冀教版小学数学六上第二单元知识梳理与易错精讲（学生版+教师版）

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第二单元 分数乘法和除法 · 知识梳理与易错精讲 单 元 知 识 梳 理 一、学习目标 1. 系统掌握分数乘法和除法的计算方法，能正确进行分数乘除运算 2. 理解倒数的意义，能正确求一个数的倒数 3. 能解决求一个数的几分之几和已知一个数的几分之几是多少的实际问题 4. 理解成数和折扣的含义，能进行相关计算 5. 能区分分数乘除法应用题，找准单位1 二、重点 • 分数乘法和除法的计算方法 • 倒数的意义和求法 • 分数乘除法应用题的分析方法 三、难点 • 分数乘法中约分的时机把握 • 分数除法转化为乘法的理解 • 已知一个数的几分之几求这个数的问题中找准单位1 学习支架 分数乘法法则 分数除法法则 成数、折扣与百分数对照表 分数乘法与除法应用题对比 分数除法应用题解题步骤 1. 读题，找出已知量和未知量 2. 确定单位1（总量） 3. 写出等量关系：单位1 × 分数 = 对应量 4. 列式计算（除法或方程） 5. 检验并作答 四、知识要点 1. 分数乘整数 分数乘整数的意义与整数乘法相同，都是求几个相同加数和的简便运算。计算方法：用分子与整数相乘的积作分子，分母不变，能约分的要先约分再计算。例如：3/10×4，表示4个3/10相加的和，计算时用分子3×4=12作分子，分母10不变，得到12/10，再约分为6/5。计算过程中也可以先约分：10和4可以约去公因数2，变成3/5×2=6/5，结果相同但计算更简便。注意：约分只能在整数和分母之间进行，不能约分子。 2. 求一个数的几分之几 求一个数的几分之几是多少，用这个数（单位1）乘对应的分数。这是分数乘法最典型的应用。例如：一辆汽车每小时行驶100千米，3/4小时行驶多少千米？就是求100的3/4是多少，列式100×3/4=75（千米）。解题关键是找准单位1——即那个被分成几份的总量。在作品展问题中，45件作品是单位1，赞美祖国的文章占2/9，就是求45的2/9是多少，列式45×2/9=10（件）。计算时，整数和分母能约分的要先约分。 3. 分数乘分数 分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的要先约分再乘。例如：1/2×1/3，分子1×1=1，分母2×3=6，结果为1/6。又如：1/2×3/4，分子1×3=3，分母2×4=8，结果为3/8。从面积模型理解：求1/2公顷的1/3，就是把1/2平均分成3份取其中1份，相当于把1公顷平均分成2×3=6份取1份，即1/6公顷。计算技巧：交叉约分可以简化计算——一个分数的分子和另一个分数的分母如果有公因数，也可以先约分。最终结果必须化为最简分数。 4. 成数与折扣 成数表示一个数是另一个数的十分之几，通称"几成"。一成就是十分之一，也就是10%；二成就是十分之二，也就是20%；三成五就是十分之三点五，也就是35%。"减产一成"表示今年产量比去年减少去年产量的10%。折扣是商业中的常用概念。商店打折出售商品，打几折就是按原价的十分之几出售。打八折就是按原价的80%出售，打六五折就是按原价的65%出售。成数和折扣问题本质上是分数（百分数）乘法的应用：求一个数的百分之几是多少。计算时先把成数或折扣转化为分数或百分数，再用单位1乘对应的分数（百分数）。例如：原价200元的商品打八折，现价=200×80%=160元；比去年增产二成，今年=去年×（1+20%）。 5. 倒数 乘积是1的两个数互为倒数。"互为"表示两个数之间的相互关系，不能单独说某个数是倒数。例如：2×1/2=1，所以说2和1/2互为倒数，也可以说2的倒数是1/2，或1/2的倒数是2。求一个数（0除外）的倒数的方法：分数的倒数——交换分子和分母的位置，如3/5的倒数是5/3；整数的倒数——先把整数写成分数形式（分母为1），再交换分子分母，如5=5/1，所以5的倒数是1/5；小数的倒数——先把小数化成分数，再求倒数，如0.25=1/4，倒数是4。特殊情况：1的倒数是1（因为1×1=1）；0没有倒数（因为0和任何数相乘都等于0，不可能等于1）。 6. 分数除以整数 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。这是因为把一个分数平均分成几份，求每份是多少，本质上是求这个分数的几分之一。例如：2/3÷3，把2/3平均分成3份，就是求2/3的1/3是多少，所以2/3÷3=2/3×1/3=2/9。又如：4/5÷3=4/5×1/3=4/15。