小学数学冀教版（2024）六年级上册（2024）四 分数应用问题优秀学案设计

这是一份小学数学冀教版（2024）六年级上册（2024）四 分数应用问题优秀学案设计学案主要包含了学习目标，重点，难点，知识要点，易错精讲等内容，欢迎下载使用。
一、学习目标
1. 能理清分数连乘连除应用题中的中间量，确定正确的运算顺序
2. 能运用整数乘法运算定律对分数乘法进行简便计算
3. 能准确识别单位1，解决求一个数的几分之几、求比一个数多（少）几分之几的应用题
4. 能把工作总量看作单位1，用工程问题模型解决合作与变式问题
二、重点
• 分数连乘连除的运算顺序与中间量分析
• 运算定律在分数乘法中的推广与简便计算
• 找准单位1解决分数应用问题
• 工程问题的基本模型与合作时间计算
三、难点
• 连续变化中每次准确识别单位1
• 工程问题中把未知总量用单位1表示并转化为分数运算
学习支架
求比一个数多（少）几分之几的两种方法
工程问题解题步骤
1. 确定工作总量为单位1
2. 分别求出各方的工作效率（1÷单独完成时间）
3. 求合作效率（各效率之和）
4. 用工作总量÷合作效率=合作时间
5. 检验结果是否合理
四、知识要点
1. 分数连乘应用题——找准中间量
分数连乘应用题的特点是涉及多个分数关系，不能一步求出最终结果。解题关键是找到中间量——它既是被第一个分数作用的对象，又是第二个分数的基准。例如：学校收到作品450件，获奖作品占3/10，一等奖占获奖作品的1/5。这里获奖作品数就是中间量。必须先算450×3/10=135（件）求出获奖作品数，再用135×相应分数求出一等奖数。教材答案为30件。分数连乘的运算顺序是从左往右依次计算。每一步都要确认：这一步算出的结果代表什么实际含义？它是不是下一步运算的基准（单位1）？如果中间量的含义搞错，后面所有计算都会出错。
2. 分数连除应用题——逆向推理
分数连除应用题与连乘相反，已知的是一个量经过多次分数关系后的结果，要求最初的量。这类题需要倒过来想。例如：红红今年12岁，红红的年龄是爸爸年龄的某分数，爸爸的年龄是爷爷年龄的某分数。求爷爷年龄。先从红红的年龄推出爸爸的年龄：用已知年龄÷对应分数，再从爸爸年龄推出爷爷年龄。教材答案为64岁。连除运算从左往右依次计算，除以一个分数等于乘它的倒数。关键是每一步都要判断：已知的量对应的是哪个分数的几分之几？谁是这一步的单位1？
3. 整数乘法运算定律推广到分数
整数乘法的三条运算定律在分数乘法中同样成立：① 乘法交换律：a×b=b×a
② 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
③ 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c，(a-b)×c=a×c-b×c
这里的a、b、c可以是分数。例如：120×3/4+120×1/4=120×(3/4+1/4)=120×1=120
运用运算定律的前提是看清结构——只有当算式满足定律的形式时才能使用。不是所有分数算式都能简便计算，盲目套用反而容易出错。
4. 分数乘法简便计算——识别结构
简便计算的核心是识别算式结构并选择合适的运算定律：① 提公因数型（分配律逆用）：当几个乘法项有相同的因数时，可以提取公因数。如 3/7×5/9+3/7×4/9=3/7×(5/9+4/9)=3/7×1=3/7。② 凑整型（结合律）：当某两个分数相乘能得到整数或简单分数时，先算这两个。如 4/9×3/8×6=4/9×6×3/8=8/3×3/8=1。③ 拆分型（分配律）：当一个数与括号内的加减法相乘时，可以分别乘。如 120×(3/4-2/5)=120×3/4-120×2/5=90-48=42。简便计算的检查方法：用原来的运算顺序再算一遍，看结果是否相同。如果不同，说明定律用错了。
5. 求一个数的几分之几是多少
这是分数应用问题最基本的类型。已知一个数（单位1），求它的几分之几是多少，直接用乘法：单位1的量 × 几分之几 = 对应的量
例如：六(1)班40名同学，3/5的同学打扫卫生，打扫卫生的有多少人？40×3/5=24（人）
解题步骤：①找出单位1（谁的几分之几，谁就是单位1）；②确认单位1的量已知；③用乘法计算。关键是找准单位1。占、是、相当于后面的量通常就是单位1。如果单位1已知，求部分量用乘法；如果单位1未知，已知部分量求整体则用除法或方程。
6. 求比一个数少几分之几的数
已知一个数，求比它少几分之几的数是多少。教材给出了两种方法：方法一（分步法）：先算减少的量，再减去。80-80×1/8=80-10=70（分贝）
