，不能把“直径是半径的2倍”随意用到两个不同的圆之间比较。④ 列式计算时注意单位：题目用什么单位，结果就用什么单位。⑤ 互求结果可以自己检验：算出的直径是不是正好等于半径的2倍？算出的半径是不是正好等于直径的一半？用乘法或除法再验证一遍，能减少计算错误。
4. 画圆的方法：圆的位置与大小
圆的位置与圆心有关：圆心在哪里，圆就画在哪里。圆的大小与半径有关：半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。用圆规画圆，分三步：第一步，定点——把圆规带针的一端固定在纸上，扎出的点就是圆心O；第二步，定长——把圆规两脚分开，量好两脚间的距离，使它等于半径；第三步，旋转——保持两脚距离不变，让带笔的一端绕点O旋转一周，就画出了圆。想一想，为什么用圆规可以画圆？因为旋转的过程中，针尖到笔尖的距离始终不变，这个距离就是半径，圆上每个点到圆心O的距离都等于这个不变的距离，所以画出的轨迹就是一个圆。没有圆规时也能画圆：可以把绳子的一端固定（钉住或按住），另一端系上笔，拉紧绳子绕一周画出圆，这叫“绳钉画圆”，绳长就是半径；也可以用圆形物体的边缘描圆，例如杯盖、硬币等。
5. 生活中的圆
圆在生活中有许多应用，这些应用都可以用“圆上点到圆心的距离相等”来解释。井盖为什么做成圆形？同一个圆中，所有的直径都相等。圆形井盖无论怎样旋转，直径都等于井口的直径，能盖住井口，不会掉进井里。水滴落到水里形成的涟漪为什么是圆的？水波从落水点向四周扩散的速度相同，在同一时刻，波到达的每个点到落水点的距离都相等；到同一个点距离相等的点连起来就是一个圆，落水点就是圆心，所以波纹是圆形的。车轮回转、表盘刻度、碗口杯口……圆的身影无处不在。学好圆，就能看懂这些现象背后的道理。
五、典型例题
【例1】
套圈游戏中，奖品放在场地的中心，参加游戏的人围成一个圆站在圆上。这样的安排公平吗？为什么？如果又来了很多人，大家仍然围成一个圆，还公平吗？
【解答】公平。第一步：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径。第二步：奖品放在圆心，每个人站在圆上，每个人到奖品的距离都等于这个圆的半径。第三步：同一个圆中，所有的半径都相等，所以每个人到奖品的距离相等，站法公平。第四步：来了更多人时，只要大家仍然站在同一个圆上，每个人到圆心的距离依然都等于半径，距离仍然相等，所以还是公平的。这正是《墨经》所说的“圆，一中同长也”：一个圆心，从圆心到圆上各点的长度都相等。
【点拨】判断公平要看“每个人到奖品的距离是否相等”。抓住“圆上所有点到圆心的距离都相等”这一特征，无论人数怎么变，结论都不变。
【例2】
用圆规画一个半径是2 cm的圆，并用字母O、r、d分别标出它的圆心、半径和直径。
【解答】第一步，定点：把圆规带针尖的一端固定在纸上，扎出的点就是圆心O。第二步，定长：把圆规两脚分开，用直尺量好，使两脚间的距离等于2 cm，这个距离就是半径。第三步，旋转：捏住圆规顶端，保持两脚距离不变，让带笔的一端绕点O旋转一周，就画出了圆。第四步，标注：在圆上任取一点A，连接圆心O和点A，线段OA就是半径，在旁边标上r；再画一条通过圆心O、两端都在圆上的线段BC，它就是直径，在旁边标上d。想一想，为什么圆规能画出圆？因为旋转时针尖到笔尖的距离始终不变，圆上每个点到圆心O的距离都等于这个不变的距离，轨迹就是一个圆。
【点拨】画圆成功的关键有两个：针尖（圆心）不动、两脚距离（半径）不变。圆规两脚间的距离就是所画圆的半径。
【例3】
一个圆的半径是2.5 cm，它的直径是多少厘米？另一个圆的直径是9.6 dm，它的半径是多少分米？
【解答】第一个圆：求直径用“半径×2”。直径=2.5×2=5（cm）
第二个圆：求半径用“直径÷2”。半径=9.6÷2=4.8（dm）
