冀教版小学数学六上第一单元知识梳理与易错精讲（学生版+教师版）

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第一单元 字母表示数与等式 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 能用含字母的式子表示数量关系和常见公式，掌握字母与数相乘的书写规范2. 理解等式的含义和两条基本性质，能用等式性质规范解方程并检验3. 能从实际问题中找出等量关系，设未知数列方程求解，并完整书写解题过程二、重点• 用字母表示数量关系和公式的书写规范• 等式的两条基本性质• 列方程解决实际问题的步骤三、难点• 理解含有字母的式子既能表示关系又能求值的双重含义• 在解方程时保持等式两边同步变化，并自觉检验• 从文字描述中准确找出等量关系并列方程学习支架式子、方程与不等式解方程的规范步骤1. 观察等号左边的运算关系2. 按逆运算在等式两边同时做相同运算3. 化简求出未知数的值4. 代回原方程检验列方程解应用题五步法1. 审题：标出已知量和未知量2. 设：设未知数x并写清含义3. 列：找等量关系，列方程4. 解：利用等式性质解方程5. 检、答：代回检验并写答语常见图形面积字母公式汇总四、知识要点1. 用字母表示数量关系用字母表示数是代数的基本思想。在具体问题中，不同的数虽然可以逐一计算，但当数量不断变化时，逐一列举无法穷尽所有情况。用字母代替某个不确定的数，就能用一个式子概括所有情况。以年龄问题为例：小强比妈妈小25岁。小强1岁时妈妈26岁（1+25=26），小强2岁时妈妈27岁（2+25=27），小强10岁时妈妈35岁（10+25=35）……无论小强几岁，妈妈的年龄总是"小强的年龄+25"。如果用字母a表示小强的年龄，妈妈的年龄就可以用a+25来表示。这里a+25既表示妈妈的年龄这一个结果，也表示"妈妈比小强大25岁"这一数量关系。含有字母的式子有两个重要作用：第一，它可以简洁地概括一类算式共同的规律；第二，当字母取某个确定的值时，可以代入求出式子的值。例如a=18时，a+25=18+25=43，即小强18岁时妈妈43岁。一个含有字母的式子中，字母与字母之间、字母与数之间存在对应关系。如果妈妈的年龄用b表示，那么a+25=b就同时描述了两个未知量之间的关系——知道其中一个就能求出另一个。2. 含有字母的式子的书写规范在含有字母的式子中，乘号和除号有特殊的书写约定。乘号的省略规则：当数与字母相乘时，可以省略乘号，并且把数写在字母前面。例如，用n表示青蛙的只数，每条青蛙4条腿，腿的总数为4×n，可以简写为4n（或4·n）。类似地，3×a写成3a，12×x写成12x。当系数是1时，1×n直接写成n。这条规则是为了让式子更简洁，也避免与小数点等混淆。需要注意：数必须写在字母前面，n4不是规范的写法，正确写法是4n。加法和减法不能省略运算符号，5+n不能写成5n，否则就变成5乘以n了。常见的数量关系也有约定俗成的字母表示：路程=速度×时间，一般用s表示路程，v表示速度，t表示时间：s=vt速度=路程÷时间：v=s÷t时间=路程÷速度：t=s÷v总价=单价×数量，一般用c表示总价，a表示单价，n表示数量：c=an数量=总价÷单价：n=c÷a单价=总价÷数量：a=c÷n3. 用字母表示图形的周长和面积公式以前学过的图形周长和面积公式，都可以用字母简洁地表示。正方形：用a表示边长，C表示周长，S表示面积。周长公式：C=4a面积公式：S=a×a=a²（a²读作"a的平方"，表示a×a）长方形：用a表示长，b表示宽。周长公式：C=2(a+b)面积公式：S=ab多边形面积公式（已学内容回顾）：平行四边形：用a表示底，h表示高，S=ah三角形：用a表示底，h表示高，S=ah÷2梯形：用a、b分别表示上底和下底，h表示高，S=(a+b)h÷2使用字母公式时，要弄清每个字母代表什么量。同一个字母在不同图形中含义可能不同，要根据具体公式来理解。例如S=ah在平行四边形中是"底×高"，在三角形中是"底×高÷2"，两个公式差别在于三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半。用字母公式还能发现规律。例如用边长1的小正方形拼成大正方形：1×1=1²、2×2=2²、3×3=3²……图n中小正方形的个数就是n²。4. 等式的意义表示相等关系的式子叫作等式。等号"="表示它左边的量与右边的量相等。等式的范围比方程更大：所有方程都是等式，但不是所有等式都是方程。判断一个式子是不是等式，只需检查是否含有等号；判断一个等式是不是方程，还需检查是否含有未知数。例如：3+5=8是等式（有等号），但不是方程（没有未知数）。4x+3不是等式（没有等号）。4x+3=20既是等式也是方程（既有等号又有未知数）。4x+3>20不是等式（用的是不等号）。可以通过两步法判断：第一步看有没有等号，没有就不是等式；第二步看等号两边是否含有未知数（待确定的量），如果没有就是普通等式，有就是方程。5. 