方法二（整体法）：先求现在是原来的几分之几，再一步算出。80×(1-1/8)=80×7/8=70（分贝）
两种方法结果相同，但思路不同：方法一关注减少了多少，方法二关注现在剩下原来的几分之几。整体法通常更简洁，因为它只需一步乘法。无论哪种方法，核心都是找准单位1。本题中，降低1/8是降低原来的1/8，所以单位1是原来的噪声80分贝。
7. 求比一个数多几分之几的数
已知一个数，求比它多几分之几的数是多少。与少几分之几对称：方法一：原数 + 原数 × 几分之几
方法二：原数 × (1 + 几分之几)
例如：计划生产1800套，实际比计划多生产1/6，实际生产多少套？方法一：1800+1800×1/6=1800+300=2100（套）
方法二：1800×(1+1/6)=1800×7/6=2100（套）
注意区分多1/6和多的是1/6。多1/6表示在原来的基础上增加了1/6，结果是原来的(1+1/6)；而多的是1/6表示结果就是原来的1/6，两者完全不同。
8. 连续变化问题——每次找准单位1
当题目中出现多次百分比变化时，每次变化的单位1可能不同。这是本单元最容易出错的地方。例如：羽绒服秋季售价245元。(1) 冬季比秋季提高2/5：单位1是秋季价格245元，冬季价格=245×(1+2/5)=245×7/5=343（元）
(2) 春季比冬季下降1/7：单位1变成了冬季价格343元，春季价格=343×(1-1/7)=343×6/7=294（元）
(3) 打八折：单位1是春季价格294元，折后价=294×0.8=235.2（元）
每一步都要问：这次的几分之几是谁的？上一次算出的结果，是不是这一次的单位1？如果搞混了单位1，就会把不同的基准混在一起计算，结果必然错误。解决连续变化问题的最好方法是步步为营——算完一步，立刻标清新结果的单位和含义，再用它作为下一步的起点。
9. 工程问题基本模型
工程问题的特征是：知道单独完成的时间，不知道工作总量，求合作完成的时间。核心思路：把工作总量看作单位1。如果甲队单独完成需要a天，那么甲队每天完成全部工作的1/a（即甲的工作效率）；乙队单独完成需要b天，乙的工作效率为1/b。两队合作，每天完成 1/a + 1/b，合作时间 = 1 ÷ (1/a + 1/b)。例如：甲队10天完成，乙队15天完成。合作效率 = 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6
合作时间 = 1 ÷ 1/6 = 6（天）
解题步骤：①确定工作总量为单位1；②求各方工作效率（1÷单独时间）；③求合作效率（效率之和）；④工作总量÷合作效率=合作时间；⑤检验：合作效率×合作时间是否等于1。
10. 工程问题变式
工程问题的常见变式：①部分合作后单独完成：两队合作若干天后，一队离开，剩下的由另一队单独完成。解法是先算合作期间完成的工作量，再用剩余工作量÷留下队伍的效率。②判断能否在期限内完成：算出合作所需时间，与期限比较即可。③已知合作时间和一方效率，求另一方效率：用1÷合作时间-已知效率=另一方效率。④类比问题：行程问题中的相遇问题（路程÷速度和=相遇时间）、水池注水问题等，都可以用工程问题的思路解决。关键是识别出总量为单位1、各自有速率、合作时速率相加这一共同结构。检验方法：把各段时间内完成的工作量加起来，检查是否等于1。
易错汇总
易错点 1
【错因】没有理解分数关系是层层递进的，第二个分数的基准（单位1）不是原始总量而是中间量
【自检方法】每步计算后问自己：这个结果代表什么？它是下一步的单位1吗？
易错点 2
【错因】混淆了运算定律的适用条件，没有理解分配律是乘法对加法（减法）的分配，不是加法对乘法的分配
【自检方法】使用定律前先检查：算式中是否全是乘法（或乘法对加减法的分配形式）？
易错点 3
【错因】把少几分之几和是几分之几混为一谈。少1/5意味着剩下原来的(1-1/5)，而不是原来的1/5
【自检方法】画线段图验证：如果原数是100，少1/5后应该是80，而100×1/5=20明显不对
易错点 4
【错因】没有认识到提高2/5和下降1/7的基准不同——前者是秋季价格，后者是冬季价格
【自检方法】每步计算前标出：这次的几分之几是谁的？上一步的结果是不是这次的新基准？
易错点 5
【错因】不理解合作的本质是效率叠加，把时间相加当作能力相加，实际上两人合作应该更快而不是更慢
【自检方法】合作时间一定小于最短的单独时间。如果算出的合作时间大于任何一个单独时间，一定算错了
