人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系教案设计

这是一份人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系教案设计，共6页。教案主要包含了创设情景，引出课题等内容，欢迎下载使用。

学习
目标
1.掌握根与系数的关系；
2.利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
重点
掌握根与系数的关系.
难点
利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题
前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下：
小明：我说小青，我有一个秘密，你想听吗？
小青：什么秘密？
小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？
小青：哦？
小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么
说吧：她的年龄啊是方程的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．
小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，
而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程
的两根的和呢．
小明：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄．
完成下列表格，回答问题：
问题你发现上面表格有什么规律？
思考1：从因式分解可知，方程(x-x1)(x-x2)=0（x1.x2已知数）的两根为x1，x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
归纳：
如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2，那么x1+x2= -p，x1 ·x2=q.
思考2：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，二次根式系数a未必是1，它的两个根x1和x2的和、积与系数a，b，c有又怎样的关系呢？
证明猜想：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
于是得到，一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间有怎样的关系？
思考
自议
师生合作，借用求根公式推导根与系数的关系.
提出问题，寻找解决办法，为下面推导根与系数的关系奠定基础.
讲授新课
提炼概念
归纳：一元二次方程根与系数的关系：（由于这是数学家韦达提出并证明了的，所以后人为了纪念就把这个公式叫做韦达定理）
即：两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。
●注意，韦达定理使用的前提：(b2-4ac≥ 0且a≠0)
小结：求根与系数的关系的步骤：
1.化：把方程化成一般形式；
2.定：确定a，b，c的值；
3.求：求出x1+x2，x1x2的值；
4.验：检验b2-4ac≥0.
小结：用到根与系数的关系的几种常见的求值
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
借助典型例题，展示求解两根之和与两根之积的步骤，并进行总结.
培养学生计算能力以及熟练根与系数的关系.
课后检测
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.
，-3
2.设x1.x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则
x1+x2 = ______ ，x1x2 = ______
x12+x22 = ( x1+x2)2 - _________=______
( x1-x2)2 = (______)2 - 4x1x2 =______
3. 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
4.不解方程，求一元二次方程2x2+3x-1=0两个根的①平方和；②倒数和。
课堂小结
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系(韦达定理)：
注意：能用根与系数的关系的前提条件：b2-4ac≥0