数学五年级上册（2024）质数与合数精品课时练习

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本课核心问题
怎样判断一个数是质数还是合数？1和2这样的特殊数又该放在哪里？
一、学习目标
1. 能通过列举因数、数因数个数的方法，判断100以内一个数是质数还是合数
2. 知道1既不是质数也不是合数，能正确说出20以内的质数和合数
3. 了解任何一个大于1的整数要么是质数，要么是若干个质数的乘积，能把合数写成质数相乘的形式
二、重点
• 理解质数与合数的意义，会按因数个数分类
• 掌握判断方法：列举全部因数→数个数→下结论，并用2、5、3的倍数特征快速筛选
三、难点
• 准确、不遗漏地列举一个数的全部因数；理解1既不是质数也不是合数，以及2是唯一的偶质数
学习支架
2~12各数的因数与分类
质数与合数
判断一个数是质数还是合数的步骤
1. 先看2、5、3的倍数特征，排除明显的合数
2. 从1开始依次列举这个数的全部因数
3. 数一数因数一共有几个
4. 只有2个因数——质数；有3个及以上因数——合数
5. 1例外：既不是质数，也不是合数
试一试：用12个小正方形可以拼成哪些长方形？在方格中画一画
四、知识要点
1. 用拼长方形探索因数个数
把若干个小正方形拼成一个长方形，可以看成一道乘法题：每行个数×行数＝小正方形总数。例如：12个小正方形可以拼成1×12、2×6、3×4三种长方形，所以12的因数有1、2、3、4、6、12共6个。5个小正方形只能拼成1×5一种长方形，5的因数只有1和5两个。关键发现：把“能拼成几种长方形”和“因数的个数”对应起来，就能直观看出——有的数的因数只有2个，如2、3、5；有的数的因数不止2个。
2. 质数与合数的意义
一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。例如：2、3、5、7、11都是质数。一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。合数的因数至少有3个。例如：4（因数1、2、4）、6（因数1、2、3、6）都是合数。判断方法：先列举出这个数的全部因数，再数一数个数——只有2个因数的数是质数；有3个及以上因数的数是合数。快捷筛选：判断一个数是不是质数，可以先看它是不是2、5、3的倍数——个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；各位上的数字和是3的倍数的数是3的倍数。先用这些特征排除明显的合数，再继续试除其他数。
3. 概念边界：1和2的特殊性
1既不是质数，也不是合数。因为质数要有“1和它本身”两个因数，合数要有“除1和它本身以外”的别的因数，而1的因数只有1个，两类都不符合。2是最小的质数，也是唯一的偶质数：2的因数只有1和2。把2~12按因数个数分类：质数有2、3、5、7、11；合数有4、6、8、9、10、12。注意9是合数（因数是1、3、9），它是奇数但不是质数——分类只看因数个数，与奇偶无关。
4. 质因数分解（你知道吗）
任何一个大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。例如：12＝2×2×3，30＝2×3×5。像这样，把一个合数写成质数相乘的形式，分解到每一个因数都是质数、不能再分解为止。检验方法：算一算乘积是否等于原数；再看一看乘积中的每一个数是不是质数。1不是质数，不能出现在乘积里。质数被称为自然数的“数根”，在数学和密码技术中都有重要应用。
五、典型例题
【例1】
把2~12各数的因数填在表格中，再按因数个数把它们分为质数和合数。
【解答】先依次列举每个数的因数并数出个数：2：因数1、2，共2个
3：因数1、3，共2个
4：因数1、2、4，共3个
5：因数1、5，共2个
6：因数1、2、3、6，共4个
7：因数1、7，共2个
8：因数1、2、4、8，共4个
9：因数1、3、9，共3个
10：因数1、2、5、10，共4个
