小学数学整理与复习精品学案

这是一份小学数学整理与复习精品学案学案主要包含了学习目标，重点，难点，知识要点，易错精讲等内容，欢迎下载使用。
一、学习目标
1. 理解比的意义，掌握比的基本性质，能正确化简比和求比值
2. 理解比例的意义和基本性质，能判断两个比是否组成比例，能解比例
3. 掌握按比例分配和按比例计算的方法，能解决相关实际问题
4. 理解正比例关系，能用y=kx表示正比例关系
二、重点
• 比的意义和基本性质
• 比例的意义和基本性质
• 按比例分配
• 正比例关系
三、难点
• 比与除法分数的关系及区别
• 化简比与求比值的区分
• 按比例分配中份数与总量的对应关系
• 正比例关系式的建立
学习支架
比除法分数的关系对照
比与比例的对比
按比例分配的解题步骤
1. 第一步：求总份数（把比的各项相加）
2. 第二步：求每部分占总量的几分之几
3. 第三步：用总量乘以对应分数，求各部分量
4. 第四步：检验（各部分之和等于总量，各部分之比等于给定的比）
判断正比例关系的步骤
1. 第一步：确认两个量是相关联的量（一个量变化，另一个量也随着变化）
2. 第二步：计算两组对应数值的比值（商）
3. 第三步：判断比值是否一定（不变）
4. 第四步：比值一定则成正比例关系，写成 y除以x等于k 或 y=kx
四、知识要点
1. 比的意义
像1:3、3:1这样，表示两个数倍数关系的式子叫作比。比用比号连接前项和后项，前项写在比号前面，后项写在比号后面。例如，水泥和沙子的比1:3中，1是前项，3是后项。需要注意的是，比是有顺序的：1:3和3:1表示的意义完全不同，前者表示第一个量是第二个量的三分之一，后者表示第一个量是第二个量的3倍。在具体的问题中，要严格按照题目要求的顺序写出比的前项和后项，不能随意颠倒。
2. 比值的意义
两个数的比表示两个数的倍数关系，而两个数相除的结果叫作比值。比和比值既有联系又有区别：比是一种关系（式子），有两个数；比值是一个数（结果）。例如6:3是一个比，6除以3=2中，2是比值。求比值就是用前项除以后项。比值可以是整数，可以是小数，也可以是分数。例如3:6的比值是3除以6=0.5，也可以写成二分之一。两个数的比也可以写成分数的形式，如3:6可以写成3/6，但仍读作三比六。
3. 比与除法分数的关系
比的前项相当于除法中的被除数、分数中的分子；比号相当于除号、分数线；后项相当于除数、分母；比值相当于商、分数值。因为除数和分母都不能为0，所以比的后项也不能为0。但比的前项可以为0（0除以任何非0数都等于0）。三者之间的本质联系是：前项除以后项=前项/后项=比值（后项不等于0）。这个关系在求比值、化简比和解决问题时经常用到。
4. 比的基本性质
比的前项、后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫作比的基本性质。它类似于分数的基本性质（分子分母同乘或同除以相同的非零数，分数值不变）和除法中的商不变性质（被除数和除数同乘或同除以相同的非零数，商不变）。这三条性质本质上是一致的，因为它们都源于同一数量关系的不同表示方式。利用比的基本性质，可以把一个比化成最简单的整数比——即前项和后项是互质整数的比。
5. 化简比的方法
化简比就是把一个比化成最简整数比。根据比的前项和后项的类型，方法有所不同：（1）前项和后项都是整数：同时除以它们的最大公因数。例如20:35，最大公因数是5，20:35=(20除以5):(35除以5)=4:7。（2）前项和后项是小数：先同时扩大相同的倍数化为整数，再按整数比化简。例如0.12:2.5，先同乘100得12:250，再同除以2得6:125。（3）前项和后项是分数：同时乘以分母的最小公倍数化为整数比，再化简。例如(二分之三):(四分之三)，同乘12得9:10。化简比的结果仍然是一个比（用比号连接），而不是一个数。这与求比值不同——求比值的结果是一个数。
6. 比例的意义
表示两个比相等的式子叫作比例。例如240:160=144:96，因为240:160的比值是二分之三，144:96的比值也是二分之三，两个比的比值相等，所以可以组成比例。比例也可以写成分数形式：240/160=144/96。判断两个比能否组成比例，关键是看它们的比值是否相等。我国国旗法规定的五种通用尺度国旗，虽然大小不同，但长和宽的比值都等于二分之三，因此任意两种国旗的长与宽都可以组成比例。