计算步骤：①除号变乘号；②除数（整数）变成它的倒数；③按分数乘法法则计算；④结果化为最简分数。注意：被除数（分数）不变，只有除数取倒数；0不能作除数。 7. 一个数除以分数 一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。这是分数除法的统一法则，整数除以分数和分数除以分数都适用。例如：2÷1/5=2×5=10（个），表示2升消毒液每瓶装1/5升，需要10个瓶子。教材通过"等量的等量相等"推导得出这一法则。用字母表示：a÷b/c=a×c/b（b≠0, c≠0）。计算步骤：①除号变乘号；②除数（分数）变成它的倒数；③按分数乘法法则计算；④结果化为最简分数或整数。注意：是除数取倒数，被除数不能变。分数除法的结果可能大于被除数（当除数小于1时），这与整数除法的经验不同。 8. 分数除法的应用 已知一个数的几分之几是多少，求这个数（求单位1），用除法计算。这是分数除法最核心的应用。解题关键：找准单位1（总量）。单位1是已知量对应的那个整体。例如：红气球用了28个，红气球数占气球总数的4/9，这里气球总数是单位1。方法一（算术法）：先求1份是多少，再求总量。28÷4×9=7×9=63（个）。方法二（除法）：部分量÷对应分数=单位1。28÷4/9=28×9/4=63（个）。方法三（方程）：设单位1为x，单位1×分数=已知量，即x×4/9=28，x=28÷4/9=63。检验方法：用求得的总量乘分数，看是否等于已知的部分量。63×4/9=28，验证正确。乘除法对比：已知单位1求部分量用乘法（单位1×分数=部分量）；已知部分量和对应分数求单位1用除法（部分量÷分数=单位1）。判断的关键在于：单位1是已知还是未知。 易错汇总 易错点 1 【错因】把乘法法则与分数加法法则混淆，分数加法需要通分后分子相加，而乘法是分子分母分别相乘 【自检方法】计算后检验：分数乘法的结果一定小于或等于两个因数（当两个分数都小于1时，积小于每一个因数） 易错点 2 【错因】记混了法则，把"除数变成倒数"记成"两个数都变倒数"或"颠倒"，没有分清谁是被除数谁是除数 【自检方法】写完算式后用乘法验算：商×除数=被除数，1/6×4=4/6=2/3，正确；而3/8×4=3/2≠2/3 易错点 3 【错因】看到"占""是""的"就条件反射用乘法，没有分析谁是单位1、单位1是已知还是未知 【自检方法】先确定单位1是已知还是未知：已知用乘法，未知用除法；或者用"求出的结果×分数=已知量"验算 易错点 4 【错因】对"乘积是1"这个条件理解不到位，混淆了0和1的特殊性 【自检方法】用定义检验：把这个数和它认为的倒数相乘，看得数是不是1。0×0=0≠1，所以0没有倒数 易错点 5 【错因】忽略了"结果化简"这一步，或者计算过程中没有先约分导致数字变大后忘记化简 【自检方法】检查分子和分母是否还有公因数（除了1以外），能约分的必须约到最简 易错点 6 【错因】把"折"和"减"混淆，没有理解"打几折"就是按原价的十分之几出售 【自检方法】打折后价格一定比原价低但不能为0，如果按20%计算就太低了；记住"八折=80%"而非"减80%" 易错点 7 【错因】只改了运算符号却忘记改变除数，把"除以"变为"乘以"时没有完整执行"取倒数"的操作 【自检方法】写完后检查：除号是否变成了乘号？除数是否变成了倒数？两步缺一不可 五、易错精讲 【例1】 计算：5/6×3/10 【例2】 一个长方形的长是3/4米，宽是长的2/3。这个长方形的面积是多少平方米？ 【例3】 某品牌运动鞋原价240元，现在商店打七五折出售。现价比原价便宜了多少元？ 【例4】 学校图书馆有科技书若干本，其中借出了3/5，正好借出150本。图书馆原来有多少本科技书？ 【例5】 小明看一本240页的故事书，第一天看了全书的1/4，第二天看了全书的1/3。两天一共看了多少页？还剩多少页没有看？ 【例6】 计算：7/12÷7/8 易 错 专 练 基础辨析 1. 3/8×4表示（________）个3/8相加的和，结果是（________）。 2. 24的5/6是（________）；60的2/3是（________）。 3. 5/7的倒数是（________），8的倒数是（________），1的倒数是（________）。 4. 4/5÷2=（________），3/7÷3=（________）。 5. 5÷5/6=（________），3/4÷3/8=（________）。 6. "四成"写成百分数是（________），"打七折"表示现价是原价的（________）%。 7. 分数乘分数，积一定小于任何一个因数。（　　） 8. 0的倒数是0。（　　） 9. 2/3÷4和2/3×1/4的结果相同。