湘教版（2024）九年级上册（2024）第4章 二次函数4.1 二次函数第一课时达标测试

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本课核心问题
怎样从一个具体变量关系中判断它是不是二次函数，并把实际情境准确写成“函数关系式＋自变量范围”？
一、学习目标
1. 理解二次函数的定义，能从变量对应关系和一般形式y=ax²+bx+c（a≠0）两个角度说明理由。
2. 能先化简解析式，再依据系数条件辨析二次函数、一次函数、正比例函数和常函数。
3. 能够从面积、价格、围栏等实际情境列出二次函数关系式，并准确确定自变量的取值范围。
二、重点
• 二次函数的一般形式及a≠0这一核心条件。
• 实际情境中“列函数关系式＋确定自变量范围”的完整建模过程。
三、难点
• 辨析化简前含x²但化简后二次项消失的函数，并依据实际意义判断范围端点能否取到。
学习支架
先化简，再判定函数类型
函数类型判定流程
1. 把解析式展开、去括号并合并同类项
2. 整理成y=ax²+bx+c的顺序
3. 若a≠0，判为二次函数
4. 若a=0且b≠0，判为一次函数
5. 在一次函数中若c=0，进一步判为正比例函数；若a=b=0，则为常函数
自变量范围：代数允许与实际可行
实际情境列二次函数的六步链
1. 设自变量x和因变量y，并写清单位
2. 找出会随x变化的长度、价格或数量
3. 用面积、体积或连续变化关系列出乘积式
4. 展开并整理成y=ax²+bx+c
5. 由正数条件、几何可行性或变化率意义确定x的范围
6. 用特殊值代入或另一种算法复核关系式
函数关系表：一个x对应唯一y
四、知识要点
1. 从变量关系认识二次函数
在一个变化过程中，如果对于自变量x的每一个允许取值，因变量y都有唯一确定的值与它对应，那么y是x的函数。当这个函数能够写成y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数且a≠0时，称y是x的二次函数。“二次”指整理后关于x的多项式最高次数为2。定义只要求二次项系数a不为0；b和c可以为0。例如y=5x²、y=-2x²+7、y=x²-3x都是二次函数。
2. 一般形式、系数与函数辨析
二次函数的一般形式是y=ax²+bx+c（a≠0），a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。系数要连同前面的符号一起读取，如y=-3x²+4x-6中a=-3，b=4，c=-6。判定时先展开、合并同类项，再看二次项是否保留。若a=0且b≠0，式子变为y=bx+c，是一次函数；若再有c=0，则为正比例函数y=bx；若a=b=0，则y=c是常函数。例如y=(x+2)²-x²=4x+4，虽然原式出现x²，化简后却是一次函数。
3. 自变量取值范围不能脱离情境
对于没有实际背景的二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），任意实数x代入都有意义，所以自变量取值范围通常是全体实数。实际问题中要逐条翻译限制：长度、面积中的线段通常要大于0；圆的直径不能超过容器的较短边；降价率既要大于0，又要小于1；某个端点是否能取，要看端点处图形或数量是否仍符合题意。写模型时，函数关系式和自变量范围缺一不可。
4. 实际情境列函数关系式的方法
第一步，设变量并标明单位；第二步，用x表示其他变化量；第三步，根据面积、体积或连续变化率列出带实际意义的乘积式；第四步，展开为一般形式，确认二次项系数不为0；第五步，由所有实际条件取交集，写出x的范围；第六步，用一个允许的特殊值分别代入原乘积式和展开式，结果一致才能通过复核。例如连续两次按相同降价率x降价，每次保留原价的(1-x)倍，所以现价=原价×(1-x)²；矩形两边都向内缩短2x时，剩余面积=(原长-2x)(原宽-2x)。
五、典型例题
【例1】
例1 先化简，再判断下列函数是二次函数还是一次函数，并说明理由：（1）y=4x²-3x+2；（2）y=(x+2)²-x²；（3）y=-2(x-1)²+2x²；（4）y=7-5x。
【解答】（1）原式已经是一般形式，二次项系数a=4≠0，所以是二次函数。（2）先展开：y=x²+4x+4-x²
=4x+4。化简后二次项消失，一次项系数4≠0，所以是一次函数。（3）先展开：y=-2(x²-2x+1)+2x²
=-2x²+4x-2+2x²
=4x-2。化简后二次项消失，一次项系数4≠0，所以是一次函数。（4）整理为y=-5x+7，一次项系数-5≠0，所以是一次函数。复核：四式化简后的x²项系数依次为4、0、0、0，与上述分类一致。
【点拨】“看次数”必须看化简后的最高次数；括号展开后二次项可能相消。
【例2】
例2 已知函数y=(m-3)x²+(m+1)x-4，其中m为常数。（1）m满足什么条件时，y是x的二次函数？（2）m取何值时，y是x的一次函数？
【解答】（1）二次函数要求二次项系数不为0。m-3≠0，所以m≠3。当m≠3时，无论一次项系数m+1是否为0，函数都是二次函数。（2）一次函数要求二次项系数为0，同时一次项系数不为0。m-3=0，解得m=3。把m=3代入一次项系数：m+1=4≠0。此时y=4x-4，确为一次函数。所以m=3时，y是x的一次函数。复核：m=3已使x²项消失，且没有把x项同时消去。
【点拨】参数题要按顺序检查：先看二次项系数，再看退化后的一次项系数。
【例3】
例3 某学习平板原价4800元，连续两次按相同的降价率x降价，现价为y元。写出y关于x的函数关系式，指出函数类型，并写出x的取值范围。
【解答】第一次降价后，价格为4800(1-x)元。第二次仍按降价率x降价，现价为
y=4800(1-x)(1-x)
=4800(1-x)²。展开：y=4800(1-2x+x²)
=4800x²-9600x+4800。二次项系数4800≠0，所以y是x的二次函数。因为x表示降价率，必须有x>0；每次降价后还要保留正的价格比例，所以1-x>0，即x