数学九年级上册（2024）第二十五章 图形的相似25.6 相似三角形的性质精品课时作业

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本课核心问题
已知两个相似三角形的相似比，怎样由一边、一高或一面积推出对应的线段长、周长与面积？面积比与相似比之间为什么要开平方？
一、学习目标
1. 理解并掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，能据此求对应线段的长
2. 掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，能正确区分并运用
3. 能结合平行线等条件证明三角形相似，并综合运用三条性质求线段长、周长与面积
二、重点
• 三条性质定理及其适用对象：对应线段比与周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
• 由相似比求面积比（平方），由面积比求相似比（开平方）
三、难点
• 分清“相似比、周长比、对应线段比三者相等”与“面积比等于相似比的平方”，防止把面积比误当相似比；由面积比反求相似比时正确开平方
学习支架
相似比—对应线段比/周长比—面积比对照表
利用相似比求线段与面积的流程
1. 找出相似比并确认对应关系
2. 对应线段（含高、中线、角平分线）的比、周长的比等于相似比，列出比例式
3. 面积的比等于相似比的平方，列出面积比例式
4. 代入已知值求解，必要时开平方，并检验方向是否正确
四、知识要点
1. 相似三角形对应线段的比等于相似比
全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线分别相等，可以看成相似比 k=1 的特殊情形。一般地，两个相似三角形中，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。证明思路（以对应高为例）：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，AD 与 A'D' 分别是 BC 与 B'C' 边上的高。由相似得 ∠B=∠B'；又 ∠ADB=∠A'D'B'=90°，所以 △ABD∽△A'B'D'，从而 ADA'D'=ABA'B'=k。对应中线、对应角平分线可以类似地证明。关键结论：相似三角形对应线段的比等于相似比。这里的“对应线段”指处于对应位置的线段，不能随意取两条线段比较。
2. 相似三角形周长的比等于相似比
因为相似三角形对应边成比例，设相似比为 k，则 AB=k·A'B'，BC=k·B'C'，AC=k·A'C'。把三式相加：AB+BC+AC=k(A'B'+B'C'+A'C')。所以周长的比也等于相似比。关键结论：相似三角形周长的比等于相似比。求对应周长或对应边时，直接按相似比列比例式即可。
3. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
用面积公式推一推：S△ABC=12·BC·AD，S△A'B'C'=12·B'C'·A'D'，其中 AD、A'D' 是对应高。两式相除：S△ABCS△A'B'C'=(BCB'C')·(ADA'D')=k·k=k²。关键结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方。反过来，由面积比求相似比时，要对面积比开平方。例如面积比是 4:9，相似比就是 2:3。这是本课最容易出错的地方：长度关系与面积关系“不同步”，长度放大 k 倍，面积放大 k² 倍。
4. 综合运用：先证相似，再按对应比求值
遇到图形题，按下面的流程走：第一步，找出（或证明）一对相似三角形，如由 EF//BC 得 △AEF∽△ABC；第二步，写出相似比，并确认所求线段在对应位置上（对应高、对应中线等）；第三步，线段问题按“对应线段比=相似比”列比例式，面积问题按“面积比=相似比的平方”列比例式；第四步，代入已知数据求解，并检验答案的合理性（面积只能为正，方向不能颠倒）。注意：图中的高若是两个相似三角形的对应高，其比等于相似比；若两个三角形共用一条底边上的高（如 △AEF 与 △ABC 的高 AG、AD），则高的比等于对应边的比，也等于相似比。
五、典型例题
【例1】
已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 2:3。AD 与 A'D' 分别为对应高，AD=8 cm；△ABC 的周长为 20 cm。求 A'D' 的长和 △A'B'C' 的周长。
对应高的示意：△ABC∽△A'B'C'，AD 与 A'D' 是对应高
【解答】解：（1）因为相似三角形对应高的比等于相似比，所以
ADA'D'=23。代入 AD=8，得 8A'D'=23，交叉相乘：2·A'D'=8×3=24，所以 A'D'=12（cm）。（2）因为相似三角形周长的比等于相似比，所以
