初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理达标测试

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理达标测试，共20页。试卷主要包含了这个猜想，聪明的你会证明吗等内容，欢迎下载使用。
一、基础训练
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S3=20．则S2=（ ）
A．5B．12C．15D．16
2．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB=5，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6B．254C．252D．25
3．我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（ ）
A．B．C．D．
4．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是（ ）
A．3B．4C．6D．9
5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（ ）
A．10B．6C．4D．2
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的面积分别为1，2，5，10.则正方形D的面积是 .
7． 如图， △ABC中，∠ACB=90°， 分别以AB， BC， AC为边长向外作正方形， 三个正方形面积分别为S1， S2， S3， 若S1=20， 则S1+S2+S3= .
8．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在Rt△ABC中，已知直角边BC=5，AC=7，则CD= ．
9．如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系?
二、巩固提升
10．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的面积分别是5和7，则正方形B白面积为（ ）
A．9B．12C．14D．35
11．第14届数学教育大会ICME−14会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若AE+BE=7,AB=5，则直角三角形ABE的面积为（ ）
A．2B．4C．5D．6
12．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有（ ）个．
A．3个B．4个C．5个D．6个
13．如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为S1，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为S2，嘉琪同学得出了以下四个结论：①S1=a2+b2+ab；②S2=c2+ab；③S1=S2；④a2+b2=c2．则其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为m、n(m>n)。若小正方形面积为3，且满足 m+n2=15则大正方形面积为（ ）
A．8B．9C．10D．11
15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边形ABCD的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为S1，S2，S3和S4，若S1=5π，S2=9π，S4=34S3，则S4的值是 ．
16．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是 ．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2）
17．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S2=6，则S1+S3的值为 ．
18．如图，分别以直角三角形ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，且AD=CD，CE=BE，AF=BF，这三个直角三角形的面积分别为S1，S2，S3，且S1=11，S2=25，则AB= ．
19．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
（1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：S阴影=______；
方法2：S阴影=______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
（2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
（3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6，b=3，求阴影部分的面积．
三、能力应用
20．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是 ．
21．
22．著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+a−b2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2．
【结论探究】
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=0.8千米，HB=0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【问题拓展】
(3)△ABC中，AC=10，BC=17，AB=21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∵S1=BC2=4,S2=AC2,S3=AB2=20，
∴S2=AC2=AB2−BC2=S3−S1=20−4=16．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可．
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：S阴影=12AC2+12BC2+12AB2=12（AB2+AC2+BC2），
∵AB2=AC2+BC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=50，
∴S阴影=12×50=25．
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，据此求解．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由图和勾股定理，得：b=c2−a2=8，
∴小正方形ABCD的边长为b−a=8−6=2，
∴小正方形ABCD的面积是22=4；
故选B．
【分析】根据勾股定理可得b=8，求出小正方形的边长，再根据正方形面积即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意，得：中间小正方形的边长=3−1=2，
∴小正方形的面积为：22=4；
故答案为：C．
【分析】由图可得小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行根据正方形面积求解即可．
6．【答案】2
【知识点】勾股树模型
【解析】【解答】解：设中间两个正方形的面积分别为x、y，正方形D的面积为z，
则由勾股定理得x=1+2=3， y=5+z，
∴3+y=3+5+z=10，
解得：z=2
即正方形D的面积为2，
故答案为：2.
【分析】分别设中间两个正方形和正方形D的面积为x，y，z，由勾股定理即可得到结论.
7．【答案】40
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵分别以AB，BC，AC为边长向外作正方形，
∴S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2．
∵∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2．
∵S1=20，
∴S1+S2+S3=AB2+BC2+AC2=2AB2=2S1=40．
故答案为：40．
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理计算即可求出．
8．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，
∴BD=AC=7，
∴CD=BD−BC=7−5=2，
故答案为：2．
【分析】
根据“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成，可得这四个直角三角形都全等。然后根据全等三角形对应边相等的性质得出AC=BD=7，最后根据线段的和差关系（CD=BD-BC），代入数值计算即可．
9．【答案】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,
∴18πAC2+18πBC2=18πAB2,
∵S1=12×π12AC2=18πAC2,
同理S2=18πBC2,S3=18πAB2,∴S1+S2=S3.
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【分析】由勾股定理求出三边之间的关系，根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
由正方形的性质得： ∠EFG =∠EGH =∠GMH=90°， EG=GH，
∵∠FEG+∠EGF =90°， ∠EGF+∠MGH= 90°，
∴∠FEG=∠MGH，
在△EFG和△GMH中，
∠EFG=∠GMH∠FEG=∠MGH,EG=GH
∴△EFG≌△GMH(AAS)，
∴FG= MH ， GM = EF ，
∴EF2=5,HM2=7,
∴正方形B的面积为 EG2=EF2+FG2=EF2+ HM2=5+7=124,
故答案为：B.