7. 比例的各部分名称
在比例中，组成比例的四个数各有专门的名称。以240:160=144:96为例，中间的两个数160和144叫作比例的内项，两端的两个数240和96叫作比例的外项。在分数形式的比例中，等号两端的分子和分母交叉相乘，就是内项之积与外项之积。正确辨认内项和外项是运用比例基本性质的前提，写成分数形式后，交叉的两组数分别是内项和外项。
8. 比例的基本性质
在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。这叫作比例的基本性质。例如240:160=144:96中，外项之积为240乘以96=23040，内项之积为160乘以144=23040，两者相等。反过来也可以用这个性质判断两个比能否组成比例：如果两个比的外项之积等于内项之积，就能组成比例。把比例写成分数形式后，等号两端的分子和分母交叉相乘，积相等，这就是交叉相乘法。
9. 解比例
求比例式中的未知数叫作解比例。方法是利用比例的基本性质：先把比例改写为外项之积等于内项之积的形式（即交叉相乘），再按解方程的方法求出未知数。例如0.6:x=0.3:2，根据比例的基本性质得0.6乘以2=0.3乘以x，即0.3x=1.2，x=4。解比例后应把求得的值代回原比例检验：0.6:4=0.15，0.3:2=0.15，两个比的比值相等，确认正确。
10. 按比例分配
把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法叫作按比例分配。解题步骤：（1）求出总份数（比的各项之和）；（2）求各部分分别占总量的几分之几；（3）用总量分别乘以各部分所占的分数，求出各部分的量。例如，984平方米按3:5种茄子和西红柿：总份数=3+5=8，茄子占八分之三，西红柿占八分之五；茄子面积=984乘以3/8=369平方米，西红柿面积=984乘以5/8=615平方米。检验：369+615=984，369:615=3:5，均正确。当比有三项或更多项时方法相同：先求总份数，再分别求各部分。
11. 按比例计算
当已知两个量的比和其中一个量的具体数值时，可以利用比所表示的倍数关系求另一个量。这类问题与按比例分配不同：按比例分配是已知总量求各部分，而这里是已知某一部分的值求另一部分。例如，葡萄糖药剂和水的比是1:9，已知有500毫升水，求需要多少药剂。由比可知，水的体积是药剂的9倍，所以药剂=500除以9约等于55.6毫升；或药剂的体积是水的九分之一，所以药剂=500乘以1/9约等于55.6毫升。关键是找准比中两个量的倍数关系，确定谁是谁的几分之几或谁是谁的几倍。
12. 正比例关系式
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果它们的比值（商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。用字母表示：y除以x等于k（一定）或 y=kx。其中k是不变的常数。例如，苹果每千克7.5元，买x千克的总价y元，y除以x=7.5（单价一定），所以总价y和数量x成正比例，关系式为y=7.5x。只要知道其中一个量的值，就能通过关系式求出另一个量的值。正比例关系的特征是：比值一定、变化方向相同（同增同减）。
易错汇总
易错点 1
【错因】没有区分「比是一种关系式」和「比值是一个数」这两个概念。化简比改变的是比的形式，不改变比的关系；求比值则是做一次除法运算得到一个结果
【自检方法】看结果：如果答案是「一个数」就是求比值，如果答案是「a比b」的形式就是化简比
易错点 2
【错因】对比的基本性质理解不到位——必须同时乘同一个数才能保持比值不变。直接转换数值类型可能丢失精度或改变比值
【自检方法】化简前后分别计算比值，确认比值相等
易错点 3
【错因】只记住了四个数但没有理解「内」和「外」的含义——「内项」是中间的两个数，「外项」是两端的两个数
【自检方法】把比例按顺序写出，标注位置：第1、4个是外项，第2、3个是内项
易错点 4
【错因】没有理解按比例分配的本质是「把总量按份数分」；或混淆了「总量已知」和「部分已知」两种不同题型