C△ABCC△A'B'C'=23，即 20C△A'B'C'=23，交叉相乘：2·C△A'B'C'=60，所以 C△A'B'C'=30（cm）。答：A'D' 的长为 12 cm，△A'B'C' 的周长为 30 cm。
【点拨】写比例式前先确认“哪个三角形在前”：相似比 2:3 表示 △ABC 的量在前、△A'B'C' 的量在后，所有对应线段与周长都按这个顺序列式，方向一致就不会错。
【例2】
如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，EF//BC，分别交 AB、AC、AD 于点 E、F、G。已知 AE:EB=2:3，AD=20 cm，S△ABC=250 cm²。求 AG 的长和 △AEF 的面积。
例2图形：在△ABC中，AD⊥BC，EF//BC，分别交AB、AC、AD于点E、F、G
【解答】解：因为 EF//BC，所以 △AEF∽△ABC，相似比
AEAB=2(2+3)=25。（1）AD⊥BC，EF//BC，所以 AG⊥EF。AG 与 AD 分别是 △AEF 与 △ABC 的对应高，对应高的比等于相似比：AGAD=AEAB=25。代入 AD=20，得 AG20=25，所以 AG=20×25=8（cm）。（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方：S△AEFS△ABC=(25)²=425。代入 S△ABC=250，得 S△AEF250=425，所以 S△AEF=250×425=40（cm²）。答：AG 的长为 8 cm，△AEF 的面积为 40 cm²。
【点拨】EF//BC 是“两处结论”的来源：既推出 △AEF∽△ABC，又推出 AG⊥EF。求 AG 用线段比（等于相似比），求面积用面积比（等于相似比的平方），两类问题要分清再列式。
【例3】
两个相似三角形的面积比为 4:9，其中较小三角形的周长为 10 cm，且它的一条边长为 4 cm。求较大三角形的周长和对应边的长。
【解答】解：（1）设相似比为 k（较小三角形在前），则面积比 k²=49。因为 k＞0，所以 k=49=23，即较小三角形与较大三角形的相似比为 2:3。（2）周长的比等于相似比：10C大=23，所以 C大=10×32=15（cm）。（3）对应边的比等于相似比：4a大=23，所以 a大=4×32=6（cm）。答：较大三角形的周长为 15 cm，对应边的长为 6 cm。
【点拨】由面积比求相似比是逆用定理：先写“面积比=相似比的平方”，再开平方。开平方后一定要回代验证——若相似比取反（3:2），周长与对应边都会错。本题体现转化化归思想：把面积比转化为长度比。
同 步 练 习
利用相似比求线段与面积的流程
1. 找出相似比并确认对应关系
2. 对应线段（含高、中线、角平分线）的比、周长的比等于相似比，列出比例式
3. 面积的比等于相似比的平方，列出面积比例式
4. 代入已知值求解，必要时开平方，并检验方向是否正确
★ 基础巩固
1. 两个相似三角形的相似比是 1:5，则这两个三角形周长的比是（________），面积的比是（________）。
2. 两个相似三角形的相似比是 2:3，则它们对应中线的比是（________），对应角平分线的比是（________）。
3. 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 2:3，AD 与 A'D' 分别为对应高，AD=9 cm。求 A'D' 的长。
4. 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 2:3，AE 与 A'E' 分别为对应中线，A'E'=10 cm。求 AE 的长。
5. 两个相似三角形的面积比是 4:9，则它们的相似比是（________）。
6. 两个相似三角形的对应高的比等于它们的面积比。（ ）
7. 若两个相似三角形的相似比是 1:2，则它们的面积比是 1:2。（ ）
8. 相似三角形对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。（ ）
9. 已知△ABC∽△A'B'C'，AB=4，BC=5，AC=3，△A'B'C' 的周长为 48。求 △A'B'C' 的三边长。
★★ 能力提升
10. 下列说法正确的是（________）。
A. 相似三角形的面积比等于相似比
B. 相似三角形对应中线的比等于相似比
C. 相似三角形的周长比等于相似比的平方
D. 相似三角形对应角平分线的比等于它们面积的比
11. 已知△ABC∽△A'B'C'，AD 与 A'D' 分别为对应高，BE 与 B'E' 分别为对应中线。当 AD:A'D'=3:4，BE=6 cm 时，求 B'E' 的长。
12. 两个相似三角形的面积比为 16:25，其中较小三角形的一条边长为 8 cm，求较大三角形对应边的长。
13. 如图，在△ABC 中，DE//BC，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AD:DB=2:1。若 S△ADE=12，求 △ABC 的面积。
