湘教版（2024）九年级上册（2024）1.5 相似三角形的性质课文课件ppt

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1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？3.相似三角形的判定方法有哪些？
∵△ABC∽△A′B′C′，
又 ∠AHB=∠A′H′B′=90°，
∴△AHB∽∠A′H′B′.
类似地，可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
如图， AB∥PQ，AB=100m，PQ=120m.点P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40m，求点C到直线PQ的距离.
解 ∵AB∥PQ， ∴△CAB∽△CPQ.
过点C作CD⊥PQ，垂足为点D.设CD交AB的延长线于点E，
∴CE⊥AB，DE=40m.
又 AB=100m，PQ=120m，DE=40m，
答：点C到直线PQ的距离是240m.
由“相似三角形对应高的比等于相似比”可得，
如图， 已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分别为对应∠BAC，∠B′A′C′的角平分线.求证：
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′，
∴∠B=∠B′ ，∠BAC=∠B′A′C′.
又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线，
∴△ABT∽△A′B′T′，
同样可以证明其余两组对应角的角平分线的比也等于相似比.
∴∠B=∠B′， .
∵ D、D′分别是BC和B′C′的中点，
∴△ABD∽△A′B′D′.
同样可以证明其余两组对应边上的中线的比也等于相似比.
解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.在△ADC和△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.
1.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高. （1）则图中有几对相似三角形；（2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD； （3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD.
（2）∵△ACD∽△CBD，∴
∴BD=4 （cm）.
（3）∵△CBD∽△ABC，∴
2.如图 ，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.
（1）证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD， ∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，∴△CDF∽△BGF．
（2）由（1）知△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，∴BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=FG，CD=BG.又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AG，得2EF=AB+BG．∴BG=2EF-AB=2×4-6=2，∴CD=BG=2cm．
1. △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知 ，B1D1 = 4 cm，则 BD = cm.
2. △ABC ∽ △A1B1C1，AD 和 A1D1 是 BC 和 B1C1 边上的高，已知 AB = 8 cm，A1B1 = 3 cm ，则 △ABC 与 △A1B1C1 的对应高之比为 .
3.如图、电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB∥CD，AB = 2 m，CD = 4 m，点 P 到 CD 的距离是 3 m，则 P 到 AB 的距离是 m.
例1 如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
(1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？
(2) △ASR 与 △ABC 相似吗？为什么？
(3) 求正方形 PQRS 的边长.
解： AE 是 △ASR 的高. 理由： ∵AD 是 △ABC 的高， ∴ ∠ADC = 90°.∵四边形 PQRS 是正方形， ∴SR∥BC.∴∠AER =∠ADC = 90°. ∴ AE 是 △ASR 的高.
解：△ASR 与 △ABC 相似. 理由： ∵ SR∥BC， ∴ ∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. ∴ △ASR 与 △ABC 相似.
解：∵ △ASR ∽ △ABC，AE、AD 分别是 △ASR 和 △ABC 对应边上的高，∴ . 设 PQ = x cm，则 SR = DE = x cm，AE = (40 - x) cm .∴ . 解得 x = 24.∴正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
变式：如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 5 cm，AD = 10 cm，若矩形 PQRS 的长是宽的 2 倍，你能求出这个矩形的面积吗？
如图，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm.
分析：情况一：SR = 2SP
分析：情况二：SP = 2SR
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中 △ABC 和 △A′B′C′ 相似，AD、A′D′ 分别为对应边上的中线，BE、B′E′ 分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
已知 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， 求证：
证明：∵ △ABC ∽ △A′B′C′，∴ ∠A′B′C′ =∠ABC， ．又 ∵AD，AD′ 分别为对应边的中线， ∴ △ABD ∽ △A′B′D′.
由此得到： 相似三角形对应边上的中线的比也等于相似比．
同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比．
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，即 求证：
证明：∵△ABC∽△A′B′C′∴ ∠A′B′C′ =∠ABC，∠B′A′C′ =∠BAC．又AD、AD′分别为对应角的平方线， ∴ △ABE∽△A′B′E′.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
例2 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6 cm 和 8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为 x cm，则由相似性质有解得 x＝18.较长的角平分线长为 24 cm.故这两条角平分线的长分别为 18 cm，24 cm.
3. 两个相似三角形对应中线的比为 ，则对应高的比为______ .
2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的角平分线的比为______.
1. 两个相似三角形的相似比为 ，则对应高的比为________， 则对应中线的比为_________.
4.如图，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E.当 时，求 DE 的长.如果 呢？ 　
∴△ASR∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似).
解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，
∴ SR∥BC.
∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比).
当 时，得 解得
当 时，得 解得
选做题：5. 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为1.5 m，面积为 1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图(1)、(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
6. AD 是 △ABC 的高，BC = 60 cm，AD = 40 cm，求图中小正方形的边长.