【自检方法】先判断题目是「已知总量分给各部分」还是「已知某部分求另一部分」，再选择方法
易错点 5
【错因】没有注意比的两个对象分别是什么。「盐和水的比」中两个对象是盐和水；「盐和盐水的比」中两个对象是盐和盐水（盐水=盐+水）
【自检方法】写比时先标注前项和后项分别代表什么量，确认总量=前项量+后项量（只有当两部分合起来构成整体时）
易错点 6
【错因】把「正相关」等同于「正比例」。例如正方形面积和边长虽然同增，但面积除以边长=边长（不是定值），不成正比例
【自检方法】列出几组对应数据，分别计算比值，看比值是否都相等
易错点 7
【错因】没有认真审题，看到数字就机械套用按比例分配的步骤，忽略比的对象与总量之间的对应关系
【自检方法】分配前画关系图：标注每个量对应比的哪一项，确认总量=各部分之和
五、易错精讲
【例1】
下面是一位同学做的两道题：（1）化简比 12:18
（2）求 12:18 的比值
他的答案是：（1）12:18=2:3=2除以3；（2）12:18=二分之一。请判断他的解答是否正确，如果不对请纠正，并说明化简比和求比值的区别。
【例2】
把下面的比化成最简整数比，并分别求出它们的比值：（1）(四分之三):(六分之五)
（2）0.45:1.2
【例3】
在比例式 □:12=15:□ 中，两个比的比值都是5。求两个方框中的数，并写出完整的比例式。
【例4】
学校图书馆有科技书和故事书共1200本，科技书和故事书的本数比是3:7。（1）科技书和故事书各有多少本？（2）后来又购进一批科技书，这时科技书和故事书的本数比变为5:7。购进了多少本科技书？
【例5】
一辆汽车在公路上匀速行驶，行驶的时间和路程如下表：时间(时): 1, 2, 3, 4, 5
路程(千米): 80, 160, 240, 320, 400
（1）路程和时间的比值是多少？这个比值表示什么？（2）路程和时间成正比例关系吗？为什么？（3）用s表示路程，t表示时间，写出它们的关系式。（4）这辆汽车行驶6.5小时，能行驶多少千米？
【例6】
配制一种农药，药剂和水的质量比是1:150。（1）要配制这种农药3020千克，需要药剂和水各多少千克？（2）现有900千克水，能配制这种农药多少千克？需要加入多少千克药剂？
易 错 专 练
基础辨析
1. 3:5=3除以5=（________）（写成分数）=（________）（写成小数）。
2. 在比 8:12 中，前项是（________），后项是（________），比值是（________）。
3. 比的后项不能为0，这和除法中除数不能为0、分数中分母不能为0是同一个道理。（ ）
4. 1:2和2:4可以组成比例。（ ）
5. 把 24:36 化成最简整数比是（________），比值是（________）。
6. 化简下面各比：（1）45:60
（2）0.25:1.5
（3）(五分之二):(十分之三)
7. 解比例：（1）x:8=3:4
（2）15:x=5:12
8. 在比例 3:8=9:24 中，两个外项是（________）和（________），两个内项是（________）和（________）。
9. 甲数和乙数的比是4:5，说明甲数一定是4，乙数一定是5。（ ）
10. 把120千克化肥按2:3:5分给三块田地，三块田地分别得到（________）千克、（________）千克和（________）千克。
方法巩固
11. 下面哪组中的两个比不能组成比例？
A. 6:10和9:15
B. 0.8:0.2和12:3
C. (二分之一):(三分之一)和3:2
D. 7:5和14:12
12. 把 0.3:0.9 化成最简整数比，下面写法正确的是（________）。
A. 0.3:0.9=1:3（最简整数比）
B. 0.3:0.9=1/3
C. 0.3:0.9=3:9
D. 0.3:0.9=0.1:0.3
13. 一杯盐水中，盐和水的质量比是1:19。（1）这杯盐水中，盐占盐水的几分之几？（2）如果这杯盐水有500克，其中盐有多少克？（3）如果想让盐和水的质量比变为1:9，需要再加入多少克盐？（结果保留一位小数）
14. 用48厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽的比是5:3。这个长方形的长和宽各是多少厘米？面积是多少平方厘米？
