湘教版（2024）九年级上册（2024）第2章 锐角的正弦、余弦、正切2.4 解直角三角形的应用第4课时练习题

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本课核心问题
面对不能直接测量的高度、距离或坡度，怎样用一次或多次角度观测建立可靠的直角三角形模型？
一、学习目标
1. 能够从实际测量情境中识别水平线、铅垂线、视线、仰角和俯角，并画出条件完整的直角三角形示意图。
2. 掌握坡度i=h/l=tanα的意义，能在坡高、水平长度、斜长和坡角之间正确选择关系。
3. 会把北偏东、北偏西等方位转换为三角形内角，利用一个或两个直角三角形求距离并作安全判断。
4. 能够按“建模—列关系—计算—近似—检验”规范书写实际问题的解答。
二、重点
• 把实际数量准确对应到直角三角形的边和角，并选择正切、正弦、余弦或勾股关系。
• 仰角、俯角、坡度和方位角模型中的角度转换与高度修正。
三、难点
• 含两个观测位置或两个直角三角形时，找出共享量、差量关系和安全阈值。
学习支架
实际测量题五步法
1. 建模：确定水平线、铅垂线、视线或坡面，画直角三角形并标量
2. 列关系：说明选用正切、正弦、余弦或勾股定理的依据
3. 计算：先保留足够位数，单位随数量书写
4. 近似：只在最后一步按题意取近似值
5. 检验：反算比值、检查大小范围，并回到情境作答
四类应用模型的量与关系
仰角测高的标准模型（示意图）
坡度模型（示意图）
东西航线上的方位模型（示意图）
四、知识要点
1. 仰角、俯角：先建立水平基准
从观测点向上看目标，视线与观测点处水平线的夹角叫仰角；向下看目标，视线与水平线的夹角叫俯角。若上下两处的水平线平行，同一条视线所成的俯角等于目标点看向观测点的仰角。测高时，正切关系通常求出的是“目标顶端与仪器的高差”，不是目标总高度。若仪器距地面h₀，水平距离为d，仰角为α，则高差=d·tanα，总高度H=d·tanα+h₀。测水平距离时，若已知竖直高差h和俯角β，则d=h/tanβ。题干若给海拔，应先用两处海拔相减得到竖直高差。
2. 坡度与坡角：同一陡缓的两种表达
从坡脚到坡顶，上升高度h与水平前进距离l的比叫作坡度，记为i，即i=h/l。坡度常写成1:m的形式，表示每上升1个单位，水平方向前进m个单位。坡角α是坡面与水平面的夹角。在坡度直角三角形中，tanα=h/l，所以i=tanα。坡度越大，坡角越大，坡面越陡。斜坡长度s是斜边，满足s²=h²+l²；不能把s放进坡度的分母。
3. 方位模型：先换角，再解三角形
方位以正北、正南为基准描述偏向。例如“北偏东30°”表示从正北方向向正东方向转30°，它与正东方向的夹角是60°。画图时先在观测点画北—南、东—西基准，再画视线。航船沿直线行驶时，常从目标点向航线作垂线，把两个观测位置连接到目标，形成两个共享垂直距离的直角三角形。若需要判断是否安全，应比较“目标到航线的最短距离”和危险半径，而不是比较船到目标的某一次斜距。
4. 实际问题的完整解题链
第一步建模：写清点、线、角及垂直关系，必要时说明地面水平、建筑物铅垂等合理假设。第二步列关系：指出在哪个直角三角形中，哪条边是锐角的对边、邻边或斜边。第三步计算：统一单位，代入三角函数值。第四步近似：中间结果保留足够位数，只在最后按题意取近似。第五步检验：可把结果代回原三角函数关系，或用勾股定理、角度大小、生活数量级和安全阈值复核，再写带单位的情境结论。
五、典型例题
【例1】
例1 校园测量小组在水平地面上用1.5 m高的测角仪测量水塔。仪器点A到塔底D的水平距离为42 m，测得塔顶B的仰角为38°。已知塔身BD铅垂，过A作水平线交BD于C，tan38°≈0.7813。求水塔高BD，结果精确到0.1 m。
【解答】建模：AC水平，BD铅垂，所以AC⊥BC，△ABC是直角三角形。AC=42 m，∠BAC=38°，BC是塔顶高出仪器的高度，CD=1.5 m。列关系：在Rt△ABC中，tan38°=BC/AC，因此BC=AC·tan38°。计算：BC≈42×0.7813=32.8146（m），BD=BC+CD≈32.8146+1.5=34.3146（m）。近似：精确到0.1 m，BD≈34.3 m。检验：(34.3−1.5)/42≈0.781，接近tan38°≈0.7813；结果大于高差32.8 m且只多出仪器高度1.5 m，数量关系正确。答：水塔高约34.3 m。
