小学数学北师大版（2024）六年级上册（2024）圆的面积（一）精品复习练习题

这是一份小学数学北师大版（2024）六年级上册（2024）圆的面积（一）精品复习练习题，共2页。试卷主要包含了学习目标，重点，难点，知识要点，典型例题等内容，欢迎下载使用。
本课核心问题
圆是曲线围成的图形，不能直接数方格，怎样得到一个圆的面积？
一、学习目标
1. 理解圆的面积的含义，经历“数方格→等分转化”的探索过程，能说明等分份数与拼成图形接近程度的关系
2. 理解并掌握圆的面积公式 S=πr² 的推导过程，能正确运用公式求圆的面积
3. 会用数方格和内外正方形估计圆的面积，并用估计结果检验计算是否合理
二、重点
• 圆的面积公式 S=πr² 及其推导过程（底=圆周长的一半πr，高=半径r）
• 用公式求圆的面积（已知半径）
三、难点
• 理解拼成的平行四边形的底对应圆周长的一半（πr），并由此推导出 S=πr²
学习支架
圆的面积计算公式
把圆等分成若干份，拼成近似的平行四边形
圆的面积比圆外的正方形小，比圆内的正方形大
等分份数越多，拼出的图形越接近平行四边形
求圆面积的步骤
1. 写公式 S=πr²
2. 找到半径 r（已知直径时先除以2）
3. 先算 r²，再乘 π
4. 写出面积单位并检验结果是否合理
半径4cm的圆（1格表示1cm²）
四、知识要点
1. 圆面积的含义与数方格的局限
圆所占平面的大小，就是圆的面积。要得到一个圆的面积，最直接的想法是像求正方形面积那样画方格数一数：数出圆内整格的个数，再估计不满整格的部分。可是圆是曲线围成的图形，边界上到处都是不满整格的方格——整格的怎么办呢？剩下的怎么办呢？把方格分得再细，数起来也费时费力，而且得到的仍然只是近似值。关键结论：数方格只能得到圆的面积的近似值。我们要寻找更精确、更方便的方法。
2. 转化：把圆变成学过的图形
教材用了一个巧妙的办法：能否将圆转化成以前学过的图形呢？把圆等分成若干份，再拼一拼：圆8等分，拼成的图形可以近似看成平行四边形；16等分、32等分……等分的份数越多，每一份就越小，拼出的图形就越接近平行四边形。关键结论：圆可以转化成近似的平行四边形来研究面积。剪拼前后面积不变，变的只是形状——这正是“转化”思想的价值。
3. 圆的面积公式 S=πr²
拼成的平行四边形与原来的圆之间有什么联系？观察拼图可以发现：平行四边形的底：由半个圆的弧线组成，等于圆周长的一半，即底=πr（圆周长 C=2πr，一半就是πr）；平行四边形的高：等于圆的半径 r。因为平行四边形的面积=底×高，所以：圆的面积=πr×r=πr²
如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么 S=πr²。补充：把圆等分后也可以拼成近似的长方形，长方形的长=πr（圆周长的一半），宽=r（半径），同样得到 S=πr×r=πr²。计算时π通常取3.14。关键结论：已知半径，用 S=πr² 就能求出圆的面积；公式中的r必须是半径，已知直径时要先除以2。
4. 面积的估计与检验
在实际问题中，我们经常需要估计圆的面积。教材提供了两种方法：方法一（数方格）：先数整格，再把不满整格的方格细分为4个小方格来数。方格分得越细，估计就越接近精确值。方法二（范围估计）：观察发现，圆的面积比圆外（外切）正方形的面积小，比圆内（内接）正方形的面积大。先算出这两个正方形的面积，就能知道圆的面积在哪两个数之间。关键结论：估计不是“随便猜”。精确计算结果应当落在估计的范围内，因此估计可以帮助我们检验计算是否合理。
五、典型例题
【例1】
一个圆形花坛的半径是3米，它的面积是多少平方米？（π取3.14）
【解答】① 写公式：S=πr²
② 代入：S=3.14×3×3
③ 计算：先算 r²，3×3=9；再乘π，3.14×9=28.26
④ 作答：这个圆形花坛的面积是28.26平方米。
【点拨】代入公式时先算 r²，再乘π；面积要用面积单位“平方米”表示，不能写成“米”。
【例2】
如图，一个半径是4cm的圆画在方格纸上，1格表示1cm²。先数整格，再把不满整格细分为4个小方格，估一估这个圆的面积大约是多少平方厘米，并用公式算一算精确值。
半径4cm的圆（1格表示1cm²）
【解答】① 数整格：圆内整格有32格。② 不满整格细分为4个小方格再数：约合14格。③ 估计：32+14=46，圆的面积大约是46平方厘米。④ 精确计算：S=πr²=3.14×4×4=3.14×16=50.24（平方厘米）。⑤ 比较：估计值46与精确值50.24比较接近，说明“整格+细分”的估计方法合理。