在△ABC中，DE//BC，AD:DB=2:1
14. 一块三角形草坪按 1:800 的比例尺画在图纸上，图上三角形草坪的底边长为 3 cm，高为 2 cm。这块草坪的实际面积是多少平方米？
15. 在方格纸上画一个与 △ABC 相似的三角形，使相似比为 2:1（边长放大为原来的 2 倍），并画出其中一组对应高。
画一个与图中 △ABC 相似的三角形，使相似比为 2:1（各边长为原图的 2 倍），并画出其中一组对应高。
★★★ 拓展延伸
16. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 在 AB 上，且 AE:EB=2:1，对角线 AC 与 DE 交于点 F。若 S△AEF=8，求 △CDF 的面积。
平行四边形ABCD中，AE:EB=2:1，AC与DE交于点F
17. 两个相似三角形的面积比为 9:25，其中较大三角形的周长为 40。求较小三角形的周长。
参 考 答 案
第1题：1:5；1:25
【解析】周长的比等于相似比 1:5；面积的比等于相似比的平方 1²:5²=1:25。[错因:知识]
第2题：2:3；2:3
【解析】对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，所以都是 2:3。[错因:知识]
第3题：13.5 cm
【解析】对应高的比等于相似比：9A'D'=23，A'D'=9×32=13.5（cm）。[错因:计算]
第4题：203 cm
【解析】对应中线的比等于相似比：AE10=23，AE=10×23=203（cm），约等于 6.7 cm。
第5题：2:3
【解析】面积比等于相似比的平方，49=23，所以相似比是 2:3。[错因:方法]
第6题：×
【解析】对应高的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，两者一般不相等（相似比为1时除外）。[错因:理解]
第7题：×
【解析】面积比等于相似比的平方：1²:2²=1:4，不是 1:2。[错因:计算]
第8题：√
【解析】对应中线、对应角平分线与对应高一样，都是对应线段，其比都等于相似比。[错因:知识]
第9题：16；20；12
【解析】△ABC 的周长为 4+5+3=12，周长比 12:48=1:4，即相似比 k=4。所以 A'B'=4×4=16，B'C'=5×4=20，A'C'=3×4=12。[错因:方法]
第10题：B
【解析】A错，面积比等于相似比的平方；B对，对应中线是对应线段，其比等于相似比；C错，周长比等于相似比；D错，对应角平分线的比等于相似比，而面积比等于相似比的平方。[错因:理解]
第11题：8 cm
【解析】对应高的比与对应中线的比都等于同一个相似比，所以 BE:B'E'=AD:A'D'=3:4。列比例式 6B'E'=34，B'E'=6×43=8（cm）。[错因:计算]
第12题：10 cm
【解析】设较小三角形在前，相似比的平方为 16:25，开平方得相似比 4:5。对应边的比等于相似比：8a=45，a=8×54=10（cm）。注意先开平方再列比例式。[错因:方法]
第13题：27
【解析】DE//BC 得 △ADE∽△ABC，相似比 ADAB=2(2+1)=23。面积比等于相似比的平方：S△ADES△ABC=49，即 12S△ABC=49，S△ABC=12×94=27。[错因:计算]
第14题：192 m²
【解析】方法一（分别换算）：实际底边=3×800=2400 cm=24 m，实际高=2×800=1600 cm=16 m，面积=24×16÷2=192（m²）。方法二（面积比）：图上面积=3×2÷2=3（cm²），面积比等于相似比的平方，实际面积=3×800²=1920000（cm²）=192（m²）。[错因:单位]
第15题：参考：把 △ABC 各边放大 2 倍得到 △A'B'C'（对应角不变）；再分别过两个三角形的对应顶点向对应边作垂线，标出对应高。
【解析】相似比 2:1 指对应边之比为 2:1，画图时保持三个角分别相等，对应边按 2 倍画；对应高在放大图形中同样放大 2 倍，垂足位置对应。[错因:方法]
第16题：18
【解析】因为 ABCD 是平行四边形，AB=CD 且 AB//CD，所以 AE//CD。AE:CD=AE:AB=2:3。由 AE//CD 及对顶角、内错角相等，得 △AEF∽△CDF，相似比为 AE:CD=2:3。面积比等于相似比的平方：S△AEFS△CDF=49，即 8S△CDF=49，S△CDF=8×94=18。[错因:方法]
第17题：24
【解析】设较小三角形在前，相似比的平方为 9:25，开平方得相似比 3:5。周长的比等于相似比：C小/C大=35，即 C小/40=35，C小=40×35=24。检验：24:40=3:5，其平方 9:25 与面积比一致，答案正确。[错因:计算]相似比
对应线段比/周长比
面积比
1:2
1:2
1:4
2:3
2:3
4:9
3:5
3:5
9:25
k
k
k²