【点拨】正切求出的是塔顶相对仪器的高差，最后必须加回仪器高度。
【例2】
例2 某段山地步道从A到B，坡度为5:12，A、B两点的水平距离AC为360 m，BC铅垂且AC⊥BC。求步道上升高度BC、步道长AB，并写出坡角α的正弦和余弦。
【解答】建模：△ABC在C处为直角，BC是上升高度，AC是水平距离，AB是步道长，∠BAC=α。列关系：坡度i=BC/AC=5/12；又AB²=AC²+BC²。计算：BC=360×5/12=150（m）。因为5:12:13构成直角三角形三边比，所以AB=360×13/12=390（m）。于是sinα=BC/AB=150/390=5/13，csα=AC/AB=360/390=12/13。近似：本题各结果均可保留精确值；若写小数，sinα≈0.385，csα≈0.923。检验：150/360=5/12，且150²+360²=22500+129600=152100=390²，坡度和勾股关系均成立。答：上升高度为150 m，步道长为390 m，sinα=5/13，csα=12/13。
【点拨】坡度的分母是水平距离。识别5:12:13的比例可以同时得到斜长与三角函数值。
【例3】
例3 一艘巡检船沿正东方向航行，先在A处观测到灯塔C位于北偏东45°方向；继续以24 km/h航行0.5 h到达B处，此时灯塔C位于北偏东30°方向。作CD⊥AB的延长线于D。若灯塔周围25 km内为施工警戒水域，判断船沿原航线继续向东是否会进入警戒水域。取√3≈1.732，结果精确到0.1 km。
【解答】建模：AB=24×0.5=12 km。北偏东45°与正东夹角为45°，北偏东30°与正东夹角为60°。设灯塔到航线的最短距离CD=x km，则A、B、D依次在同一直线上，形成Rt△ACD和Rt△BCD。列关系：在Rt△ACD中，tan45°=x/AD，所以AD=x；在Rt△BCD中，tan60°=x/BD，所以BD=x/√3。又AB=AD−BD，因此x−x/√3=12。计算：x=12√3/(√3−1)=6(3+√3)≈6×4.732=28.392（km）。近似：CD≈28.4 km。检验：AD≈28.4 km，BD≈28.4/1.732≈16.4 km，两者之差约12.0 km，与航程AB相符；且28.4 km>25 km。答：灯塔到原航线的最短距离约28.4 km，大于25 km，巡检船沿原航线继续向东不会进入警戒水域。
【点拨】安全判断比较的是灯塔到航线的垂直距离。方位角必须先换成视线与正东航线的夹角。
同 步 练 习
实际测量题五步法
1. 建模：确定水平线、铅垂线、视线或坡面，画直角三角形并标量
2. 列关系：说明选用正切、正弦、余弦或勾股定理的依据
3. 计算：先保留足够位数，单位随数量书写
4. 近似：只在最后一步按题意取近似值
5. 检验：反算比值、检查大小范围，并回到情境作答
★ 基础巩固
旗杆测高示意图
1. 1. 学校测旗杆高度。测角仪镜头距地面1.6 m，仪器到旗杆底部的水平距离为18 m，测得杆顶仰角为45°。地面水平、旗杆铅垂，求旗杆高度。
2. 2. 地质队员所在点海拔为1450 m，观测到山顶的仰角为32°，山顶海拔为1950 m。观测点与山顶铅垂投影之间地面可视为水平，tan32°≈0.6249。求两点的水平距离，结果精确到1 m。
3. 3. 河岸观景台的观测点P距水面24 m，从P处看对岸水边点A的俯角为30°。水面水平，PA所在竖直平面与两岸垂直，tan30°≈0.5774。求观景台正下方点M到A的水平距离，结果精确到0.1 m。
4. 4. 一架测绘无人机悬停在水平地面上方90 m处，从无人机观测地面标志点Q的俯角为38°。无人机正下方点为M，tan38°≈0.7813。求MQ，结果精确到0.1 m。
5. 5. 社区入口无障碍坡道的竖直升高为0.75 m，水平长度为9 m。求坡度，并把结果写成1:m的形式。
6. 6. 果园运输道的坡度为1:4，从坡脚到坡顶的水平距离为68 m。求上升高度和运输道斜面长度，斜面长度精确到0.1 m。
7. 7. 某仓库采用对称人字形屋顶，屋顶总宽9.6 m，屋脊比檐口高2.0 m。取屋顶一半建立直角三角形，求单侧屋面坡度和从檐口到屋脊的斜面长度。
