初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）第六章 概率的进一步认识2 用频率估计概率精品第2课时课堂检测

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本课核心问题
面对不能直接算出或不便直接调查的概率，我们怎样设计公平、可重复的试验，怎样从数据中作出有边界的估计？
一、学习目标
1. 能根据重复试验数据计算频数和频率，并用表、图描述频率的变化。
2. 能说明大量重复试验中频率呈现相对稳定性，并用稳定附近的频率估计概率。
3. 能设计或评价随机、可重复的模拟试验，结合试验次数和经验误差边界说明估计的可信程度。
4. 能明确表述“估计不等于精确值”，按完整数据分析步骤作出不排他的结论。
二、重点
• 由频数和试验总次数计算频率，并用频率估计概率。
• 从多阶段或多批次数据中识别频率的波动与相对稳定。
三、难点
• 理解增加试验次数只是通常提高估计的稳定程度，不能保证频率单调变化或等于精确概率；能用经验误差边界谨慎评价结果。
学习支架
用频率估计概率的完整数据分析流程
1. 定义事件，明确怎样算一次试验和一次“成功”
2. 检查试验条件相同、抽取随机，必要时放回并充分混合
3. 重复试验并逐批记录总次数与事件频数
4. 计算频率=事件频数÷试验总次数，检查结果在0与1之间
5. 用表或折线图观察频率是否在某个数附近波动
6. 选择稳定区间内的代表值估计概率
7. 报告试验次数、批次差异或经验误差边界
8. 用“约”“估计”“数据支持”表述结论，并说明估计不是精确值
累计试验记录示例
累计次数增加时的频率变化
四、知识要点
1. 频数、频率与概率估计
在n次相同条件的试验中，事件A发生m次，m叫作事件A发生的频数，m/n叫作事件A发生的频率。频数带着“次”的含义，频率是0到1之间的比值。计算后要做两次回查：一是m不能超过n；二是0≤m/n≤1。若大量重复试验中频率在某个数附近波动，可以把这个数作为事件A概率的估计值。这里的“估计”表示近似判断，不是宣称已经得到概率的精确值。
2. 重复试验、频率稳定性与试验次数
少量试验容易受偶然结果影响，频率可能波动较大。随着相同条件下试验次数增加，频率通常会在某个数附近波动，波动幅度往往趋于减小，这就是本课观察到的频率相对稳定性。“相对稳定”不等于不再变化，也不要求每增加一次试验就更接近概率。比较估计质量时，应同时看总次数、后期频率的波动范围和不同批次是否大体一致。
3. 模拟试验的有效条件
当实际调查费时、费力、困难或具有破坏性时，可以用摸球、转盘、随机整数等模拟。有效模拟至少满足：模拟对象与实际对象一一对应；每次结果产生方式随机；每次试验条件相同；需要独立重复时要放回或重新生成；记录规则预先确定。若有意识避开某个球、只挑有利数据或中途改变“成功”标准，所得频率会产生系统偏差，重复再多也难以得到可信估计。
4. 经验误差边界与完整结论
九年级阶段可以用朴素方式描述估计的不确定性。例如，把总试验分成两个独立大批次，若两批频率差不超过事先约定的0.02，就把“批次差≤0.02”作为本次活动的经验稳定标准；也可以报告后几个阶段频率的最大值与最小值。这个边界来自本次数据和人为标准，不是概率真实误差的严格保证。完整结论应包含估计值、试验次数、稳定证据、限制条件和“估计不等于精确值”的提醒。
五、典型例题
【例1】
例1 某事件的累计试验数据为：50次发生31次，100次发生66次，200次发生137次，400次发生274次。计算各阶段频率，描述变化，并估计该事件的概率。
【例2】
例2 甲组做200次试验，事件发生139次；乙组做300次试验，事件发生192次。怎样利用全部数据估计概率？能否直接把两组频率相加后除以2？
【例3】
例3 设计一个用普通六面骰子估计“掷出点数大于4”的概率的试验，并说明怎样判断频率是否相对稳定。
【例4】
例4 一个不透明袋中有20个除颜色外完全相同的球，不倒出清点。每次随机摸1个，记录颜色后放回并摇匀。500次中摸到红球190次。估计红球比例和红球个数。
【例5】
例5 两个小组按同一方案各做1000次试验，事件频数分别为472和491。班级事先约定：两批频率差不超过0.02，就认为本次数据达到经验稳定标准。判断是否达标，并给出合并估计。
同 步 练 习
用频率估计概率的完整数据分析流程
1. 定义事件，明确怎样算一次试验和一次“成功”
2. 检查试验条件相同、抽取随机，必要时放回并充分混合
3. 重复试验并逐批记录总次数与事件频数
