湘教版（2024）九年级上册（2024）综合与实践 制作自相似图形练习题

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本课核心问题
怎样把一条可执行的作图规则变成自相似作品，并用测量、计算和证据说明作品为什么自相似？
一、学习目标
1. 能按“每条旧边替换为4条长度为原来1/3的新边”的规则完成科克雪花前两轮制作。
2. 能记录并计算迭代后的边数、边长、周长和新增等边三角形面积比，能用相对误差评价实测结果。
3. 能用对应边关系或相似判定说明科克雪花与谢尔宾斯基三角形的自相似性。
4. 能制作成果卡，结合一个有来源的实例说明自相似图形在生活或技术中的应用，并反思小组方案。
二、重点
• 把同一几何变换规则准确地连续实施在当前图形的全部目标线段上。
• 把制作结果转化为边数、边长、周长、面积比和相似证据。
三、难点
• 区分外边界与被删除的重叠边，并把理论值、实测值及误差来源对应起来。
• 用可检验的相似证据说明自相似，而不是只凭图案重复作判断。
学习支架
一课时活动流程
1. 定起点并复测
2. 完成科克第一轮
3. 独立完成第二轮
4. 测量、计算与误差分析
5. 制作谢尔宾斯基三角形
6. 证据表达、展示与反思
边界计数自检
小组任务完成检查表
四、知识要点
1. 步骤卡：科克雪花的边界替换
材料准备：A4卡纸、直尺、圆规、铅笔、彩笔和橡皮。先作边长18 cm的等边三角形，把当前外边界的每一条线段三等分，以中间一段为边向外作等边三角形，再擦去与底边重合的中间线段。完成一条边就在步骤清单上打勾；第一轮处理3条边，第二轮处理新得到的12条边，不能漏边、重复或保留内部重叠边。
2. 测量记录与误差分析
每轮每条旧边都被4条新边替换，所以边数乘4；每条新边长度是旧边的1/3，所以周长乘4/3。相似比为1/3时，新作等边三角形与对应旧等边三角形的面积比为(1/3)²=1/9。记录时要并列写理论值和实测值；绝对误差=|实测值−理论值|，相对误差=绝对误差÷理论值×100%，并用具体操作说明误差来源。
3. 自相似证据卡
自相似不能只看“图案重复”，要在作品上圈出一个局部副本，指出它与整体的对应边，并写出相似比或相似判定依据。科克雪花在不同尺度上的边界局部按同一规则生成，局部之间保持相似。表达时采用“我圈出的局部是____；它与整体的相似比是____；相似依据是____；所以____”的证据链。
4. 谢尔宾斯基三角形制作与成果表达
顺次连接三角形三边中点，四个小三角形都与原三角形相似；制作谢尔宾斯基三角形时标记中间三角形，只对三个角部三角形继续同样操作。每轮保留的小三角形个数乘3，最小边长乘1/2，保留面积乘3/4。成果卡必须含作品名称、三步制作说明、一条自相似证据、一个生活或技术实例、资料名称与来源，以及本组认为该实例利用了什么结构特点。
五、典型例题
【例1】
示范任务1 边长18 cm的等边三角形完成科克变换。请示范第一轮的作图检查，并计算n=0、1、2时的外边界边数、单段长度、理论周长；再计算第一轮新作小等边三角形与原等边三角形的面积比。
【解答】第1步：初始图n=0有3条边，每条18 cm，周长P₀=3×18=54 cm。第2步：把一条旧边三等分，每段18÷3=6 cm；删除中间段并补上新等边三角形的两腰后，1条旧边变成4条新边。第一轮边数N₁=3×4=12，单段长l₁=6 cm，P₁=12×6=72 cm。第3步：第二轮再次把每条边替换成4条，N₂=12×4=48；单段长l₂=6÷3=2 cm；P₂=48×2=96 cm。第4步：第一轮新作小等边三角形与原三角形的相似比为6:18=1:3，面积比为(1/3)²=1/9。复核：P₁/P₀=72/54=4/3，P₂/P₁=96/72=4/3，与“边数乘4、边长乘1/3”一致。
【点拨】示范时用红笔描出一条旧边替换后的4条外边界，明确新三角形底边不计入外边界。
【例2】
示范任务2 某组第二轮作品的理论周长是96.0 cm，用细线贴合外边界后测得95.4 cm。请示范计算绝对误差和相对误差，并给出两条与误差原因对应的改进措施。
【解答】第1步：绝对误差=|95.4−96.0|=0.6 cm。第2步：相对误差=0.6÷96.0×100%=0.625%。第3步：实测值偏小，可能是三等分点向内偏移、细线没有贴紧尖角，或读取总长时提前取整；不能只写“粗心”。第4步：改进一是用最小刻度1 mm的直尺统一从同一零刻度量取，并让第二人复核三等分点；改进二是用不易伸长的细线逐段压紧全部尖角，完整贴合后一次量总长，避免逐段取整后累积误差。结论：0.625%的相对误差说明结果接近理论值，但仍应保留原始测量数据并说明改进。