【点拨】先数整格，再把不满整格细分，估计会更接近精确值；用公式算出的精确值可以反过来检验估计是否靠谱。
【例3】
一个圆的半径是2cm。如图，圆外有一个外切正方形，圆内有一个内接正方形。先判断这个圆的面积在哪两个数之间，再算一算它的精确面积，并说明结果为什么合理。（π取3.14）
圆的面积比圆外的正方形小，比圆内的正方形大
【解答】① 外切正方形的边长等于圆的直径：2×2=4（cm），面积=4×4=16（cm²）。② 内接正方形连接对角线，可以看成4个直角边为2cm的等腰直角三角形，面积=4×(2×2÷2)=8（cm²）。③ 因为圆的面积比外切正方形小、比内接正方形大，所以8cm²＜圆的面积＜16cm²。④ 精确计算：S=πr²=3.14×2×2=3.14×4=12.56（cm²）。⑤ 12.56在8和16之间，说明计算结果合理。
【点拨】“先估计范围、再精确计算、最后检验”是一条完整的解题路径：算出精确值后，检查它是否落在估计的范围内。
同 步 练 习
求圆面积的步骤
1. 写公式 S=πr²
2. 找到半径 r（已知直径时先除以2）
3. 先算 r²，再乘 π
4. 写出面积单位并检验结果是否合理
半径4cm的圆（1格表示1cm²）
★ 基础巩固
1. 如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积公式是 S=（________）。
2. 把一个圆等分成若干份拼成近似的平行四边形，它的底相当于圆的（________），高相当于圆的（________）。
3. 一个圆的半径是2cm，它的面积是（________）cm²。（π取3.14）
4. 一个圆的半径是3cm，它的面积是（________）cm²。（π取3.14）
5. 圆的面积比圆外的正方形面积（________），比圆内的正方形面积（________）。
6. 半径越大，圆的面积越大。（ ）
7. 两个圆的半径相等，它们的面积也相等。（ ）
8. 把一个圆等分成若干份拼成近似平行四边形，等分的份数越多，拼出的图形越接近平行四边形。（ ）
9. 圆的面积比与它外切的正方形的面积大。（ ）
10. 一个圆的半径是2cm，它的面积是6.28cm²。（ ）
11. 已知圆的半径 r=4cm，求圆的面积。（π取3.14）
12. 已知圆的半径 r=6cm，求圆的面积。（π取3.14）
★★ 能力提升
13. 一个圆的直径是10cm，它的面积是（________）cm²。（π取3.14）
A. 78.5 B. 314
C. 31.4 D. 157
14. 一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的（________）倍。
A. 2 B. 4
C. 8 D. 16
15. 如图，一个半径是4cm的圆画在方格纸上，1格表示1cm²。(1) 圆内整格一共有多少格？(2) 把不满整格的方格细分为4个小方格再数，估一估这个圆的面积大约是多少平方厘米？
半径4cm的圆（1格表示1cm²）
16. 用一根长18.84米的绳子正好围成一个圆形水池。想一想：半径=周长÷π÷2，这个圆形水池的占地面积是多少平方米？（π取3.14）
★★★ 拓展延伸
17. 小圆的半径是3cm，大圆的半径是6cm。大圆的面积是小圆面积的多少倍？你能用两种方法解答吗？
18. 一个圆的半径是1.5cm。先借助外切正方形和内接正方形判断这个圆的面积在哪两个数之间，再精确计算它的面积，并说明结果为什么合理。（π取3.14）
19. 把一个圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形（长=πr，宽=r）。已知这个长方形的周长比原来圆的周长多4cm，这个圆的面积是多少平方厘米？（提示：长方形周长比圆周长多的部分正好等于2条半径。π取3.14）
参 考 答 案
第1题：πr2
【解析】圆的面积=π×半径×半径，即 S=πr²。[错因:知识]
第2题：周长的一半（πr）；半径（r）
【解析】底由半个圆的弧线组成，等于圆周长的一半，即πr；高等于半径r。这是推导圆面积公式的关键对应关系。
第3题：12.56
【解析】S=πr²=3.14×2×2=3.14×4=12.56（cm²）。[错因:计算]