【分析】证△EFG≌ΔGMH， 推出]FG=MH， GM = EF ， 则EF2=5,HM2=7,再证 EG2=EF2+FG2=EF2+HM2,代入求出即可.
11．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵△ABE是直角三角形，AB=5，
∴AE2+BE2=AB2=25，
∵AE+BE=7，
∴AE+BE2=AE2+BE2+2AE⋅BE=72，
∴AE⋅BE=12，
∴直角三角形ABE的面积=12AE⋅BE=6，
故选：D．
【分析】根据勾股定理得出AE2+BE2=25，结合完全平方公式求出AE⋅BE=10，即可求解.
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=12+22=5，
∴①若AB=BC，则符合要求的有：C4,C5共2个点；
②若AB=AC，则符合要求的有：C1,C2,C3共3个点；
∴这样的C点有5个．
故选：C．
【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB=BC，AB=AC去分析求解即可求得答案．
13．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由勾股定理得：a2+b2=c2，
由题意得：S1=S2=a2+b2+2×12ab=a2+b2+ab=c2+ab，
故①，②，③，④正确，
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理的证明思路，核心是利用拼剪前后面积不变的原理，结合正方形和直角三角形的面积公式进行推导。首先计算S1，图1空白部分由两个边长分别为a、b的正方形和两个直角边为a、b的直角三角形组成，正方形面积分别为a2和b2，两个直角三角形面积和为2×12ab=ab，因此S1=a2+b2+ab；再计算S2，图2空白部分由一个边长为c的正方形和两个直角边为a、b的直角三角形组成，正方形面积为c2，两个直角三角形面积和仍为ab，因此S2=c2+ab；由于拼剪过程中只是改变了图形的形状，总面积保持不变，所以空白部分面积也相等，即S1=S2；结合S1和S2的表达式，可推出a2+b2=c2，因此四个结论均正确。
14．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：据题意知，小正方形的边长为（m-n），
∴（m-n）2=3，
又 m+n2=15 ，
∴m2−2mn+n2=3①m2+2mn+n2=15②
∴①+②，得2m2+2n2=18，
∴m2+n2=9，
即 大正方形面积为 9.
故答案为：B.
【分析】根据题意得（m-n）2=3，m+n2=15 ，从而得m2+n2=9.
15．【答案】6π
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设AD=d1，CD=d2，AB=d3，BC=d4，
则S1=πd128=5π，解得d12=40；
S2=πd228=9π，解得d22=72；
S3=πd428；
S4=πd328．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC2=AD2+CD2=AB2+BC2，
即d12+d22=d32+d42，
由S4=34S3，得πd328=34⋅πd428，化简得d32=34d42；
将d12=40，d22=72，d32=34d42代入d12+d22=d32+d42；
即40+72=34d42+d42，解得d42=64，则S3=π×648=8π；
∴S4=34×8π=6π；
故答案为6π．
【分析】本题考查勾股定理和半圆面积公式，由半圆面积公式表示出各边的平方，再利用“直角三角形中两直角边平方和=斜边平方，结合S4与S3关系求解.
16．【答案】a+b2=a−b2+4ab(图1) ；b2+c2=a2(图2)
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：如图1，根据矩形的面积公式得a+b2=a−b2+4ab；
故答案为：a+b2=a−b2+4ab(图1)；
如图2，12b+cb+c=2×12bc+12a2，整理得：b2+c2=a2
故答案为：b2+c2=a2(图2)．
【分析】图1中：根据大正方形面积可得(a+b)2，大正方形面积也可表示为：4个矩形面积+中间小正方形面积，则a−b2+4ab，即a+b2=a−b2+4ab；
图2中，图形面积可表示为梯形面积，则为12b+cb+c，也可表示为：三个三角形面积之和，则为2×12bc+12a2，即b2+c2=a2.​​​​​​​
17．【答案】12
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是S△，
∵S2=6，
∴S1−4S△=S3+4S△=S2=6，
∴S1+S3=S1−4S△+S3+4S△=6+6=12，
故答案为：12．
【分析】设这八个全等的直角三角形的面积都是S△，根据图形求出S1−4S△=S2=6，进一步求出S1+S3的值，即可求解.