【点拨】误差分析要形成“数据差异—具体原因—对应改进”的链条。
同 步 练 习
一课时活动流程
1. 定起点并复测
2. 完成科克第一轮
3. 独立完成第二轮
4. 测量、计算与误差分析
5. 制作谢尔宾斯基三角形
6. 证据表达、展示与反思
小组任务完成检查表
★ 基础巩固
任务一 制作科克雪花前两轮
四人小组按步骤卡完成，作图员执笔，测量员每轮复核，记录员填写，汇报员准备说明。
科克雪花起始图与作图区
以图中等边三角形为起始轮廓，在卡纸作品上按题目完成两轮变换；本作图区用于画出一条旧边的“4段替换”放大图，并标出三等分点。
12条边第二轮完成检查
1. 在第一张A4卡纸上完成以下5个作答点：[1] 作边长18 cm的等边三角形，填写三边实测值AB=____ cm，BC=____ cm，CA=____ cm，并写最大差____ mm。[2] 在三边标出三等分点，用红笔完成第一轮；圈出一条旧边对应的4条新边，并在旁边写“1→____”。[3] 数第一轮外边界线段，记录____条；若不是12条，沿外边界逐段编号后修正。[4] 在12条外边界线上完成第二轮，每完成一条在检查表打勾；记录第二轮外边界共____条。[5] 用蓝笔圈出第二轮中一个与第一轮凸起具有相同形状的局部，标注两者对应边长____ cm和____ cm。
任务二 测量、记录、计算与误差分析
先独立计算理论值，再由测量员报告原始数据；记录员不得用理论值替换实测值。
科克雪花理论与实测记录表
第二轮最小线段抽测表
2. 围绕任务一作品完成以下6个作答点：[1] 填写n=0、1、2三轮的理论边数N、理论单段长l和理论周长P。[2] 写出N₁/N₀=____，l₁/l₀=____，P₁/P₀=____；再用n=1到n=2复核一次。[3] 抽测第二轮6条最小边，依次记录____、____、____、____、____、____ cm，求平均值____ cm。[4] 用细线贴合第二轮整条外边界，测得实测周长____ cm；写绝对误差算式和结果____ cm。[5] 写相对误差算式并算到0.1%：____；判断是否达到本组“相对误差不超过2.0%”的预设标准：____。[6] 写两组“误差来源→改进措施”：①____→____；②____→____。不得只写“粗心”或“仔细一点”。
★★ 能力提升
任务三 用证据说明科克雪花自相似
先在作品上圈画，再写数学证据；只写“看起来一样”不算完成。
粘贴作品局部拓印或画出圈选位置
3. 完成以下4个作答点：[1] 在第二轮作品上用蓝笔圈出一个第二轮小凸起A，用红笔圈出对应的第一轮凸起B。[2] 量得A的一条对应边约____ cm，B的一条对应边约____ cm，写相似比A:B=____。[3] 写相似依据：A、B都是____三角形，三个角分别对应相等，因此A与B____；若使用其他判定，必须写出对应关系。[4] 补全证据句：“第二轮的局部A与第一轮的局部B____，且不同位置的小凸起都由同一规则生成，所以该边界表现出____性。”
任务四 制作谢尔宾斯基三角形并找规律
在第二张卡纸上完成，中心三角形只做标记或轻涂，不把它作为下一轮继续操作的对象。
谢尔宾斯基三角形起始图与作图区
从边长16 cm的等边三角形开始，顺次连接三边中点并标记中心三角形；只在三个角部三角形内重复，共完成三轮。
谢尔宾斯基三角形迭代记录表
4. 完成以下5个作答点：[1] 作边长16 cm的等边三角形，连接三边中点；把中间三角形轻涂灰色，在三个角部三角形内完成第二轮、第三轮。[2] 填写n=0、1、2、3时保留的小三角形个数：____、____、____、____。[3] 填写对应最小三角形边长：____、____、____、____ cm；写相邻两轮边长比____。[4] 填写保留面积占原三角形面积的比例：____、____、____、____；写出n=3的计算过程。[5] 在作品上圈一个角部三角形，写“它与原三角形的相似比是____，相似依据是____，因此该图形具有____性。”
★★★ 拓展延伸
任务五 成果表达、同伴评价与个人反思
成果卡由全组共同完成，资料来源必须具体到书名、文章名、网页标题或场所观察记录；反思由每名学生独立填写。
自相似图形成果卡
同伴建议与个人反思
5. 完成以下3个作答点：[1] 成果卡：作品名称____；用三句话写清“起始图形—每轮规则—已完成轮数”；选一种生活或技术中的自相似现象，写实例____、资料名称____、来源____、与本课图形相似的结构特点____。[2] 2分钟汇报必须口头说明一个数量规律和一条自相似证据；同伴组记录“我听到的证据____”“我建议补充或修正____”。[3] 个人反思：本组数据中最可信的一项是____，理由____；最需要改进的一步是____，下一次我会具体这样做：____；科克雪花与谢尔宾斯基三角形的共同点____，不同点____。