11：因数1、11，共2个
12：因数1、2、3、4、6、12，共6个
因数只有2个的数有：2、3、5、7、11，它们都是质数。因数有3个及以上的数有：4、6、8、9、10、12，它们都是合数。
【点拨】列举因数时从1开始按从小到大的顺序试除，因数成对出现（如12＝1×12＝2×6＝3×4），做到不重复、不遗漏；分类以“1和它本身”为基准，多一个别的因数就归入合数。
【例2】
判断19和21各是质数还是合数，并说明理由。
【解答】判断19：从2开始依次试除。19不是2的倍数（个位是9），不是3的倍数（1＋9＝10，不是3的倍数），不是5的倍数（个位不是0或5）；继续试除其他数，试到商比除数小就可以停止。所以19的因数只有1和19，19是质数。判断21：21＝3×7，21的因数有1、3、7、21共4个，除了1和它本身以外还有3、7这样的别的因数，所以21是合数。易错对比一：有的同学只看奇偶，认为“19是奇数所以是质数、21是奇数所以也是质数”，这是错的——判断质数、合数只能数因数个数，21有4个因数，是合数。易错对比二：有的同学把1当作质数，1的因数只有1个，既不是质数也不是合数。
【点拨】先看2、5、3的倍数特征排除明显的合数，再从小到大试除其余的数；试到“商比除数小”时，因数就列举完了。
【例3】
把30写成质数相乘的形式。
【解答】30＝2×15
15＝3×5
所以30＝2×3×5。检验：2×3×5＝30，乘积中的2、3、5都是质数，分解到不能再分解为止。还可以这样分：30＝5×6＝5×2×3，结果相同，只是顺序不同。
【点拨】分解时先把合数拆成两个数相乘，再把其中仍是合数的数继续拆，直到每一个因数都是质数；乘积中不能出现1，因为1不是质数。
同 步 练 习
我来探索：13~20各数的因数与分类
★ 基础巩固
1. 一个数只有（________）和（________）两个因数，这个数叫作质数。
2. 一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作（________）。
3. 最小的质数是（________），最小的合数是（________）。
4. 20以内的质数有（________）。
5. 把12写成质数相乘的形式：12＝（________）。
6. 把3、6、11、14按质数、合数分一分：质数有（________），合数有（________）。
7. 1既不是质数，也不是合数。（ ）
8. 除2以外，所有的质数都是奇数。（ ）
9. 所有的偶数都是合数。（ ）
10. 最小的质数是1。（ ）
★★ 能力提升
11. 下面说法正确的是（________）。
A. 所有的偶数都是合数
B. 所有的质数都是奇数
C. 一个合数至少有3个因数
D. 1是最小的质数
12. 小华和小明每人心里想了一个质数，两个数相加的和是12，相乘的积是35。这两个质数分别是多少？
13. 把17、18、23、39、41这五个数分一分：哪些是质数？哪些是合数？并说一说你的判断方法。
14. 学校储物柜的编号是1~20。张老师把编号是质数的柜子贴上红星，把编号是合数的柜子贴上蓝星。贴红星的柜子有多少个？贴蓝星的柜子里，编号是偶数的有多少个？
15. 用18个小正方形可以拼成几种不同的长方形？请先在方格纸上画一画，再写出你的答案。
用18个小正方形拼长方形
★★★ 拓展延伸
16. 两个不同的质数相加，和是25。这两个质数的乘积是多少？
17. 把1~20中所有的质数相加，得到的和是质数还是合数？请说明理由。
18. 把84写成质数相乘的形式：84＝（________）。
参 考 答 案
第1题：1；它本身
【解析】质数必须恰有“1和它本身”两个因数，缺一个都不行。[错因:概念]
第2题：合数
【解析】合数的因数至少有3个：1、它本身，还有别的因数。[错因:概念]
第3题：2；4
【解析】2只有因数1、2，是最小的质数；4有因数1、2、4，是最小的合数。[错因:概念]
第4题：2、3、5、7、11、13、17、19