易错点 6
【错因】分数不能直接和整数相加，2/5本身只是一个比率，必须乘以基数才能变成具体的量
【自检方法】检查算式中2/5是否乘了原数。如果只写原数+2/5，单位都不对
易错点 7
【错因】对的字结构的理解不到位，A是B的几分之几中B是单位1，但快速阅读时容易把A和B的位置搞混
【自检方法】用具体数字代入验证。如果获奖作品有100件，一等奖占1/5，那么一等奖应该是20件
五、易错精讲
【例1】
打字员打一份240页的书稿，第一天打了书稿总页数的3/8，第二天打了剩下的2/5。第二天打了多少页？
【解题思路】这道题的关键是第二天的2/5不是总页数的2/5，而是剩下的2/5。所以必须先求出第一天打了多少页、剩下多少页，再用剩下的页数×2/5。
【解答】第一天打的页数：240×3/8=90（页）
剩下的页数：240-90=150（页）
第二天打的页数：150×2/5=60（页）
综合算式：(240-240×3/8)×2/5=(240-90)×2/5=150×2/5=60（页）
答：第二天打了60页。
【易错点】第二天的2/5对应的单位1不是总页数240，而是第一天打完后剩下的页数。如果直接用240×2/5=96，就犯了单位1搞错的错误。每遇到一个新的分数，都要追问：它是谁的几分之几？
【例2】
用简便方法计算：5/9×7/13+5/9×6/13
【解题思路】观察算式结构，发现两个乘法项都有相同的因数5/9，符合乘法分配律逆用的条件。提取公因数5/9后，括号内7/13+6/13=13/13=1，计算变得非常简单。
【解答】5/9×7/13+5/9×6/13
=5/9×(7/13+6/13)……乘法分配律逆用
=5/9×13/13
=5/9×1
=5/9
【易错点】不能正确识别公因数是解题障碍。有些学生看到分数很复杂就直接硬算，忽略了提取公因数后括号内可以凑成1。简便计算的关键是先观察结构，再决定方法。
【例3】
学校合唱团有80人，其中女生人数比总人数的3/5多4人。女生有多少人？男生有多少人？
【解题思路】这道题不是简单的求一个数的几分之几，而是比一个数的几分之几多几。先用80×3/5求出总人数的3/5是多少，再加4人就是女生人数。男生人数用总人数减女生人数。
【解答】女生人数：80×3/5+4=48+4=52（人）
男生人数：80-52=28（人）
验证：52+28=80（人），52比80×3/5=48多4人，符合题意。答：女生有52人，男生有28人。
【易错点】容易把比总人数的3/5多4人误读为占总人数的3/5，直接算80×3/5=48就结束。实际上还要再加上4人。审题时要区分是/占和比……多/少的含义差异。
【例4】
一件商品原价600元。先提价1/5，再降价1/5。现在的价格是原价的几分之几？现价是多少元？
【解题思路】这道题有两次变化，每次变化的单位1不同。提价1/5时单位1是原价600元；降价1/5时单位1是提价后的价格。不能认为先涨1/5再降1/5就回到原价——因为两次基准不同。
【解答】提价后的价格：600×(1+1/5)=600×6/5=720（元）
降价后的价格：720×(1-1/5)=720×4/5=576（元）
现价是原价的：576÷600=24/25
综合算式：600×(1+1/5)×(1-1/5)=600×6/5×4/5=600×24/25=576（元）
答：现在的价格是原价的24/25，现价是576元。
【易错点】最典型的错误是认为先涨1/5再降1/5就回到原价。这是因为两次单位1不同：涨的1/5是原价的1/5（120元），降的1/5是涨后价格的1/5（144元），降的比涨的多，所以最终价格低于原价。
【例5】
修一条公路，甲队单独修需要12天完成，乙队单独修需要18天完成。两队合作4天后，剩下的由乙队单独修，还需要几天？
【解题思路】这是工程问题的变式。先按基本模型求出合作4天完成的工作量，再用剩余工作量÷乙队效率。工作总量为单位1，甲效率为1/12，乙效率为1/18。
【解答】甲队效率：1/12
乙队效率：1/18
合作效率：1/12+1/18=3/36+2/36=5/36
合作4天完成的工作量：5/36×4=20/36=5/9
剩余工作量：1-5/9=4/9
乙队单独完成剩余工作：4/9÷1/18=4/9×18=8（天）
检验：合作做了5/9，乙又做了8×1/18=8/18=4/9，5/9+4/9=1，正确。答：剩下的由乙队单独修，还需要8天。
【易错点】容易在剩余工作量÷乙队效率这一步出错，把除法写成乘法或者搞混了谁的效率。关键是记住：工作量÷工作效率=工作时间。