答：第一个圆的直径是5 cm，第二个圆的半径是4.8 dm。检查：同一个圆中，直径是半径的2倍。5 cm是2.5 cm的2倍，4.8 dm的2倍是9.6 dm，结果正确。
【点拨】先判断题目要求的是大数还是小数：求直径用“×2”，求半径用“÷2”。列式时注意单位，题目给什么单位，结果就用什么单位。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的（________），通常用字母（________）表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做圆的（________），通常用字母（________）表示。
2. 在同一个圆中，直径是半径的（________）倍，半径是直径的（________）。
3. 一个圆的半径是3.5 cm，它的直径是（________）cm。
4. 一个圆的直径是8.4 dm，它的半径是（________）dm。
5. 同一个圆中所有的半径都相等。（ ）
6. 所有的半径都相等，所有的直径都相等。（ ）
7. 圆的大小与圆心的位置有关。（ ）
8. 用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径。（ ）
9. 右图中，长方形ABCD内有一个圆，圆的直径等于长方形的宽，长方形的长等于宽的2倍。已知圆的半径是3 cm，长方形的宽是（________）cm，长是（________）cm。
长方形内有一个圆
10. 根据“同一个圆中，直径是半径的2倍”填写下表：①半径4.5 cm；②直径7 dm；③半径0.6 m；④直径5.4 cm。
半径与直径的互求
★★ 能力提升
11. 下面说法正确的是（________）。
A. 两端都在圆上的线段叫做直径
B. 圆心到圆上任意一点的距离都相等
C. 同一个圆中，直径是半径的一半
D. 圆的位置与半径有关
12. 用圆规画一个半径是2 cm的圆，并用字母O、r、d分别标出它的圆心、半径和直径。
用圆规画一个半径是2 cm的圆，并用字母O、r、d标出它的圆心、半径和直径。
13. 体育老师要在操场上画一个大圆，可是手边没有圆规，只有一根绳子、一颗钉子和一支粉笔。请你写出他用这些工具画圆的步骤，并说明为什么画出来的就是圆。
14. 马路上很多井盖都做成圆形。请你用学过的圆的知识，解释井盖为什么通常做成圆形。
★★★ 拓展延伸
15. 水滴落入平静的水面，会形成一圈一圈圆形的涟漪。请用“圆上点到圆心的距离相等”解释：为什么水波从落水点向外扩散形成的波纹是圆形的？
16. 在一个圆中任意画出两条直径，它们总会相交于同一点。这一点是圆的什么？请说明理由。
17. 小华用圆规画圆。第一次，圆规两脚之间的距离是3.5 cm，画出的圆的直径是多少厘米？第二次，他画了一个直径是12 cm的圆，圆规两脚之间的距离应是多少厘米？
参 考 答 案
第1题：半径；r；直径；d
【解析】半径一端在圆心、一端在圆上；直径通过圆心且两端都在圆上，是圆内最长的线段。[错因:知识]
第2题：2；一半
【解析】同一个圆中直径是半径的2倍，即d=2r；反过来半径是直径的一半，即r=d÷2。[错因:理解]
第3题：7
【解析】直径=半径×2=3.5×2=7（cm）。[错因:计算]
第4题：4.2
【解析】半径=直径÷2=8.4÷2=4.2（dm）。[错因:计算]
第5题：√
【解析】这是教材结论“同一个圆中所有的半径都相等”，正确。[错因:知识]
第6题：×
【解析】漏掉了“同一个圆中”这一前提。不同圆的半径、直径大小不同，比如半径是2 cm的圆和半径是3 cm的圆，它们的半径并不相等。[错因:理解]
第7题：×