4. 计算频率=事件频数÷试验总次数，检查结果在0与1之间
5. 用表或折线图观察频率是否在某个数附近波动
6. 选择稳定区间内的代表值估计概率
7. 报告试验次数、批次差异或经验误差边界
8. 用“约”“估计”“数据支持”表述结论，并说明估计不是精确值
我的重复试验记录表
★ 基础巩固
1. 1. 某事件在500次重复试验中发生186次。写出频数并计算频率。
2. 2. 250次试验中，事件A发生的频率为0.64，则事件A发生（________）次。
3. 3. 某事件在10000次试验中的频率为0.5032，所以该事件的概率精确等于0.5032。（________）（ ）
4. 4. 用摸球试验估计袋中红球比例。下列做法最合理的是（________）。
A. 每次摸到红球后不放回，摸到白球后放回
B. 每次摸球前充分摇匀，摸后放回并记录
C. 只记录连续摸到红球的那些结果
D. 摸球者有意识避开上一次放回的位置
累计试验数据
5. 5. 完成并分析累计试验表：50、100、200、500次试验中，事件频数分别为24、53、102、254。计算各阶段频率，并选择更合适的概率估计值。
6. 6. 随着试验次数增加，事件频率一定会一步一步地更接近概率，不会反向波动。（________）（ ）
7. 7. 300次试验中事件A发生149次，则A不发生的频数是（________）次，A发生的频率约为（________）（精确到0.001）。
8. 8. 甲组300次中成功159次，乙组500次中成功261次。合并后的成功频率是（________）。
A. 0.522 B. 0.525
C. 0.526 D. 0.530
9. 9. 某同学说：“后四个阶段的频率都落在0.58到0.63之间，所以概率一定是0.605。”评价这句话。
★★ 能力提升
硬币重复试验记录
10. 10. 用一枚硬币做重复投掷。按50、100、200、400次四个阶段记录“正面朝上”的累计频数，补全频率栏，并写一句趋势判断。若实际课堂数据不同，按真实数据填写即可。
事件频率随累计试验次数的变化
11. 11. 下图给出某事件在100、200、400、800次累计试验中的频率。读图回答：频率是否单调变化？800次时可怎样估计概率？
模拟试验自查
1. 建立对应
2. 保证随机
3. 分批重复
4. 记录频数
5. 计算频率
6. 观察稳定
7. 估计并说明限制
12. 12. 用计算器产生1到10的随机整数，设计试验估计“随机整数不大于3”的概率。写出事件对应、一次试验、重复次数、记录内容和结论方式。
13. 13. 为估计袋中红球比例，小亮每次摸球后放回，但第二次起总是有意识地避开刚放回的位置。他认为做2000次就能消除这种影响。你同意吗？请改进方案。
14. 14. 两批独立试验各1000次，事件频数为472和491。若经验标准是两批频率差不超过0.02，判断是否达标，计算合并估计，并解释这个标准不能说明什么。
15. 15. 某校用重复模拟估计“新生选择A社团”的概率约为0.27。若下一届约有2000名新生，能否断言恰有540人选择A社团？应怎样作出合理预测？
★★★ 拓展延伸
16. 16. 不打开一个装有红、白两色球的封闭盒，设计试验估计红球比例。请提出至少两种可行的“何时停止试验”标准，并说明不同小组可以得出哪些不互相排斥的合理结论。
累计频率记录
累计频率变化
17. 17. 某模拟在100、400、1000、3000次时的累计频率依次为0.570、0.535、0.522、0.518。甲说“1000次已经足够，因为它与3000次结果只差0.004”；乙说“必须做到更多次，因为3000次也不是精确概率”。评价两人的观点，并制定一个可执行的后续方案。
18. 18. 某零件检测具有破坏性。工厂从同一生产条件下的零件中随机抽取两批：第一批800件发现12件不合格，第二批1200件发现22件不合格。完成从数据到决策的分析：计算各批及合并频率；比较批次差；估计不合格概率；给出不少于两条不互相排斥的质量建议。
试验总次数n
事件发生频数m
频率m/n
50
31
0.620
100
66
0.660
200
137
0.685
400
274
0.685
阶段
试验总次数
事件频数
事件频率
与上一阶段频率的差
总次数
50
100
200
500
事件频数
24
53
102
254
事件频率
待算
待算
待算
待算
累计总次数
正面频数
正面频率
趋势备注
累计次数
100
400
1000
3000
累计频率
0.570
0.535
0.522
0.518