【例6】
某果园去年产苹果48吨。今年比去年增产1/8。今年产苹果多少吨？如果明年比今年减产1/9，明年产苹果多少吨？
【解题思路】第一问是求比48吨多1/8的数，单位1是去年的48吨。第二问是求比今年产量少1/9的数，单位1变成了今年的产量。注意两次单位1不同。
【解答】今年产量：48×(1+1/8)=48×9/8=54（吨）
明年产量：54×(1-1/9)=54×8/9=48（吨）
验证：今年比去年多54-48=6吨，6÷48=1/8，符合增产1/8；明年比今年少54-48=6吨，6÷54=1/9，符合减产1/9。答：今年产苹果54吨，明年产苹果48吨。
【易错点】第二问如果错误地用去年的48吨作单位1，会得到错误答案。每遇到一次变化，都必须重新确认：这次变化的基准（单位1）是什么？
易 错 专 练
基础辨析
1. 一根绳子长5/6米，截去它的2/5后，还剩（________）米。
2. 整数乘法的交换律、结合律和分配律，在分数乘法中（________）（填同样适用或不适用）。
3. 一项工程，甲单独做8天完成，甲每天完成这项工程的（________）。
4. 用简便方法计算：2/7×3/11+5/7×3/11
5. 用简便方法计算：36×(5/6-3/4)
6. 脱式计算：3/4×2/5÷3/10
7. 80的4/5比80少了80的1/5，即少了16。（ ）
8. 甲队5天完成一项工程，乙队10天完成，两队合作5天可以完成。（ ）
方法巩固
9. 一件衣服原价200元，先涨价1/4，再降价1/4，现价与原价相比（________）。
A. 现价高 B. 原价高
C. 一样高 D. 无法比较
10. 下面哪道算式不能用简便方法计算？（________）
A. 3/5×7/9+2/5×7/9
B. 4/7×5/8×7/4
C. 2/3+1/3×3/5
D. 5/6×11-5/6×5
11. 学校图书馆有故事书360本，科技书的本数是故事书的5/9，连环画的本数是科技书的3/4。连环画有多少本？
12. 一辆汽车从甲地开往乙地，全程120千米。已经行了全程的2/3，离乙地还有多少千米？
13. 某工厂去年产钢480万吨，今年比去年增产1/6。今年产钢多少万吨？
14. 修一条水渠，甲工程队单独修需要20天完成，乙工程队单独修需要30天完成。两队合作多少天可以完成这条水渠的2/3？
15. 一桶油重40千克，第一次用去这桶油的1/4，第二次用去剩下的1/3。两次一共用去多少千克？
综合易错
16. 开挖一条隧道，甲工程队需要40天完成，乙工程队需要60天完成。两队合作15天后，甲队被调走，剩下的由乙队单独完成。乙队还需要工作多少天？
17. 一件羽绒服秋季售价是280元。冬季售价比秋季提高3/7，春季售价又比冬季降低1/8。春季售价是多少元？
18. 一项工程，甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要10天完成。如果乙队先单独做3天，然后两队合作完成剩下的工程，还需要几天？
19. 水果店运来苹果和梨共180千克，其中苹果占总数的5/9。后来又运来一些苹果，这时苹果占总数的3/4。后来运来苹果多少千克？
20. 甲、乙两车同时从A、B两地相向而行。甲车行完全程需要6小时，乙车行完全程需要8小时。几小时后两车相遇？
参 考 答 案
第1题：1/2
【解析】截去2/5后剩下1-2/5=3/5，5/6×3/5=15/30=1/2（米）。
第2题：同样适用
【解析】整数乘法的运算定律对分数乘法同样成立，这是简便计算的基础。
第3题：1/8
【解析】工作总量为单位1，甲8天完成，每天完成1÷8=1/8。
第4题：3/11
【解析】提取公因数3/11：(2/7+5/7)×3/11=1×3/11=3/11。
第5题：3
【解析】36×5/6-36×3/4=30-27=3。
第6题：1
【解析】3/4×2/5÷3/10=3/4×2/5×10/3=(3×2×10)/(4×5×3)=60/60=1。
第7题：√
【解析】80×4/5=64，80-64=16。80的1/5=16。说法正确。
第8题：×
【解析】合作效率=1/5+1/10=2/10+1/10=3/10，合作时间=1÷3/10=10/3天≈3.3天，不到5天就完成了。
第9题：B
【解析】涨价后：200×(1+1/4)=200×5/4=250元；降价后：250×(1-1/4)=250×3/4=187.5元。187.5