15. 一辆汽车2小时行驶150千米。照这样的速度：（1）5小时能行驶多少千米？（2）行驶375千米需要多少小时？（3）用s表示路程，t表示时间，写出关系式。
16. 已知 3:x=12:20，x=（________）。
17. 正方形的面积和边长成正比例关系。（ ）
18. 一种什锦糖由奶糖、水果糖和巧克力糖按2:3:5配制而成。现有奶糖、水果糖和巧克力糖各30千克。（1）如果全部用来配制这种什锦糖，哪一种糖会最先不够用？（2）当这种糖用完时，其他两种糖各还剩多少千克？
综合易错
19. 甲、乙两个仓库共存货物90吨。从甲仓库运出8吨到乙仓库后，甲、乙两个仓库货物质量的比变为4:5。原来甲、乙两个仓库各存货物多少吨？
20. 下面表中的数据反映了购买某种文具时数量和总价的关系：数量(件): 5, 10, 15, 20
总价(元): 12.5, 25, 37.5, 50
（1）写出各组总价与数量的比，并化简。（2）总价和数量成正比例关系吗？写出关系式。（3）如果用80元购买这种文具，能买多少件？
21. 已知 a:b=2:3，b:c=4:5。求 a:b:c。（提示：关键在于找到b在两个比中的统一值。）
22. 一种合金由铜和锌按7:3的质量比熔炼而成。现在有铜56千克和锌30千克，最多能炼制这种合金多少千克？
23. 解比例：(x+2):6=4:3，求x的值并检验。
24. 判断下面说法是否正确，并说明理由：「如果A:B=3:4，那么A一定是3，B一定是4。」
如果不对，请举出反例并说明A和B之间到底是什么关系。
25. 甲、乙两人同时从A、B两地相向而行。甲每小时走5千米，乙每小时走3千米。两人在距中点2千米处相遇。A、B两地相距多少千米？（提示：相遇时甲乙走的时间相同，路程之比等于速度之比。）
比
除法
分数
对应部分
前项
被除数
分子
运算符号
比号(比)
除号
分数线
对应部分
后项
除数
分母
结果
比值
商
分数值
限制条件
后项不等于0
除数不等于0
分母不等于0
比
比例
表示两个数（前项和后项）的倍数关系，由两个数组成。如3:5
表示两个比相等的式子，由四个数组成。如3:5=6:10
常见错误
正确认识
把化简比和求比值混淆：化简比时写成一个数（如把4:7化简成4除以7约等于0.57），或者求比值时写成比的形式（如把6:3的比值写成2:1）
化简比的结果仍然是一个比（用比号连接两个互质整数），求比值的结果是一个具体的数（整数、小数或分数）。6:3化简为2:1，比值为6除以3=2
常见错误
正确认识
化简分数比或小数比时，直接把分数化为小数或把小数四舍五入后化简
分数比应同乘分母的最小公倍数化为整数比再化简；小数比应先同乘10、100等化为整数比再化简，不能中途四舍五入
常见错误
正确认识
在比例a:b=c:d中，把a和b当作内项，c和d当作外项；或写成分数形式后，错误判断内外项
比例a:b=c:d中，a和d是外项（等号两端最左和最右），b和c是内项（中间两个）。分数形式中交叉相乘，交叉的两组分别是外项和内项
常见错误
正确认识
按比例分配时不先求总份数，直接用总量乘以比中的某个数；或者混淆按比例分配和按比例计算——已知某一部分的值时仍按总量来分配
按比例分配必须先求总份数再分：先算各部分占总量的几分之几，再用总量乘对应分数。已知某一部分求另一部分时，利用倍数关系直接计算
常见错误
正确认识
在按比例分配问题中混淆「盐和水的比」与「盐和盐水的比」——如盐和水的质量比是1:24，却把盐水总量当作1+24=2份来算
盐和水的质量比是1:24，说明盐水总份数=1+24=25份，其中盐占1份，水占24份。盐与盐水的比是1:25
常见错误
正确认识
判断两个量是否成正比例时，只看一个量增大另一个量也增大就断定成正比例
成正比例必须同时满足三个条件：（1）两个量相关联；（2）一个量随另一个量变化；（3）它们的比值（商）一定。仅仅「同增」不能确定正比例，还需验证比值是否不变
常见错误
正确认识
在按比例分配中，把总量直接按比的前后项分配给两个量，忽略了题目中比的两个对象与总量不是同一关系
先明确比的前项和后项分别代表什么量，判断总量等于哪些量之和，再确定分配方法