【解析】逐一列举：1既不是质数也不是合数，从2开始，每个数因数只有1和它本身的就是质数。[错因:概念]
第5题：2×2×3
【解析】把12先拆成2×6，再把6拆成2×3，得2×2×3，2和3都是质数，不能再分解。[错因:计算]
第6题：3、11；6、14
【解析】3的因数只有1、3，11的因数只有1、11，是质数；6有因数1、2、3、6，14有因数1、2、7、14，是合数。[错因:概念]
第7题：√
【解析】一个数按因数个数分类，1的因数只有1个，既不符合质数“两个因数”的要求，也不符合合数“还有别的因数”的要求。[错因:概念]
第8题：√
【解析】质数中只有2是偶数，除2以外质数都是奇数。[错因:概念]
第9题：×
【解析】偶数不一定都是合数，2是唯一的偶质数，它只有1和2两个因数。[错因:概念]
第10题：×
【解析】质数必须只有1和它本身两个因数，1只有1个因数，所以1既不是质数也不是合数，最小的质数是2。[错因:概念]
第11题：C
【解析】A错：2是偶数但不是合数；B错：2是质数但不是奇数；D错：1既不是质数也不是合数；C对：合数除1和它本身外还有别的因数，所以至少有3个因数。[错因:概念]
第12题：5和7。35＝5×7，5和7都是质数，5＋7＝12，符合题意。
【解析】先看积35可以拆成哪两个整数的乘积：1×35、5×7；再检查每对是否两个都是质数且和为12。1不是质数，所以只能是5和7。[错因:方法]
第13题：17、23、41是质数；18、39是合数。判断方法：先列举每个数的因数——17、23、41都只有1和它本身两个因数，是质数；18的因数有1、2、3、6、9、18，39的因数有1、3、13、39，除1和它本身外还有别的因数，是合数。
【解析】39容易误判：39＝3×13，是3的倍数，不是质数；18是偶数，除1和本身外还有因数2。判断质数、合数必须以因数个数为准。[错因:方法]
第14题：8个；9个。编号是质数的有2、3、5、7、11、13、17、19，共8个；贴蓝星且编号是偶数的有4、6、8、10、12、14、16、18、20，共9个。
【解析】20以内的质数共8个，其中没有偶数，因为2只有1和2两个因数，是质数，其余偶数都是合数；偶数合数从4数到20，共9个。[错因:概念]
第15题：3种：1×18、2×9、3×6。
【解析】先列举18的因数：1、2、3、6、9、18，每对因数对应一种长方形，共3种；同一对因数（如2×9和9×2）只算一种拼法。[错因:方法]
第16题：46。两个质数的和是25，25是奇数，说明这两个质数一奇一偶；质数中唯一的偶数是2，另一个质数是23，2×23＝46。
【解析】奇数＋偶数＝奇数。除2以外所有质数都是奇数，两个奇数相加应是偶数，所以25只能拆成“2＋23”；再验证23是质数（因数只有1和23），积是46。[错因:推理]
第17题：77，是合数。1~20的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，它们的和是77；77＝7×11，除1和77以外还有因数7和11，所以77是合数。
【解析】先正确找出1~20的全部质数（共8个，1不是质数，不能加进去），求和得77；再判断77：77＝7×11，因数有1、7、11、77共4个，是合数。[错因:计算]
第18题：2×2×3×7
【解析】把84依次拆成两个因数相乘：84＝2×42＝2×2×21＝2×2×3×7；最后检查乘积中2、3、7都是质数，且2×2×3×7＝84。[错因:计算]n
n的因数
因数个数
分类
2
1、2
2
质数
3
1、3
2
质数
4
1、2、4
3
合数
5
1、5
2
质数
6
1、2、3、6
4
合数
7
1、7
2
质数
8
1、2、4、8
4
合数
9
1、3、9
3
合数
10
1、2、5、10
4
合数
11
1、11
2
质数
12
1、2、3、4、6、12
6
合数
质数
合数
只有1和它本身两个因数
例如：2、3、5、7、11
除1和它本身以外还有别的因数，至少3个因数
例如：4、6、8、9、10、12
n
n的因数
因数个数
质数还是合数