初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）30.2 三角形的内切圆导学案

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学习目标
1.掌握三角形内切圆的定义，内心的概念。(重点）
2.掌握三角形周长、面积与内切圆半径的关系。(重点）
3.理解内切圆和外接圆的区别.
考点整理
一、三角形的内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点．
注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部．
（2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径．
（3）常见结论：如图，，，，，．
二、 弦切角定理
1．弦切角定理：
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.
弦切角就是切线与弦所夹的角．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
如图所示，直线AB切圆O于点A，AC为圆O的弦，是弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，则．
三、圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定．
设、的半径分别为r、R（其中），两圆圆心距为d，则有：
两圆外离；两圆外切；两圆相交；
两圆内切；两圆内含
说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
四、圆幂定理
1．相交弦定理
相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．
如图，弦AB和CD交于内一点P，则．
2．切割线定理
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
如图，PT是的切线，PAB为的割线，则．
3．割线定理
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
如图，PAB和PCD为的两条割线，则．
题型归纳
【题型1 三角形内心的应用】
1．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心
C．三角形三条高的交点是三角形的重心
D．直角三角形的外心在斜边上
【答案】D
【详解】选项A：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，选项A错误，不符合题意；
选项B：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，到三角形三边距离相等的点才是三角形的内心，所以B错误，不符合题意；
选项C：三角形三条高的交点是三角形的垂心，三角形三条中线的交点才是三角形的重心，所以C错误，不符合题意；
选项D：直角三角形的外心是其斜边的中点，因此直角三角形的外心在斜边上，所以D正确．
2．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（ ）种．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案．
【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部；
重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部；
外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件；
垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件．
综上所述，满足条件的心共有种．
3．将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】三角形内心的性质：因为三角形内心是三个内角角平分线的交点，所以若内心在上，则一定是某一个内角的角平分线，因为折叠前后对应角相等，所以分析各选项中折叠后得到的相等角，判断是否能推出AD平分△ABC的某一个内角，逐一验证选项即可．
【详解】解：选项A：折叠后点落在边上，根据折叠前后对应角相等，可得，即平分，因此的内心一定在上， 选项A正确；
选项B：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项B不符合题意；
选项C：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项C不符合题意；
选项D：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项D不符合题意．
4．如图，，，，内切圆半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图中A、B、C、D四点共圆，且，可得，因此是圆的直径，进一步可得，同时．先在中用勾股定理求的长度，再在中求出的长度．过点A作于点E，用勾股定理求出的长度，即得的长度。设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H，则，由，代入的值，即可求出内切圆半径．
【详解】解：连接，∵，
∴，，
∴，
∴是圆的直径．
∴，
在中，，，
∴ ，
∴，
∴ ．
过点A作于点E，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H，
则，
∵，
∴，
化简得，
解得．
【题型2 一般三角形的面积、周长与内切圆半径的关系】
5．如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解．
【详解】解：如图令，分别交于，，
∵是的内切圆，切点分别为G，D，R，
∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积，
∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质及三角形周长计算．设，，，分别过点O作，，，，，，由切线长定理知，，，分别连接，，，，，，利用“”证明，同理可得，，，，，从而得出，，，，，设，，，将，，的周长分别用含a、b、c的式子表示出来，联立的周长表达式求得，进而得出a、b、c含k的表达式，最终经过计算得出比值．
【详解】解：由题意知，设，，，
如图，分别过点O作，，，，，，
由切线长定理知，从点B引两条切线，，则有，
同理得：，，
分别连接，，，，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理，易证得：，，，，，
∴，，，，，
设，，，
∴，
，
，
∴，即，
∴，，，
∴，，，
∴，
故选：D．
7．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长．
【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：A．
8．如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（ ）
A．1.25B．1.125C．1.1D．1.2
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内切圆的性质，设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、，由内切圆可得，，，，则，即可得到，同理可得，再代入计算即可．
【详解】解：设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、，
∵，
∴，，
∵为斜边上的中线，
∴，，
∵的内切圆圆心，切点分别为、、，的内切圆半径为，
∴，，，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故选：B．
【题型3 内切圆与外接圆的区别和应用】
9．如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】首先，判断最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径，再由I为的内心，均为的角平分线，①设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为，然后，由勾股定理得，可求得的长，接着，由角平分线的性质得，再由，得，最后，分别求得的长，再分别代入计算即可；②过点I作于H，由角平分线的性质得，再由，得，最后，将的值分别代入计算即可；③由①的结论对应的比值及对应求得的的长，分别代入对应数据计算即可．
【详解】解：∵等腰的底边长为，，
∴，，
∵包装盒的最小半径为，直径为，且，
∴最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径．
∵I为的内心，
∴均为的角平分线，
①如图1，设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为，
∴，
∵，，
∴点O在线段上，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，解得或，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，即，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴若的平分线交边于点E，则的值可能为或，推断①正确；
②如图2，过点I作于H，
∵均为的角平分线，，
∴，
∵，
∴，即，
当时，；
当时，；
内心I将高线分成的两段比例的值可能为或，推断②正确；
③由①得当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴；
∴线段的长度可能为或，推断③正确；
综上，正确推断的个数为3．
10．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴它们的内心与外心重合．
如图，过点O作的垂线，交于E，连接、．
设圆O的半径为R．
中，∵，
∴，即．
中，∵，
∴，即．
∴．
故答案为：．
11．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：∵，
，
∵是的内切圆，
，
，
，
故选： C．
12．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．B．
C．D．随直线的变化而变化
【答案】C
【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、，
的周长为，，
，
，，
，
，
，，
，
剪下的三角形的周长为，
故选：C．
13．与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆称为四边形的内切圆．任意三角形都同时拥有内切圆和外接圆，而只有部分四边形才同时拥有内切圆和外接圆．
(1)如图1，已知两条直角边分别为6和8，则的内切圆半径为_______．
(2)如图2，在中，，是边上的中线，，求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
(3)如图3，已知四边形同时拥有内切圆和外接圆，它的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，连接，，，．
①设，，，的面积分别为，求证：；
②若，，，求内切圆的半径r及的长．
【答案】(1)2
(2)5
(3)①证明：如图3，连接，
∵四边形的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，
∴，，，，，，，，，
∴，
即，
设，
则，，，，
∴，，
∴；
②，的长为
【分析】（1）设的内切圆与分别相切于点，连接、、、、、，根据勾股定理可得，根据三角形面积公式可得，根据三角形内切圆的性质得到，，，，再利用等积法列出关于长的方程，即可求解；
