北师大版（2024）五年级上册（2024）最大公因数和最小公倍数精品同步测试题

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本课核心问题
怎样快速、准确地找出两个数的最大公因数和最小公倍数？密码箱里的密码为什么可以用“相同的因数中最大的”和“相同的倍数中最小的”来破译？
一、学习目标
1. 理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的含义，能说清“共同的因数/倍数”与“最大/最小”的关系
2. 会用列举法找出两个数的公因数、公倍数，并求出最大公因数和最小公倍数
3. 会用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，能说出每一步的含义和停止条件
二、重点
• 公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数的概念及区别
• 用列举法和短除法求最大公因数、最小公倍数的方法步骤
三、难点
• 分清“公因数”与“公倍数”（因数个数有限、倍数个数无限），以及短除法中最大公因数与最小公倍数取数范围的不同
学习支架
12和18的因数与公因数
50以内4和6的倍数与公倍数
用短除法求18和24的最大公因数与最小公倍数
短除法求最大公因数与最小公倍数
1. 用两个数的公因数同时去除，把商写在各自的正下方
2. 除到两个商只有公因数1为止
3. 左侧所有除数相乘，得到最大公因数
4. 左侧所有除数与最后的两个商相乘，得到最小公倍数
四、知识要点
1. 公因数与最大公因数
几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个，叫作它们的最大公因数。找公因数的一般步骤（列举法）：① 分别写出每个数的所有因数，从小到大、成对找，不遗漏；② 找出它们相同的因数，即公因数；③ 在公因数中选出最大的一个。例如：12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，相同的因数是1、2、3、6，所以12和18的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。需要记住的边界：任何两个数都有公因数1；一个数的因数个数有限，所以公因数个数也有限，最大公因数一定存在且唯一；最大公因数不会比这两个数中较小的那个更大。
2. 公倍数与最小公倍数
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫作它们的最小公倍数。找公倍数的一般步骤（列举法）：① 分别写出（限定范围内）每个数的倍数；② 找出它们相同的倍数，即公倍数；③ 在公倍数中选出最小的一个。例如：100以内4的倍数有4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48……，100以内6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48……，相同的倍数是12、24、36、48……，所以4和6的公倍数有12、24、36、48……，最小公倍数是12。需要记住的边界：一个数的倍数个数无限，所以公倍数个数也无限，没有最大的公倍数；最小公倍数一定存在且唯一，它不小于这两个数中较大的那个。教材中的密码箱故事正是利用“相同的倍数中最小的”（4和6是12）来破译密码。
3. 用短除法求最大公因数和最小公倍数
除了列举法，还可以用短除法一次求出两个数的最大公因数和最小公倍数。方法步骤：① 把两个数并排写在一起，用它们的公因数（通常按2、3、5……从小到大试）同时去除，把商写在各自的正下方；② 继续用得到的两个商的公因数去除，一直除到两个商只有公因数1为止；③ 最大公因数＝左侧所有除数相乘；④ 最小公倍数＝左侧所有除数与最后两个商相乘。例如求18和24：先同时除以2，得商9和12；再同时除以3，得商3和4；3和4只有公因数1，停止。最大公因数：2×3＝6；最小公倍数：2×3×3×4＝72。与列举法对照可以看出：短除法把“找共同部分”变成“连续除以公因数”，除数的乘积就是共同部分（最大公因数）；再乘上两个数各自剩余的商，就得到能同时被两个数整除的最小的数（最小公倍数）。检验方法：用最大公因数除两个数，得到的商只有公因数1；最小公倍数应能被这两个数整除。
五、典型例题
【例1】
求12和18的最大公因数。
【例2】
求4和6的最小公倍数，再求4和6的最大公因数，比较两个结果，说说你的发现。
【例3】
用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数。
同 步 练 习
用列举法找公因数（练习）
★ 基础巩固
1. 16的因数有（________），24的因数有（________），16和24的公因数有（________），16和24的最大公因数是（________）。
2. 50以内4的倍数有（________），50以内10的倍数有（________），4和10的公倍数有（________），4和10的最小公倍数是（________）。
3. 12和18的最大公因数是（________）；8和12的最大公因数是（________）。
4. 4和6的最小公倍数是（________）；6和9的最小公倍数是（________）。
5. 用短除法求20和30的最大公因数和最小公倍数。
6. 4和6的公倍数只有12和24。（ ）
7. 两个数的公因数中，最大的一个就是它们的最大公因数。（ ）
8. 12和18的公因数一共有4个。（ ）
9. 4和6的最大公因数是12。（ ）
★★ 能力提升
10. 24和36的最大公因数是（________）。
A. 6 B. 12
C. 18 D. 72
11. 公交车站的1路车每6分钟发一班，2路车每8分钟发一班。早上7:00两路车同时从车站发出，下一次同时发车是在几分之后？
12. 两个数的最大公因数一定比它们的最小公倍数小。（ ）
13. 把36块水果糖和48块饼干分别平均分给一些小朋友，要求水果糖和饼干都正好分完，而且每个小朋友分到的水果糖同样多、饼干同样多，最多可以分给多少个小朋友？
★★★ 拓展延伸
14. 把一条长36厘米的彩带和一条长48厘米的彩带分别截成同样长的小段，要求每段都是整厘米数，并且两条彩带都没有剩余。每段最长是多少厘米？这时一共可以截成多少段？
15. 笑笑设计的密码是一个两位数，它既是4的倍数，又是6的倍数，而且比30大、比50小。这个密码可能是多少？
16. 观察短除法算式，说说为什么18和24的最大公因数是2×3，而最小公倍数是2×3×3×4？
12的因数
18的因数
公因数
1、2、3、4、6、12
1、2、3、6、9、18
1、2、3、6
50以内4的倍数
50以内6的倍数
公倍数
4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48
6、12、18、24、30、36、42、48
12、24、36、48
18
24
同时除以公因数2
9
12
同时除以公因数3
3
4
3和4只有公因数1，停止
两个数
因数
公因数
最大公因数