北师大版（2024）五年级上册（2024）整理与复习精品练习题

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本课核心问题
怎样把“倍数与因数”单元的知识织成一张网络，并用它准确描述一个数的“身份”、解决生活问题？
一、学习目标
1. 能结合实例说出倍数、因数、质数、合数、奇数、偶数、公因数、公倍数等概念的含义，并用知识网络表整理出它们之间的联系
2. 能用“找倍数做乘法、找因数一对一对按顺序找”的方法，正确找出指定数的倍数和因数，能判断一个数是不是2、3、5的倍数
3. 能综合运用倍数、因数、质合、奇偶等知识完成“猜数”式推理，会用公因数、公倍数知识解决生活中的分组与排队问题
二、重点
• 梳理并会运用“倍数与最小公倍数、因数与最大公因数”两条主线的知识网络
• 找因数与找倍数的方法，最大公因数与最小公倍数的求法
• 质数与合数、奇数与偶数的判定方法
三、难点
• 正确区分“奇数与偶数”“质数与合数”两套分类标准（尤其1既不是质数也不是合数、2是唯一的偶质数），并在综合题中灵活组合多个条件
学习支架
倍数与因数单元知识网络表
正误对比：判断质数与合数
猜数题的四步筛选法
1. 逐条列出题目给出的所有条件
2. 按最确定的条件列出全部候选数
3. 用其余条件逐个缩小范围
4. 用所有条件回代检验，写出答案
四、知识要点
1. 单元知识网络总览
本单元的内容可以整理成两条主线，再加上一组分类标准：（1）倍数与最小公倍数：认识倍数，研究2、3、5的倍数特征，再认识公倍数与最小公倍数。（2）因数与最大公因数：认识因数，掌握找因数的方法，再认识公因数与最大公因数；质数与合数也是按因数个数的多少对自然数进行的分类。整理时，先用一句话说出每个概念的意思，再为每个概念配一个例子，最后把“谁和谁有关系”用连线表示出来，就织成了知识网络。教材“我的收获”栏目正是请大家这样尝试整理的。
2. 倍数与2、3、5的倍数特征
找倍数就是做乘法：用这个数依次乘1、2、3、4……得到的积就是它的倍数。例如2的1倍是2，2的2倍是4，2的3倍是6……一个数的倍数有无限多个，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。倍数特征：2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数：各位数字之和是3的倍数的数；5的倍数：个位上是0或5的数。易错提醒：2和5的倍数特征看个位，3的倍数特征要“把各位数字相加”再看和，不能只看个位。
3. 因数与找因数的方法
如果两个非零自然数相乘的积等于第三个数，那么这两个数都是第三个数的因数。找因数要一对一对、按顺序地找：从1开始，依次试1、2、3……哪两个数相乘等于这个数，就把它们记成一“对”。例如12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。用“一对一对”的方法找因数，既不重复，也不遗漏。
4. 质数、合数、奇数与偶数
按因数的个数，可以把非零自然数分成三类：只有1和它本身两个因数的数叫质数（如2、3、5、7、11）；除了1和它本身还有其他因数的数叫合数（如4、6、8、9、10）；1只有一个因数，所以1既不是质数，也不是合数。按能否被2整除，又可以把自然数分成奇数和偶数：能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数。关键辨析：这是两套不同的分类标准。2是唯一的偶质数；9是奇数但也是合数。判断一个数是质数还是合数，要看因数的个数，不能看它是不是奇数或偶数。
5. 公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数
几个数公有的因数，叫它们的公因数，其中最大的一个叫最大公因数。例如12的因数有1、2、3、4、6、12，30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，它们的公因数是1、2、3、6，最大公因数是6。几个数公有的倍数，叫它们的公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数。例如3的倍数有3、6、9、12、15、18……，4的倍数有4、8、12、16、20……，3和4的公倍数是12、24、36……，最小公倍数是12。注意：公因数的个数是有限的，公倍数的个数是无限的——所以只能求“最大”公因数和“最小”公倍数。
6. 易错点汇总
（1）倍数、因数不能单独称说。正确说法是“12是3的倍数，3是12的因数”，不能说“12是倍数”。（2）3的倍数特征要看各位数字之和，不能用看个位的方法判断。（3）1既不是质数也不是合数；2是唯一的偶质数；“奇数”不等于“质数”，“偶数”不等于“合数”。（4）找因数要一对一对按顺序找，防止遗漏；两个数的公倍数有无限多个，找到最小公倍数时还要检查它是不是其中最小的一个。（5）解决问题时先分辨情境：平均分、分组找公因数；同时重合、同时完成找公倍数。
7. 综合应用与数学文化