【解析】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。圆心位置变了，圆只是换了个地方，大小不变。[错因:理解]
第8题：√
【解析】针尖到笔尖的距离在画圆过程中保持不变，这个距离就是所画圆的半径。[错因:知识]
第9题：6；12
【解析】圆的直径=半径×2=3×2=6（cm）；长方形的宽=圆的直径=6 cm；长方形的长=宽的2倍=6×2=12（cm）。[错因:方法]
第10题：①直径9 cm；②半径3.5 dm；③直径1.2 m；④半径2.7 cm
【解析】①4.5×2=9 cm；②7÷2=3.5 dm；③0.6×2=1.2 m；④5.4÷2=2.7 cm。求直径用×2，求半径用÷2。[错因:计算]
第11题：B
【解析】A错误：直径还必须通过圆心；B正确：圆上所有点到圆心的距离都等于半径；C错误：同一个圆中直径是半径的2倍，半径才是直径的一半；D错误：圆心决定位置，半径决定大小。[错因:知识]
第12题：针尖扎出的点是圆心O；圆规两脚间的距离是2 cm，即半径；圆上任取一点与圆心相连得到半径并标上r；画一条通过圆心、两端都在圆上的线段，标上d。
【解析】按“定点—定长—旋转”三步画圆：圆心不动，两脚距离2 cm不变。标注时注意：半径是圆心到圆上一点的线段，直径必须通过圆心且两端都在圆上。[错因:方法]
第13题：步骤：第一步，把钉子钉在地上，作为圆心，绳子的一端固定在钉子上，绳长就是半径；第二步，把粉笔系在绳子的另一端；第三步，把绳子拉紧，让粉笔绕着钉子旋转一周，画出的轨迹就是一个圆。理由：画圆的过程中绳子始终保持拉紧，绳长不变，粉笔到钉子的距离始终等于绳长；也就是说，圆上的每个点到圆心（钉子）的距离都相等，符合“圆上所有点到圆心的距离都相等”，所以画出来的是圆。
【解析】绳钉画圆的道理和圆规一样：旋转过程中半径（绳长）保持不变。如果绳子没有拉紧，半径就会变化，画出的就不是圆。[错因:方法]
第14题：同一个圆中，所有的直径都相等。圆形井盖无论怎样旋转，它的直径都等于井口的直径，能正好盖住井口，不会掉进井里。如果井盖做成方形，旋转后沿对角线的方向比井口的边长方向更长，盖子就可能掉进井里。
【解析】解释的关键是“同一个圆中所有直径都相等”：圆形井盖转到任意方向，直径不变，始终盖得住井口。[错因:理解]
第15题：水波从落水点向四周扩散的速度相同。在同一时刻，波到达的每一个点到落水点的距离都相等；到同一个点距离相等的所有点连起来就是一个圆，落水点就是圆心。所以波纹是圆形的。
【解析】这道题把“到某一点距离相等的点组成圆”这一特征倒过来用：波纹上的点处处到落水点的距离相等，所以它们是同一个圆上的点。[错因:理解]
第16题：这一点是圆心。因为直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，所以每一条直径都经过圆心；两条直径都经过同一个点，它们的交点就是圆心。
【解析】抓住直径的定义“通过圆心且两端都在圆上”进行推理：每条直径都过圆心，两条直径自然都交在圆心。[错因:理解]
第17题：第一次：圆规两脚之间的距离就是半径，直径=3.5×2=7（cm）。第二次：两脚之间的距离等于半径，半径=12÷2=6（cm）。答：第一次画出的圆的直径是7 cm，第二次圆规两脚之间的距离应是6 cm。
【解析】圆规两脚间的距离就是所画圆的半径。第一次由半径求直径用×2：3.5×2=7；第二次由直径求半径用÷2：12÷2=6。[错因:方法]半径
直径
关系式
3 cm
6 cm
3×2=6
2.5 m
5 m
2.5×2=5
4.6 dm
9.2 dm
4.6×2=9.2
常见错误
正确认识
直径是圆内最长的线段，所以圆内任意一条线段都可以叫做直径。
直径必须通过圆心，并且两端都在圆上。两个条件同时满足的线段才是直径。
半径
直径
关系式