小岛与灯塔方位图
8. 8. 海上A、B、C三点中，船从A向正东航行10 km到B，灯塔C在B的正北方向；在A观测C的方位为北偏东45°。求B到C的距离。
9. 9. 气象站在水平地面点A观测一只系留气球，测得仰角35°。气球位于地面点M正上方120 m处，tan35°≈0.7002。求AM，结果精确到0.1 m。
10. 10. 通信维护员在距信号杆底部32 m处，用距地面1.2 m高的仪器测得杆顶仰角30°。地面水平，tan30°≈0.5774。求信号杆高，结果精确到0.1 m。
★★ 能力提升
11. 11. 为测古塔高度，测量员在同一条水平直线上选取靠近塔的A点和远离塔的B点，A、B、塔底D依次共线，AB=20 m。两次仪器高度均为1.5 m，在A处测得塔顶仰角45°，在B处测得塔顶仰角30°。取√3≈1.732，求塔高，结果精确到0.1 m。
塔顶俯视桥面示意图
12. 12. 河岸边有一座30 m高的观测塔AD，塔底D与桥的近端B、远端C在同一水平直线上，且D、B、C依次排列。从塔顶A测得B、C的俯角分别为60°、30°。求DB和桥长BC，取√3≈1.732，结果精确到0.1 m。
13. 13. 一段长8 m的旧坡道与水平地面的夹角为12°。改造时保持坡顶高度不变，把坡角降为5°，新旧坡道起点在同一水平线上。已知sin12°≈0.2079，cs12°≈0.9781，tan5°≈0.0875。求坡高及新起点比旧起点向外延长的水平距离，结果精确到0.1 m。
近光灯两条边界光线示意图
14. 14. 汽车大灯中心A距水平路面0.90 m。近光灯照射边界的两条光线与路面的夹角分别为12°和6°，两条光线在车前方同一直线上分别落在近点C和远点B。已知tan12°≈0.2126，tan6°≈0.1051。求照亮路段BC的长度，结果精确到0.1 m。
直升机双俯角模型
15. 15. 直升机P在水平海面上方匀高飞行。海面上A、C两点相距5 km，P的正下方M在线段AC上。从P处测得A、C的俯角分别为55°、40°。已知tan55°≈1.4281，tan40°≈0.8391。求飞行高度PM，结果精确到0.1 km。
16. 16. 救援艇从A向正东航行9 km到B。海上救援标志C在B的正北方向，BC=12 km。求在A处观测C的方位角，并判断继续沿正东方向航行是否会进入以C为中心、半径10 km的限制水域。已知tan36.87°≈0.75，结果精确到1°。
★★★ 拓展延伸
步道改造数据
17. 17. 【无障碍步道方案】某公共建筑入口平台比地面高1.2 m，原有步道水平长度为8.0 m。（1）求原步道坡度，并写成最简整数比；（2）改造要求坡度不大于1:12。若坡高不变，至少需要多少米水平长度？新步道至少比原步道向外延长多少米？（3）现场从坡脚到平台铅垂投影的可用水平长度最多为14.0 m。判断方案能否在直线方向内完成，并说明还缺少多少米。
巡逻艇两次观测位置示意图
18. 18. 【巡逻艇动态安全判断】岸边灯塔观测点P距海面20 m。一艘巡逻艇沿垂直于海岸的直线驶向灯塔，第一次测得巡逻艇A的俯角为30°；20 s后到达B处，测得俯角为45°。假设这20 s内巡逻艇匀速且航向不变，tan30°≈0.5774。（1）求A、B两处到灯塔正下方M的水平距离；（2）求巡逻艇速度，结果精确到0.1 km/h；（3）以M为中心、海面半径15 m内为浅水区。若巡逻艇仍按原速度和航向行驶5 s，判断它是否进入浅水区。
参 考 答 案
第1题：19.6 m
【解析】建模：过镜头作水平线，与旗杆构成直角三角形，竖直边是杆顶高出镜头的高度。列关系：高差=18×tan45°。计算：高差=18×1=18（m），旗杆高=18+1.6=19.6（m）。近似：结果为精确值19.6 m。检验：(19.6−1.6)/18=1=tan45°，且总高度比高差多1.6 m。答：旗杆高19.6 m。
第2题：约800 m
【解析】建模：竖直高差为1950−1450=500 m，水平距离设为x m，组成直角三角形。列关系：tan32°=500/x。计算：x=500/0.6249≈800.128（m）。近似：精确到1 m，x≈800 m。检验：500/800=0.625，与tan32°≈0.6249非常接近；水平距离大于高差，符合32°小于45°。答：两点的水平距离约800 m。