（　　） 10. 一件商品打九折，就是比原价便宜10%。（　　） 11. 计算下面各题，能约分的先约分。(1) 7/15×5/14(2) 11/12×4/33(3) 5/8×16 12. 计算下面各题。(1) 6/7÷3(2) 9/10÷6(3) 8÷4/5 方法巩固 13. 一根绳子长5/6米，剪去它的1/3后，还剩多少米？下面列式正确的是（________）。 　　A. 5/6-1/3 　　B. 5/6×1/3 　　C. 5/6×(1-1/3) 　　D. 5/6÷1/3 14. 下面各组数中，互为倒数的是（________）。 　　A. 2/3和3/2　　B. 1/4和0.4 　　C. 5和5/1　　D. 3/5和2/5 15. 果园里有苹果树120棵，梨树的棵数是苹果树的3/4，桃树的棵数是梨树的2/3。桃树有多少棵？下面列式正确的是（________）。 　　A. 120×3/4 　　B. 120×2/3 　　C. 120×3/4×2/3 　　D. 120÷3/4÷2/3 16. 一件上衣原价320元，国庆期间商场打八折出售。打折后比原价便宜了多少元？ 17. 修一条公路，已经修了600米，正好是全长的3/5。这条公路全长多少米？ 18. 养殖场养鸡2400只，鸭的只数是鸡的5/8，鹅的只数是鸭的3/5。养鹅多少只？ 19. 张大爷家去年收小麦4.5吨，今年预计增产二成。今年预计收小麦多少吨？ 20. 一辆汽车从甲地到乙地，已经行了全程的3/7，恰好行了54千米。甲、乙两地相距多少千米？ 21. 小强计算 5/6÷5/6 的过程如下：5/6÷5/6 = 5/6×5/6 = 25/36指出他的错误，并给出正确计算过程。 综合易错 22. 六年级同学参加课外兴趣小组，参加科技组的占全年级人数的1/4，参加美术组的占全年级人数的1/3，参加科技组和美术组的一共有63人。六年级一共有多少人？ 23. 一块长方形菜地，长20米，宽是长的3/4。在这块菜地里种黄瓜和西红柿，黄瓜占菜地面积的2/5。种黄瓜的面积是多少平方米？ 24. 一桶油，第一次用去全部的1/4，第二次用去全部的1/3，两次一共用去14千克。这桶油原来有多少千克？ 25. 学校买来一批图书，分给五年级全部的2/7，分给六年级全部的1/4。已知五年级分到40本，六年级分到多少本？ 26. 甲、乙两人共同加工一批零件。甲加工了这批零件的3/8，乙加工了这批零件的5/12。谁加工得多？多加工了这批零件的几分之几？如果加工得多的那个人比另一个人多加工了6个零件，这批零件共有多少个？ 27. 修一条路，第一天修了全长的1/5，第二天修了余下的1/4。第二天修了全长的几分之几？两天一共修了全长的几分之几？ 28. 一本故事书，小华第一天看了全书的1/6，第二天看了全书的1/4，第二天比第一天多看了10页。这本故事书共有多少页？ 29. 一个数的2/3是48，这个数的3/4是多少？ 成数/折扣含义百分数一成十分之一10%二成十分之二20%三成五十分之三点五35%打八折原价的80%80%打六五折原价的65%65%求一个数的几分之几（乘法）已知一个数的几分之几求这个数（除法）已知单位1，求部分量方法：单位1 × 分数 = 部分量例：100的3/4是多少？100×3/4=75已知部分量和对应分数，求单位1方法：部分量 ÷ 分数 = 单位1例：某数的4/9是28，求这个数。28÷4/9=63常见错误正确认识分数乘法时分子与分子相加、分母与分母相加，如2/3×3/4=(2+3)/(3+4)=5/7分数乘法应该分子乘分子、分母乘分母，2/3×3/4=6/12=1/2常见错误正确认识分数除法时被除数也取了倒数，如2/3÷4=3/2×1/4=3/8只有除数取倒数，被除数不变，2/3÷4=2/3×1/4=2/12=1/6常见错误正确认识已知一个数的几分之几求这个数时，误用乘法计算。如"红气球28个占总数的4/9"，算成总数=28×4/9总数是单位1，单位1未知，应该用除法：28÷4/9=63（个）常见错误正确认识认为0的倒数是0，因为0×0=0接近1；或认为1没有倒数0没有倒数，因为0和任何数相乘都得0，不可能得1；1的倒数是1，因为1×1=1常见错误正确认识分数乘法计算结果没有化成最简分数，如3/10×5=15/10后不再约分计算结果必须化为最简分数，15/10=3/2常见错误正确认识把"打八折"理解成"减去80%"，认为现价=原价×20%"打八折"表示现价是原价的80%，现价=原价×80%常见错误正确认识分数除法时把除号变乘号后忘了把除数变倒数，如2/3÷3/4=2/3×3/4=1/2除号变乘号的同时，除数必须变成它的倒数，2/3÷3/4=2/3×4/3=8/9