等式的性质等式有两条基本性质，可以借助天平平衡来理解。性质一（加减性质）：等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。用字母表示：如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c。例如：因为x=10，所以x+20=10+20，即x+20=30。性质二（乘除性质）：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。用字母表示：如果a=b，那么a×c=b×c，a÷c=b÷c（c≠0）。例如：因为25=20+5，所以25×4=(20+5)×4，25÷5=(20+5)÷5。关键细节：①"同时"——等号两边必须在同一步做同一种运算，不能只改一边。②"同一个数"——两边加、减、乘、除的必须是完全相同的数。③"不为0"——除法中除数不能为0，因此等式两边不能同时除以0。利用等式的性质可以求出方程中未知数的值。例如x-18=82，等式两边同时加18：x-18+18=82+18，化简得x=100。解方程的每一步都要说清依据，不能凭空变形。6. 列方程解决实际问题列方程解决问题是等式的重要应用。核心步骤可以概括为"设、列、解、检、答"五步。第一步：读题审题，标出已知量和未知量，分析数量之间的关系。第二步：设未知数——用x表示题目中的一个未知量，写清x表示什么、单位是什么。通常设题目直接所求的量为x，但有时设较小量或单位量能使关系更清楚。第三步：找等量关系，列方程。先不用急着写算式，而是用一句完整的话把题目中所有关键数量连接起来。例如"水星天数×4+13=地球天数"，然后把每个数量用含x的式子或已知数替换。第四步：利用等式的性质规范解方程，每一步写清两边同时做了什么运算。第五步：代回原方程检验，确认等号左右两边相等，然后写出答语。教材中的例子：地球绕太阳一周的天数比水星的4倍多13天。已知地球用365天，求水星用多少天。等量关系：水星天数×4+13=地球天数设水星用x天：4x+13=365解方程：4x+13-13=365-13（等式两边同时减13）4x=352x=352÷4（等式两边同时除以4）x=88检验：4×88+13=352+13=365，符合题意。答：水星绕太阳一周要用88天。注意：关键词（如"比""多""少""倍"）只能提示可能的关系，不能替代分析。"A比B的4倍多13"应理解为A=B×4+13，而不是A=(B+13)×4。写完后把方程翻译回一句话来核对是否与题意一致。易错汇总易错点 1【错因】只检查了是否含字母，没有检查是否有等号，混淆了"式子""等式""方程"三个概念【自检方法】先找等号——没有等号的不是等式；再看等号两边是否含未知数——两个条件都满足才是方程易错点 2【错因】记住了可以省略乘号，但没有记住"数在前字母在后"的书写约定【自检方法】写完后检查：数字是否都在字母的前面？1×a是否已简写为a？易错点 3【错因】没有理解4a是4×a的简写，代入时把字母替换为数字后忘记恢复乘号【自检方法】代入前先把简写展开：4a→4×a，再代入数值：4×5=20易错点 4【错因】忽略了"同时"和"同一个数"的要求，只处理了一边就认为完成了变形【自检方法】每写一步都对照等号左右两边，确认执行了完全相同的运算易错点 5【错因】没有真正理解"同一个数"的含义，或抄写时把数字写错【自检方法】每步写完后读一遍：等号左边做了什么？右边做了什么？两边做的是同一件事吗？易错点 6【错因】把解方程只理解为运算过程，没有认识到"解"必须使原方程成立【自检方法】代入原方程的左边和右边分别计算，确认数值相等后才能判定正确易错点 7【错因】跳过分析直接凑数，没有理解"比A的4倍多13"表示的是A×4+13，而不是(A+13)×4【自检方法】写完后把方程翻译回一句自然语言，核对是否与题意一致易错点 8【错因】混淆了平方（相同数自乘）和乘法（数乘以2）的概念【自检方法】a²展开为a×a再代入计算，不要直接乘2五、易错精讲【例1】判断下列各式，哪些是等式？哪些是方程？哪些既不是等式也不是方程？① 6+3=9 ② 3x+5 ③ 2x+1=11 ④ 5x-3>10 ⑤ a÷4=8【例2】判断下列含有字母的式子书写是否规范，不规范的写出正确写法。① x×6 ② 1×m ③ a+b×c ④ n÷3 ⑤ 5+n【例3】当a=6，b=3时，分别求下列各式的值。（1）4a+b （2）2(a+b) （3）ab÷2 （4）a²-b【例4】解方程 5x-12=33，并写出完整的检验过程。【例5】学校图书馆购进一批图书，其中故事书的本数比科技书的3倍多20本。已知故事书有170本，科技书有多少本？列方程解答并检验。【例6】用字母公式解决下面的问题。（1）一个正方形的边长是a厘米，写出它的周长和面积的字母公式。（2）当a=5时，这个正方形的周长和面积各是多少？（3）一个长方形的长是a厘米，宽是b厘米。当a=8、b=3时，长方形的周长和面积各是多少？易 错 专 练基础辨析1. a+3=12既是等式，也是方程。