第3题：约41.6 m
【解析】建模：PM=24 m，MA水平且PM⊥MA；由于P处水平线与水面平行，点A看P的仰角等于30°。列关系：tan30°=PM/MA=24/MA。计算：MA=24/0.5774≈41.5656（m）。近似：MA≈41.6 m。检验：24/41.6≈0.577，接近tan30°；30°较小，所以水平距离应大于24 m，结果合理。答：水平距离约41.6 m。
第4题：约115.2 m
【解析】建模：PM=90 m为竖直高度，MQ为水平距离，△PMQ在M处为直角，Q处仰角等于38°。列关系：tan38°=PM/MQ=90/MQ。计算：MQ=90/0.7813≈115.1926（m）。近似：MQ≈115.2 m。检验：90/115.2≈0.7813；因38°小于45°，邻边MQ应大于对边90 m，结果符合。答：MQ约为115.2 m。
第5题：1:12
【解析】建模：0.75 m是坡高h，9 m是水平长度l，不是斜坡长。列关系：i=h/l。计算：i=0.75/9=1/12。近似：比值可精确化简为1:12，无需取近似。检验：按1:12反算，水平前进9 m时上升9÷12=0.75 m，与题设一致。答：坡度为1:12。
第6题：上升17 m，斜面长约70.1 m
【解析】建模：设上升高度为h，水平长度为68 m，斜面长为s，构成直角三角形。列关系：h/68=1/4，s²=68²+h²。计算：h=17 m；s=√(68²+17²)=√4913≈70.0928（m）。近似：s≈70.1 m。检验：17/68=1/4；斜面长70.1 m略大于水平长度68 m且小于68+17=85 m，符合三角形边长关系。答：上升17 m，斜面长约70.1 m。
第7题：坡度5:12，斜面长5.2 m
【解析】建模：对称屋顶的一半水平长度为9.6÷2=4.8 m，坡高为2.0 m，斜面为斜边。列关系：i=2.0/4.8；s²=2.0²+4.8²。计算：i=20/48=5/12，即5:12；s=√(4+23.04)=√27.04=5.2（m）。近似：两结果均为精确值。检验：2.0/4.8=5/12，且2.0²+4.8²=5.2²。答：单侧屋面坡度为5:12，斜面长5.2 m。
第8题：10 km
【解析】建模：AB正东、BC正北，所以AB⊥BC；北偏东45°表示AC与正北夹角45°，因正北与正东垂直，∠BAC=45°。列关系：在Rt△ABC中，tan45°=BC/AB。计算：BC=10×1=10（km）。近似：结果为精确值10 km。检验：两条直角边AB、BC相等，所以两个锐角均为45°，与方位条件一致。答：B到C的距离为10 km。
第9题：约171.4 m
【解析】建模：气球高度120 m是仰角35°的对边，AM是邻边。列关系：tan35°=120/AM。计算：AM=120/0.7002≈171.3796（m）。近似：AM≈171.4 m。检验：120/171.4≈0.700，与tan35°相符；35°小于45°，邻边大于对边，合理。答：AM约171.4 m。
第10题：约19.7 m
【解析】建模：杆顶高出仪器的高度为直角三角形对边，32 m为邻边。列关系：高差=32×tan30°，杆高=高差+1.2。计算：杆高≈32×0.5774+1.2=19.6768（m）。近似：杆高≈19.7 m。检验：(19.7−1.2)/32≈0.578，因最后取近似与tan30°≈0.5774接近；总高度大于高差。答：信号杆高约19.7 m。
第11题：约28.8 m
【解析】建模：过两仪器作同一水平线，设塔顶高出仪器的高度为x m，则A到塔的水平距离为x；B到塔的水平距离为x+20。列关系：由A处观测，tan45°=x/AD，所以AD=x。由B处观测，tan30°=x/(x+20)=1/√3。计算：√3x=x+20，所以x=20/(√3−1)=10(√3+1)≈27.32（m）。塔高H=x+1.5≈28.82（m）。近似：H≈28.8 m。检验：近点水平距离约27.3 m，远点约47.3 m；27.3/47.3≈0.577，接近tan30°，且两距离之差约20.0 m。答：古塔高约28.8 m。
