初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）26.2 特殊角的三角函数值精品第2课时练习

这是一份初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）26.2 特殊角的三角函数值精品第2课时练习，文件包含冀教版九年级数学上册_第二十六章_第2课时_特殊角的三角函数值_讲义与练习_教师版docx、冀教版九年级数学上册_第二十六章_第2课时_特殊角的三角函数值_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
30°、45°、60°角的三角函数值为什么能精确表示?怎样记住它们,并正确用于求值与求角?
一、学习目标
1. 记住30°、45°、60°角的三个三角函数值,并能借助三角板中的特殊直角三角形说明这些值的由来
2. 理解sin²α=(sinα)²的记号约定,能正确计算含特殊角三角函数值的代数式
3. 能由已知的三角函数值或直角三角形中的边长条件反求锐角的度数,并解决简单的求角、求边问题
二、重点
• 30°、45°、60°角的三角函数值表及其由来
• 由三角函数值(或两边之比)反求锐角度数
三、难点
• 区分不同特殊角对应的三角函数值(如sin30°与sin60°、tan30°与tan60°),正确理解并计算sin²α
学习支架
30°、45°、60°角的三角函数值
含30°角的直角三角形(三角板之一)
等腰直角三角形(三角板之二)
四、知识要点
1. 特殊角的三角函数值表
30°、45°、60°这三个特殊角的正弦、余弦、正切都可以精确表示,教材把它们集中在一张表中。关键结论(特殊值表):
sin30°=12,sin45°=22,sin60°=32;
cs30°=32,cs45°=22,cs60°=12;
tan30°=33,tan45°=1,tan60°=3。记忆提示:sinα的值随角度增大而增大(12→22→32),csα的值随角度增大而减小,tan45°=1恰好是表中的中间值,可以用它来检验记忆是否错位。
2. 特殊值的由来——三角板中的特殊直角三角形
一副三角板中有两个特殊的直角三角形:含30°角的直角三角形和等腰直角三角形。设含30°角的直角三角形中,30°角所对的直角边为a,由勾股定理可得另一条直角边为3a、斜边为2a,即三边之比为1:3:2。由三角函数定义:
sin30°=a2a=12,cs30°=3a2a=32,tan30°=a3a=33;
60°角的三角函数值同样可由这个三角形得到,注意60°角的对边是长直角边3a。等腰直角三角形两直角边相等,设直角边为a,则斜边为2a,三边之比为1:1:2,于是sin45°=cs45°=a2a=22,tan45°=aa=1。这样,表中的每个值都能从图形推出来,记不清时可以画图还原。
3. 平方记号与含特殊角式子的计算
为方便起见,今后把(sinα)²、(csα)²、(tanα)²分别记作sin²α、cs²α、tan²α。注意:sin²α表示“正弦值的平方”,计算时要先求出sinα的值再平方,例如sin²30°=(12)²=14,它不等于2sin30°=1。计算含特殊角三角函数值的式子,一般按三步进行:
①识别式子中出现的特殊角,写出对应的三角函数值;
②把数值代入原式,保留运算符号和乘方;
③按先乘方、再乘除、后加减的顺序化简,结果通常为整数或含根号的最简式子。
4. 由三角函数值反求锐角度数
特殊值表不仅可以“由角求值”,还可以“由值求角”:已知一个锐角的三角函数值,就可以确定这个锐角的度数。例如:sinA=32且A为锐角,对照表得A=60°;tanα=1,得α=45°。在0°~90°的范围内,一个锐角的正弦、余弦、正切值都是唯一确定的,反过来,已知函数值也能唯一确定这个锐角。解题要点:先由条件算出某个三角函数值(必要时先化简,如3(23)=32),再对照特殊值表确定角度;对照时注意“值对号入座”,不要用错角。
5. 特殊值在解直角三角形中的综合运用
特殊角三角函数值常与直角三角形结合使用,既可以求角,也可以求边。求角:先在图形中确定要研究的直角三角形,用定义写出三角函数值(如sinA=CDAC),化简后对照特殊值表得角度,再利用两锐角互余求另一个锐角。求边:已知一个锐角和一条边时,选择含未知边的直角三角形,写出对应的三角函数关系式(如sin60°=CDBC),把特殊值代入后解关于未知边的方程。解题一般思路:①标出已知量和未知量;②确定使用的直角三角形——高线(如CD⊥AB)会同时生成两个直角三角形,要看清条件落在哪一个三角形中;③代入特殊值列式求解;④检验结果是否为正数、是否符合图形实际。
五、典型例题
【例1】
求下列各式的值:
(1) 2sin30°+3tan30°−tan45°;
(2) sin²45°+tan60°·cs30°。
【例2】
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=23,CD=3,求∠B的度数。
Rt△ABC，CD⊥AB于点D（非按比例示意）
【例3】
在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=3,求∠B的度数。
同 步 练 习
自己填写特殊角的三角函数值
★ 基础巩固
1. 直接写出下列特殊角的三角函数值:
sin30°=（________）;cs45°=（________）;tan60°=（________）。
2. 直接写出下列特殊角的三角函数值:
cs30°=（________）;sin45°=（________）;tan30°=（________）。
3. 含30°角的直角三角形中,三边之比为（________）(按从小到大的顺序);等腰直角三角形的三边之比为（________）。
4. sin30°=32。（________）（ ）
5. 含30°角的直角三角形中,30°角的对边与邻边的比是3。（________）（ ）
6. sin²30°=2sin30°。（________）（ ）
7. 若α为锐角,且sinα=csα,则α=45°。（________）（ ）
8. 计算:2sin30°+2cs60°−tan45°。
9. 计算:sin²60°+cs²60°。
10. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=1,则∠A=（________）,∠B=（________）。
11. sin²45°+cs²45°=（________）。
★★ 能力提升
12. 下列关于特殊角三角函数值的说法,正确的是（________）。
A. sin30°=cs30°
B. tan45°=3
C. sin60°=cs30°
D. cs60°=32
13. 在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=22,AB=4,则BC=（________）。
A. 2
B. 22
C. 2
D. 4
14. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=23,CD=3,求∠A和∠B的度数。
★★★ 拓展延伸
15. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点D,若CD=23,求AB和BC的长。
综合题图形
16. 求满足下列各式的锐角α:
(1) 3tanα−3=0;
(2) 2csα−1=0。
锐角α
30°
45°
60°
sin α
12
22
32
cs α
32
22
12
tan α
33
1
3
三角函数
30°
45°
60°