（2）过点作于点，连接、、，根据三线合一性质得到，平分，根据勾股定理可得，根据外接圆圆心的性质可得，点在直线上，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的长；根据内切圆圆心的性质可得平分，平分，进而证明，得到，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的长，再利用线段的和差求出的长，即可解答；
（3）①连接，根据切线长定理得到，，，，进而证出，再利用三角形的面积公式即可证明结论；②先证明得到，同理可得，，，根据四边形拥有外接圆得到，，通过证明，得到，在利用勾股定理列出方程，求出的值，进而利用勾股定理求出长，再证明即可求出的长．
【详解】（1）解：如图1，设的内切圆与分别相切于点，连接、、、、、，
根据题意，，，，
∴，，
∵的内切圆与的切点分别为，
∴，，，，
∵，
∴，
即，
解得，
即的内切圆半径为2；
（2）解：如图2，过点作于点，连接、、，
∵，是边上的中线，
∴，平分，
∴，是的垂直平分线，
∴，
∵点是的外接圆圆心，
∴点在的垂直平分线上，，
∴点在直线上，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵点是的内切圆圆心，
∴平分，平分，
∴，
∵平分，平分，
∴点在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
即的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为5；
（3）①略
②解：由①得，，
又∵，
∴，
∴，
同理可得：，，，
∵四边形拥有外接圆，
∴，，
∴，，
即，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得（负值已舍去），
∴，
∴，
同理可证：，
∴，即，
解得；
综上，内切圆的半径，的长为．
14．探索四边形与矩形中的角度及边长关系
问题提出：
(1)如图①，在四边形中，，，，，求四边形的对角线的长；
问题解决：
(2)如图②，矩形为某公园内的一片空地，现计划将此区域修建为园林景观，其中将区域建设为池塘，四边形区域放置假山，其余区域种植花草树木．已知，，G为的中点，，．根据设计要求，需将假山区修建的尽可能小．试问四边形面积是否存在最小值？若存在，求出四边形PEGF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形的面积存在最小值，最小值为
【分析】（1）过点D作，由旋转的性质得到为等腰三角形，求出，再利用正弦的定义求解即可；（2）连接将绕点P逆时针旋转60°，得到，连接，证明为等边三角形，得出，作的外接圆O，过点O作，垂足为M，过点E作，垂足为N，连接、，得到，作的外接圆，过点G作，垂足为I，交圆于点K，过点P作，垂足为H，连接、，证明G、P、H、四点共线，求出的最小值即可得解；
【详解】（1）解：，
，
，
如图①，将绕点D逆时针旋转120°得到，
，，
点A与点C对应，点B与点E对应，
则，
B、C、E三点共线，
，，
为等腰三角形，
，
过点D作，垂足为F，
，
，，
，
，
；
（2）解：存在．
如图②，连接将绕点P逆时针旋转60°，得到，连接，
，，
点E与点F对应，点G与点对应，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
作的外接圆O，过点O作，垂足为M，过点E作，垂足为N，连接、，
当N、M两点重合时有，此时，
此时，
作的外接圆，过点G作，垂足为I，交圆于点K，过点P作，垂足为H，连接、，
，
当G、P、H三点共线时有，
点G为的中点，
，
，
当P、H、三点共线时有，
此时，G、P、H、四点共线，
，
连接、，
，
易得，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
四边形的面积存在最小值，最小值为．
15．已知四边形是菱形，连接，点E是菱形外一点，满足，连接BE．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，连接，分别交于点G，O，取的中点F，连接，试判断这三条线段的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，当最小时，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）先证明与也是等边三角形，在中，求出，得到，过B作的延长线于H，推导出，则，由勾股定理，得到，则．由勾股定理，得，即可解答；
（2）在上截取，连接， ，先证明是等边三角形，推导出，则，继而证明，即，得到，即可解答；
（3）当E与C重合时，F是中点(记为)，当E与A重合时，F是中点(记为)，连接交于M，得出点F在以M为圆心，为半径的圆上运动，即当点F在上时，取得最小值，继而推导出点F到．边的距离相等，设为h．则，即可解答．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
．
，
是等边三角形，同理也是等边三角形．
．
，
．
在中，，．
．
．
．
．
过B作的延长线于H，如图
，
∴．
在中，，
∴．
由勾股定理，
∴．
在中，由勾股定理，得．
（2）解：，理由如下：
在上截取，连接，，如图
，
是等边三角形．
．
，
．
．
在和中
，
．
．
∵四边形是菱形，F是中点，
∴O是中点．
，即．
．
（3）解：是中点，当点E运动时：
∴当E与C重合时，F是中点（记为）；
当E与A重合时，F是中点（记为），
连接交于M，
为中点，
是的外心，内心．
，．
连接，
，
点A、C、D、E四点共圆．取的外心；连接，．
，，同理可得．．
是等边三角形．
，．
，是的中位线．
点F在以M为圆心、为半径的圆上运动，如图
即当点F在上时，取得最小值．
当取最小值时，
∵，点为中点，
，即点F到，边的距离相等，设为h，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查萎形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理，勾股定理，含度角的直角三角形，掌握知识点是解题的关键．