第12题：DB约17.3 m，BC约34.6 m
【解析】建模：AD=30 m，DB、DC水平，AD⊥DC。俯角分别等于B、C处看A的仰角60°、30°。列关系：tan60°=AD/DB，所以DB=30/√3=10√3；tan30°=AD/DC，所以DC=30√3。桥长BC=DC−DB。计算：DB≈17.32 m，DC≈51.96 m，BC≈51.96−17.32=34.64 m。近似：DB≈17.3 m，BC≈34.6 m。检验：远端俯角30°小于近端俯角60°，所以DC应大于DB；51.96>17.32。并且17.32+34.64=51.96。答：DB约17.3 m，桥长BC约34.6 m。
第13题：坡高约1.7 m，向外延长约11.2 m
【解析】建模：旧坡道长8 m是斜边，坡高h为12°的对边，旧水平长度l₁为邻边；新水平长度l₂与同一坡高组成坡角5°的直角三角形。列关系：h=8sin12°，l₁=8cs12°，tan5°=h/l₂，延长量=l₂−l₁。计算：h≈8×0.2079=1.6632 m；l₁≈8×0.9781=7.8248 m；l₂≈1.6632/0.0875=19.008 m；延长量≈19.008−7.8248=11.1832 m。近似：坡高约1.7 m，延长约11.2 m。检验：新坡角更小，在坡高不变时新水平长度19.0 m应显著大于旧水平长度7.8 m；1.6632/19.008=0.0875，与tan5°一致。答：坡高约1.7 m，新起点向外延长约11.2 m。
第14题：约4.3 m
【解析】建模：A到路面的垂线段长0.90 m。角度较大的12°光线落点更近，角度较小的6°光线落点更远。列关系：近点水平距离AC水平分量=0.90/tan12°；远点水平距离AB水平分量=0.90/tan6°；BC=远距−近距。计算：近距≈0.90/0.2126≈4.2333 m；远距≈0.90/0.1051≈8.5633 m；BC≈8.5633−4.2333=4.3300 m。近似：BC≈4.3 m。检验：6°小于12°，对应水平距离8.6 m大于4.2 m；分别反算0.90/8.5633≈0.1051、0.90/4.2333≈0.2126。答：照亮路段长约4.3 m。
第15题：约2.6 km
【解析】建模：设PM=h km。由于M在线段AC上，AM+MC=5 km；俯角分别等于A、C处的仰角。列关系：tan55°=h/AM，所以AM=h/1.4281；tan40°=h/MC，所以MC=h/0.8391。因此h/1.4281+h/0.8391=5。计算：h=5÷(1/1.4281+1/0.8391)≈2.6427（km）。近似：PM≈2.6 km。检验：AM≈2.6427/1.4281≈1.85 km，MC≈2.6427/0.8391≈3.15 km，和约5.00 km；较大的55°对应较短的水平距离，符合图形。答：飞行高度约2.6 km。
第16题：方位约为北偏东37°；不会进入限制水域
【解析】建模：AB正东、BC正北，△ABC在B处为直角。C到东西航线的最短距离就是BC=12 km。列关系：设在A处的方位为北偏东θ，则θ的对边是向东分量AB=9 km，邻边是向北分量BC=12 km，所以tanθ=9/12=0.75。计算：由tan36.87°≈0.75，得θ≈36.87°。近似：方位角精确到1°为北偏东37°。检验：9:12:15为3:4:5比例，θ应小于45°，37°合理；航线到C的最短距离12 km>10 km。答：C约在A的北偏东37°方向；继续向东不会进入限制水域。
第17题：（1）3:20；（2）至少14.4 m，至少延长6.4 m；（3）不能，还缺0.4 m
【解析】（1）建模：坡高h=1.2 m，原水平长度l₁=8.0 m。列关系：i₁=h/l₁。计算：i₁=1.2/8=0.15=3/20。近似：无需近似。检验：8×3/20=1.2。（2）建模：设满足要求的水平长度为l₂。坡度不大于1:12表示1.2/l₂≤1/12。列关系并计算：l₂≥1.2×12=14.4（m），至少延长14.4−8.0=6.4（m）。近似：数据精确到0.1 m，写14.4 m和6.4 m。检验：1.2/14.4=1/12，若再短则坡度会大于1:12。（3）计算：14.0