初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）2.2 锐角的正切第2课时巩固练习

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本课核心问题
确定一个锐角后，怎样准确找到它的对边和邻边，并用tan把未知边、角或实际量求出来？
一、学习目标
1. 理解锐角正切的定义及其与直角三角形大小无关的依据，能针对参考锐角正确辨认对边和邻边。
2. 掌握由边求tan、由tan列比例求边以及30°、45°、60°特殊角正切值的使用方法。
3. 会用计算器求一般锐角的正切值或由正切值求锐角，并能在坐标和简单竖直—水平情境中解释正切比。
二、重点
• tanα=角α的对边/角α的邻边，列比前先确定参考角并排除斜边。
• 利用正切定义在已知边、未知边和角之间进行双向转换。
三、难点
• 参考锐角改变时对边、邻边随之改变，以及在非标准摆放或实际情境中准确还原边的角色。
学习支架
以∠A为参考角辨认三边
参考角改变，边的角色怎样变
特殊锐角的正切值
正切问题五步法
1. 圈定参考锐角并确认直角
2. 先找斜边并排除
3. 标出参考角的对边与邻边
4. 列tanα=对边/邻边并求解
5. 回代边比，检查正值、单位和近似要求
易错对比：邻边不等于所有相邻边
四、知识要点
1. 1. 正切的定义与不变量
在Rt△ABC中，若∠C=90°，以锐角A为参考角，那么BC是∠A的对边，AC是∠A的邻边，AB是斜边。锐角A的正切记作tanA，定义为：tanA=∠A的对边/∠A的邻边=BC/AC。为什么这个比能表示角？若两个直角三角形都有一个锐角等于α，那么它们由“两角分别相等”可判定相似，对应直角边成比例，所以“角α的对边÷角α的邻边”相等。三角形整体放大或缩小，两条直角边按同一倍数变化，比值不变。辨边口诀不是死记“竖边、横边”，而是按顺序判断：先由直角找到斜边；再圈定参考锐角；与参考角相对的直角边是对边，剩下的直角边是邻边。图形旋转后这个关系仍不变。
2. 2. 特殊角正切值与边长互求
由30°直角三角形的边关系可得tan30°=√3/3、tan60°=√3；由等腰直角三角形可得tan45°=1。这些是精确值，计算时优先保留根式，不写成小数近似。由边求tan：先辨认对边、邻边，再直接作比并约分。由tan求边：把已知值代入“tanα=对边/邻边”，设未知边列比例方程。例如tanA=3/5、邻边为20，则对边x满足x/20=3/5。注意3和5只是最简比，不是两条边唯一的长度。若在同一个直角三角形中A、B互余，则tanA=BC/AC，tanB=AC/BC，所以tanA·tanB=1。这个关系可作为两角正切结果的复核。
3. 3. 用计算器双向求值
一般锐角的正切值可用计算器求。先确认角度模式为DEG，再输入角度并使用tan键；角度含分、秒时，可先按计算器支持的度分秒方式输入，也可化成度。最终按题目要求四舍五入，例如tan32°≈0.6249（精确到0.0001）。若已知tanα的值求锐角α，应使用反正切功能tan⁻¹（通常由SHIFT或2nd配合tan键），不是计算1/tanα。例如tanα=1.4281，则α≈55.0°（精确到0.1°）。精度顺序要规范：计算器内部保留足够位数，最后一步再取近似值，避免中途连续取近似造成误差。
4. 4. 坐标、边比关系与简单应用
若点P(x，y)在第一象限，连接OP，过P作x轴的垂线，垂足为H，则△OHP是直角三角形。OP与x轴正方向所夹锐角为α时，OH=x是邻边，PH=y是对边，所以tanα=y/x。坐标中的“纵向变化÷横向变化”仍是同一个正切定义。在同一直角三角形中，设α的对边为a、邻边为b、斜边为c，则sinα=a/c，csα=b/c。因此sinα/csα=(a/c)/(b/c)=a/b=tanα。这说明正切也能由正弦与余弦的比得到。实际问题中，只有题目明确给出水平量与竖直量互相垂直、并与斜线组成直角三角形时，才能直接使用正切。若α是斜线与水平线的夹角，则tanα=竖直量/水平量。
5. 5. 从数表观察正切的变化
教材让我们用计算器比较不同锐角的正切值。按α从小到大排列，例如tan10°≈0.176、tan20°≈0.364、tan40°≈0.839、tan50°≈1.192、tan70°≈2.747、tan80°≈5.671，可以观察并猜测：当锐角α不断增大时，tanα也不断增大。本课把它作为由数表得到的规律观察；比较时必须保证角都在锐角范围内。
五、典型例题
【例1】
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。分别求tanA和tanB。
【解答】第一步：AB是∠C所对的边，所以AB是斜边，不进入本题的两个正切比。第二步：以∠A为参考角，BC是对边，AC是邻边，因此tanA=BC/AC=8/6=4/3。第三步：改以∠B为参考角，AC是对边，BC是邻边，因此tanB=AC/BC=6/8=3/4。第四步复核：tanA·tanB=(4/3)×(3/4)=1，与A、B互余相符。答：tanA=4/3，tanB=3/4。
【点拨】参考角一换，对边和邻边就交换；斜边始终是AB。
【例2】
例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A为锐角，tanA=3/5，∠A的邻边AC=20 cm。求∠A的对边BC。
【解答】设BC=x cm。对∠A而言，BC是对边，AC是邻边。由正切定义，tanA=BC/AC，所以x/20=3/5。两边同乘20，得x=20×3/5=12。边长取正，因此BC=12 cm。回代检验：BC/AC=12/20=3/5，与已知tanA一致。答：BC=12 cm。
【点拨】3∶5表示对边与邻边的比例。先写“未知边/已知边=已知正切值”，不要把3、5直接当边长。
【例3】
例3 计算：(tan60°−tan30°)/(1+tan60°·tan30°)。
【解答】代入tan60°=√3，tan30°=√3/3，得
(tan60°−tan30°)/(1+tan60°·tan30°)
=(√3−√3/3)/(1+√3×√3/3)
=(2√3/3)/(1+1)
=(2√3/3)/2
=√3/3。复核：分母1+1=2≠0，根式化简正确。答：原式的值为√3/3。
【点拨】特殊角用精确值代入；含分式时先分别化简分子、分母，再整体相除。
【例4】
例4 用计算器完成两问：（1）求tan32°，精确到0.0001；（2）若tanα=1.4281，求锐角α，精确到0.1°。
【解答】（1）把计算器设为角度制DEG，输入32，再按tan，显示约0.62486935。按要求保留四位小数，tan32°≈0.6249。（2）使用反正切功能tan⁻¹，输入1.4281，显示约54.99909507°。按要求保留一位小数，α≈55.0°。合理性复核：32°