参 考 答 案
第1题：教师参考：[1] 三边目标值均为18.0 cm，考虑1 mm刻度和作图误差，建议最大差不超过2 mm；超过时重新确定圆规半径或重作顶点。[2] 填4，圈画中应只含两端保留段和新等边三角形两腰，底边被擦去。[3] 12条。[4] 48条，每条第一轮边都必须被处理一次。[5] 可圈第二轮边长2 cm的小凸起与第一轮边长6 cm的凸起，对应边分别约2 cm、6 cm，相似比1:3；等价的明确圈画与标注可接受。
【解析】检查顺序：先查三等分点，再查外作方向，最后查重叠底边是否删除。若边数不对，不直接重画整幅图，应沿边界编号定位漏做、重复或保留底边的位置。
第2题：教师参考：[1] n=0：N=3，l=18 cm，P=54 cm；n=1：N=12，l=6 cm，P=72 cm；n=2：N=48，l=2 cm，P=96 cm。[2] 4，1/3，4/3；第二组比值仍为4，1/3，4/3。[3] 六次实测应保留到0.1 cm，平均值=六个数据之和÷6；若与2.0 cm差异明显，回查三等分点。[4] 实测值由作品决定，绝对误差=|实测周长−96.0| cm。[5] 相对误差=绝对误差÷96.0×100%，按实际结果判断是否≤2.0%。[6] 合格示例：三等分点受线宽影响→用细铅笔标点并由第二人复测；细线未贴紧尖角→用胶点临时固定每个转折后一次量总长；逐段四舍五入累积→保留原始数据到最后一步再取近似值。
【解析】理论值用于比较，不用于改写实测数据。评价时既看计算是否正确，也看误差原因是否能解释数据方向、改进措施是否针对该原因且可实际执行。
第3题：教师参考：[1] A、B必须是作品上可明确对应的完整凸起，不能随意圈两段折线。[2] 典型实测约2.0 cm和6.0 cm，相似比1:3；允许与作品误差一致的近似值，但比例应接近1:3。[3] 等边，相似；也可用三边对应成比例说明。[4] 相似，自相似。完整证据应同时包含圈画对象、对应边比和相似依据。
【解析】教材中的“局部与局部之间相似”需要落实为可观察、可测量的对象。相似比接近1:3反映相邻两轮的尺度变化；若学生圈选跨越多轮的局部，相似比可为1:9，但要说明所跨轮次。
第4题：教师参考：[1] 第一轮标记1个中心三角形，后续只在3个角部三角形内重复；第二、三轮分别在9个角部三角形内形成更小结构。[2] 1、3、9、27。[3] 16、8、4、2 cm，相邻两轮最小边长比为1:2，若按“后一轮:前一轮”记录则为1/2。[4] 1、3/4、9/16、27/64；n=3为(3/4)³=27/64。[5] 若圈第一轮角部三角形，相似比1:2；依据可写三边对应成比例或顺次连接中点得到对应边平行、对应角相等；填“自相似”。圈第二轮局部时相似比1:4，也可接受。
【解析】每轮一个保留三角形产生3个相似副本，因此个数乘3；最小边长乘1/2；每个副本面积为上轮的1/4，共保留3份，所以总保留面积乘3/4。计算与作品标记必须互相对应。
第5题：教师参考：[1] 三句话必须准确对应起始等边三角形、科克边界替换或谢尔宾斯基中点分割、实际完成轮数。实例可选树枝分叉、蕨叶、花椰菜的层级形态、分形天线或计算机图形生成等；必须写出可回查的资料名称与来源，且结构特点要具体，如“较小分枝与较大分枝形态相近”或“同一几何单元按尺度重复”，不能只写“很漂亮”。[2] 数量规律可为科克边数乘4、边长乘1/3、周长乘4/3，或谢尔宾斯基保留个数乘3、边长乘1/2、保留面积乘3/4；证据必须含圈选对象、相似比或判定依据。同伴建议要指出具体缺项或矛盾。[3] 可信度理由应联系复测、刻度、误差或理论复核；改进动作必须可执行。共同点：均按固定规则反复生成、不同尺度局部与整体相似；不同点：科克雪花主要改变外边界并增加周长，谢尔宾斯基三角形主要在内部标记或移除中心三角形并减少保留面积。
【解析】评价维度共四项：制作规则准确、数据与计算可复核、自相似证据完整、应用信息有来源且联系明确。开放实例不设唯一答案，但不能缺少来源和结构证据。反思重点是用本组真实数据定位一个可改进环节。易错做法
正确做法
把新等边三角形的底边也保留，认为1条旧边变成5条新边。
删除与中间三等分线段重合的底边，外边界只剩4条新边。
任务
作品/数据是否完成
复核人签名
任务
作品/数据是否完成
复核人签名
第一轮边编号
1
2
3
4
5
6
迭代n
理论边数N
理论单段长l/cm
理论周长P/cm
实测周长/cm
相对误差
线段编号
实测长度/cm
与2.0 cm的差/cm
迭代n
保留小三角形个数
最小边长/cm
保留面积/原面积
项目
填写内容
证据位置