第4题：28.26
【解析】S=πr²=3.14×3×3=3.14×9=28.26（cm²）。[错因:计算]
第5题：小；大
【解析】圆完全在圆外（外切）正方形里面，所以圆的面积比它小；圆又完全包含圆内（内接）正方形，所以圆的面积比它大。
第6题：√
第7题：√
第8题：√
第9题：×
【解析】圆在它的外切正方形里面，圆的面积应该比外切正方形小、比内接正方形大。[错因:理解]
第10题：×
【解析】6.28是周长C=2πr=2×3.14×2的数值。面积应算 r²：S=3.14×2×2=12.56（cm²）。[错因:计算]
第11题：50.24平方厘米。S=πr2=3.14×4×4=3.14×16=50.24（平方厘米）。
【解析】先算 r²：4×4=16；再乘π：3.14×16=50.24。面积单位用“平方厘米”。[错因:计算]
第12题：113.04平方厘米。S=πr2=3.14×6×6=3.14×36=113.04（平方厘米）。
【解析】先算 r²：6×6=36；再乘π：3.14×36=113.04。注意 6×6=36，不要算成 12。[错因:计算]
第13题：A
【解析】先求半径：10÷2=5（cm）；再求面积：S=3.14×5×5=3.14×25=78.5（cm²）。B把直径10当成半径直接平方；C求的是周长；D是直径平方的一半，也是把直径当半径的错误变式。[错因:方法]
第14题：B
【解析】面积=πr²，半径变成原来的2倍后，r²变成原来的2×2=4倍，面积也扩大为原来的4倍。A错在以为面积和半径一样按2倍扩大；C错在把2倍理解成立方关系。[错因:理解]
第15题：(1) 圆内整格有32格。(2) 把不满整格细分为4个小方格后，满小格约合14格，圆的面积大约是46~50平方厘米（合理范围内的估计均可）。精确值对照：S=πr²=3.14×4×4=50.24（平方厘米），估计值与精确值比较接近。
【解析】先数整格（32格），再把不满整格细分成小方格数（约合14格），合计约46格，即约46平方厘米；数值在46~50之间都算合理。用公式算精确值50.24，与估计值接近，说明估计方法可行。[错因:方法]
第16题：28.26平方米。半径：18.84÷3.14÷2=3（米）；面积：S=πr2=3.14×3×3=28.26（平方米）。答：这个圆形水池的占地面积是28.26平方米。
【解析】绳子长就是圆的周长。已知周长求面积要分两步：先由 C=2πr 求半径（18.84÷3.14÷2=3），再用 S=πr² 求面积（3.14×9=28.26）。注意周长是长度、面积是平方单位，不能混用。[错因:方法]
第17题：大圆的面积是小圆面积的4倍。方法一：S小=3.14×3×3=28.26（cm²），S大=3.14×6×6=113.04（cm²），113.04÷28.26=4。方法二：面积与半径的平方成正比，6²÷3²=36÷9=4。答：大圆面积是小圆面积的4倍。
【解析】方法一逐一代入公式计算再相除；方法二直接比较半径的平方：半径6是3的2倍，所以面积是2²=4倍。做这类题先看“半径是几倍”，面积就是“几的平方”倍。[错因:理解]
第18题：7.065平方厘米。判断范围：外切正方形的边长等于直径=3cm，面积=3×3=9（cm²）；内接正方形可以看成4个直角边为1.5cm的等腰直角三角形，面积=4×(1.5×1.5÷2)=4.5（cm²）；所以4.5cm²＜圆的面积＜9cm²。精确计算：S=πr²=3.14×1.5×1.5=3.14×2.25=7.065（cm²）。7.065在4.5和9之间，结果合理。
【解析】判断范围时，外切正方形边长是直径（3cm），内接正方形可用“4个等腰直角三角形”算出面积4.5cm²。精确值7.065正好落在4.5~9之间，说明计算无误。[错因:方法]
第19题：12.56平方厘米。长方形的周长=2×(πr+r)=2πr+2r=圆的周长+2r，所以周长多出的4cm就是2r；r=4÷2=2（cm）；S=πr²=3.14×2×2=3.14×4=12.56（cm²）。答：这个圆的面积是12.56平方厘米。
【解析】关键是把“多出的4cm”与图形部分对应起来：长方形比圆周长多的是两条宽（宽=r），所以4cm=2r。先求半径再求面积。[错因:理解]等分份数
拼成的图形
接近程度
8等分
近似平行四边形
比较接近
16等分
近似平行四边形
更接近
32等分
近似平行四边形
最接近平行四边形