复习中常见的综合问题有两类：（1）“既是……的倍数，又是……的因数”：先分别列出两个集合，再找它们的交集。例如既是6的倍数又是24的因数，可以先写24的因数1、2、3、4、6、8、12、24，再看其中哪些是6的倍数：6、12、24，所以这个数可能是6、12、24。（2）猜数问题：把每个条件都当作“筛子”，逐条筛选，最后用所有条件回代检验。数学文化：教材介绍了哥德巴赫猜想——任何一个大于4的偶数都可以表示成两个质数相加的形式，如6＝3＋3、8＝3＋5、12＝5＋7；我国数学家陈景润1966年证明了“1＋2”的结果。教材“问题银行”还提出了“有最大的质数吗”这样值得深思的问题。
五、典型例题
【例1】
分一分，填一填：把下面各数按要求分类。15 21 28 37 51 60 103 144
奇数有：；偶数有：；质数有：；合数有：。
【例2】
猜猜我是谁：我是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，我是3的倍数，也是一个偶数。
【例3】
学校把48块蛋糕和36盒酸奶分给参加联欢会的小朋友，要求每个小朋友分到的蛋糕同样多、酸奶同样多，并且都正好分完。最多可以分给几个小朋友？每人分到蛋糕和酸奶各多少？
同 步 练 习
我的收获：概念整理表
★ 基础巩固
1. 写出28的全部因数：（________）。其中最小的因数是（________），最大的因数是（________）。
2. 在15、17、22、31、45、60这六个数中，奇数有（________），偶数有（________），质数有（________），合数有（________）。
3. 个位上是3、6、9的数都是3的倍数。（ ）
4. 1既不是质数，也不是合数。（ ）
5. 30以内3和5的公倍数有（________），3和5的最小公倍数是（________）。
6. 从小到大写出30以内4的倍数：（________）。
7. 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。（ ）
8. 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。（1）12和18
（2）6和8
★★ 能力提升
9. 一个数既是5的倍数，又是30的因数，这个数可能是（________）。
A. 10 B. 16
C. 25 D. 60
10. 下列说法正确的是（________）。
A. 所有的质数都是奇数
B. 所有的合数都是偶数
C. 一个非零自然数不是质数就是合数
D. 2是唯一的偶质数
11. 猜猜我是谁：我是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，我是3的倍数，也是一个偶数。我是多少？
12. 学校合唱队排队形，如果每排6人，正好排完；如果每排8人，也正好排完。合唱队的人数比40多、比60少。合唱队有多少人？
13. 找12的因数可以一对一对地找：1和12、2和6、3和4，这样既不重复也不遗漏。（ ）
★★★ 拓展延伸
14. 阅读材料：哥德巴赫猜想（偶数情形）指出，任何一个大于4的偶数都可以表示成两个质数相加的形式，例如6＝3＋3，8＝3＋5，12＝5＋7。请在括号里填上合适的质数：14＝（________）＋（________）
18＝（________）＋（________）
20＝（________）＋（________）
15. 教材的“问题银行”里提出了一个问题：有最大的质数吗？请先与同伴交流自己的想法，再把自己的想法写下来（可以举例，也可以说说理由）。
16. 学校运动会入场式上，要把72面彩旗和54个花环分别平均分给各班方阵，每个方阵分到的彩旗同样多、花环也同样多。最多可以分成几个方阵？每个方阵分到彩旗和花环各多少？
知识分支
核心概念
怎么找
例子
倍数与最小公倍数
倍数：一个数的倍数有无限多个，最小的倍数是它本身
做乘法：依次乘1、2、3……
2的倍数：2、4、6、8……
2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8
看个位
2、4、6、8、10……
3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数
把各位数字相加再看和
21、36、417……
5的倍数特征：个位上是0或5
看个位
5、10、15、20……
公倍数与最小公倍数：几个数公有的倍数中最小
先分别列倍数，再找相同且最小
3和4的最小公倍数是12
因数与最大公因数
因数：一个数的因数个数有限，最小因数是1
一对一对、按顺序找
12的因数：1、2、3、4、6、12
质数与合数：按因数个数分类；1既不是质数也不是合数
数一数因数有几个
37、103是质数；15、21是合数
公因数与最大公因数：几个数公有的因数中最大
先分别列因数，再找相同且最大
12和30的最大公因数是6
错误想法
正确认识
9是质数，因为9是奇数，奇数都是质数。
9是合数。判断质数、合数要看因数的个数：9的因数有1、3、9共3个，所以9是合数；奇偶是另一套分类标准。
概念
我的例子