（　　）2. 含有字母的式子中，数和字母相乘省略乘号时，数要写在字母的（________）面。例如b×7应写成（________）。3. 超市里苹果每千克a元，买5千克需要（________）元；付100元，应找回（________）元。4. 当x=4时，3x=（________），x²=（________），2x+5=（________）。5. 等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。（　　）6. 式子5n表示5个n相乘。（　　）7. 解方程 x+37=100。8. 解方程 3x=72，并检验。9. 解方程 2x+9=41，并检验。10. 小明买了一个书包，付出100元，找回x元。书包的价格是多少元？（用含x的式子表示）如果找回36元，书包多少钱？方法巩固11. 一辆汽车每小时行驶x千米，3小时行驶了240千米。列方程求汽车每小时行驶多少千米。12. 一个正方形的边长是a厘米，如果边长增加3厘米，新的正方形周长是（________）厘米，面积是（________）平方厘米。（用含a的式子表示）13. 水果店运来苹果和香蕉共120千克，苹果的质量是香蕉的3倍。苹果和香蕉各运来多少千克？列方程解答。14. 解方程 x÷8+5=12。15. 下面4位同学在解方程时各做了一步变形，判断谁做对了。① 小芳：由x+9=54，得x+9-9=54-9② 小明：由4x=20，得x=20-4③ 小丽：由x-5=25，得x-5+5=25+5④ 小强：由x÷3=4，得x÷3×3=4×316. 一个三角形的底是a厘米，高是h厘米。当a=10、h=6时，这个三角形的面积是（________）平方厘米。17. 一根绳子长x米，第一次用去全长的一半，第二次用去3米，还剩7米。列方程求绳子的全长。18. 已知3a+2b=26，当b=4时，求a的值。综合易错19. 下面的式子哪些书写规范？把不规范式子的正确写法写在括号里。① a×3 ② x÷y ③ 1×b ④ (m+n)×2 ⑤ 5×a+320. 鸡兔同笼，共有35个头，94条腿。鸡和兔各有多少只？（列方程解答）21. 下面方程的解是x=8的是（________）　　A. 3x+4=20　　B. 2x-6=10　　C. 5x÷2=20　　D. x+15=2122. 小明说："我想了一个数，把它乘4，再加上13，结果是157。"你知道小明想的数是多少吗？列方程解答。23. 观察规律，填空并写出第10个图形的结果。用边长1厘米的小正方形拼图形：第1个是1×1的正方形，第2个是2×2的正方形，第3个是3×3的正方形……（1）第n个图形由（________）个小正方形组成，周长是（________）厘米。（2）第10个图形由多少个小正方形组成？周长是多少？24. 某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费2.5元。某乘客乘坐出租车付了23元，他乘车行驶了多少千米？（列方程解答）25. 不计算，你能判断方程2x+5=2x+8有没有解吗？说说你的理由。26. 一个长方形花坛的周长是28米，长是宽的3倍。求这个花坛的长和宽各是多少米？（列方程解答）等式非等式含有等号的式子，如 3+5=8、4x=20没有等号的式子（如 4x+3）或用不等号连接的式子（如 4x+3>20）图形字母公式正方形S = a²（a为边长）长方形S = ab（a为长，b为宽）平行四边形S = ah（a为底，h为高）三角形S = ah÷2（a为底，h为高）梯形S = (a+b)h÷2（a、b为上、下底，h为高）常见错误正确认识看到含有字母的式子就认为是方程，如把4n判断为方程方程必须同时满足两个条件：含有未知数，且是等式（有等号）。4n没有等号，只是含有字母的式子，不是方程常见错误正确认识把4×n写成n4，或把a×5写成a5数和字母相乘省略乘号时，数必须写在字母前面，正确写法是4n、5a常见错误正确认识代入求值时恢复运算符号出错，如a=5时把4a算成45代入时要把省略的乘号恢复，4a=4×5=20，而不是把4和5拼成45常见错误正确认识解方程x+15=40时只在左边减15，写成x=40-15=25但不写右边变化等式两边同时减15：x+15-15=40-15，x=25。必须写明两边的同步变化常见错误正确认识应用等式性质时，两边加（减）或乘（除）的不是同一个数等式性质要求两边做完全相同的运算。例如x+15=40，必须两边同时减15，不能左边减15、右边减5常见错误正确认识求出方程的解后不检验，或只抄写x=结果就结束必须把求得的值代入原方程（不是代入最后一步），分别计算等号左右两边，确认两边相等常见错误正确认识列方程时直接抓数字拼凑，如把"比……的4倍多13"写成4(x+13)=y应先写出完整的等量关系：某量×4+13=另一量，再设未知数代入常见错误正确认识把a²理解为a×2，如a=5时算a²=10a²是a×a（a的平方），a=5时a²=5×5=25，不是5×2=10