18．【答案】12
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵△ADC为直角三角形，且AD=CD，
又∵在△ADC中，AC2=AD2+CD2，
∴AC2=2AD2，
∴AD2=12AC2，
∴S1=12AD2=12×12AC2=14AC2，
∴4S1=AC2，
同理可得：4S2=BC2，4S3=AB2，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
即4S3=4S2+4S1，
∴S3=S2+S1，
∵S1=11，S2=25，
∴S3=S2+S1=11+25=36，
∴AB2=4S3=4×36=144，
∴AB=12.
故答案为：12．
【分析】根据△ADC为直角三角形且AD=CD，可得到S1=12AD2=12×12AC2=14AC2，同理可得到4S2=BC2及4S3=AB2，在△ACB中，由勾股定理可推出：AB2=AC2+BC2，继而可得S3=S2+S1，进一步可求AB2，即可求出AB的值．
19．【答案】（1）a−b2；c2−4×12ab；c2=b2+a2
（2）解：∵S大正方形=S阴影正方形+4S△，
即a+b2=c2+4⋅12ab，
整理得a2+2ab+b2=c2+2ab，
故a2+b2=c2；
（3）解：如图，S阴影=S正方形ABCD−2S△，
∵a=6，b=3，
∴c=62+32=35，
则S正方形ABCD=c2=45，
∴S阴影=c2−2×12ab=45−6×3=27，
故阴影部分的面积为27．
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】（1）解：方法1：S阴影=a−b2；
方法2：S阴影=c2−4×12ab；
∵a−b2=c2−4×12ab，即c2=a−b2+4×12ab=b2+a2−2ab+2ab=b2+a2，
故c2=b2+a2；
根据以上信息，可以得到等式：c2=b2+a2；
故答案为：a−b2；c2−4×12ab；c2=b2+a2；
【分析】（1）用两种不同方式表示同一阴影部分的面积，通过建立等式化简推导勾股定理；
（2）用整体与部分两种方法表示大正方形的面积，通过等式化简证明勾股定理；
（3）先利用勾股定理求出斜边长度，再用正方形面积减去两个直角三角形的面积得到阴影部分面积。
（1）解：方法1：S阴影=a−b2；
方法2：S阴影=c2−4×12ab；
∵a−b2=c2−4×12ab，即c2=a−b2+4×12ab=b2+a2−2ab+2ab=b2+a2，
故c2=b2+a2；
根据以上信息，可以得到等式：c2=b2+a2；
故答案为：a−b2；c2−4×12ab；c2=b2+a2；
（2）解：∵S大正方形=S阴影正方形+4S△，
即a+b2=c2+4⋅12ab，
整理得a2+2ab+b2=c2+2ab，
故a2+b2=c2；
（3）解：如图，S阴影=S正方形ABCD−2S△，
∵a=6，b=3，
∴c=62+32=35，
则S正方形ABCD=c2=45，
∴S阴影=c2−2×12ab=45−6×3=27，
故阴影部分的面积为27．
20．【答案】72
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，
∴AB2=28，
设AE=x，
∵AE+BE=7，
∴BE=7−x，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
∴x2+7−x2=28，
∴2x2−14x=−21，
∵四边形EFGH是正方形，
∴AH∥CF，
∴∠EAP=∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE=CG，
∴△AEP≌△CGMASA，
∴S△AEP=S△CGM，EP=MG，
∴S△CFP−S△AEP=S△CFP−S△CGM=S梯形FPMG=12MG+PF·FG=12EF·FG=12S正方形EHGF，
∵S正方形EHGF=S正方形ABCD−4S△AEB=28−4×12x7−x=2x2−14x+28=−21+28=7，
则S△CFP−S△AEP的值是72；
故△CFP与△AEP的面积差为72；
故答案为：72.
【分析】根据勾股定理及正方形ABC的面积为28建立方程得出2x2-14x=-21；由正方形对边平行得AH∥CF，由二直线平行，内错角相等得∠EAP=∠GCM，由全等三角形的对应边相等得AE=CG，从而由“ASA”可证△AEP≌△CGM，则S△AEP=S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，由S正方形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEB，结合整体代入可得结论．
21．【答案】解：任务一： 49
任务二：设 DF=x cm.因为∠DFE=90°，EF=2cm，△DEF的周长为8cm，所以DE=8-2-x=(6-x) cm，由勾股定理得 EF2+DF2=DE2，即 22+ x2=6−x2，解得 x=83，即 DF=83cm，所以 DE=103cm，所以 S1=EF2=22=4cm2，S2= DF2=832=649cm2，S3=DE2=1032= 1009cm2，所以 S2+S3=649+1009=1649cm2
任务三： 93249cm2.
项目总结：钝角.
证明如下：在类型①中， S1+S2+S3=4+9+9= 22cm2;在类型②中， S1+S2+S3=4+1649= 2009cm2;在类型③中， S1+S2+S3=4+93249= 112849cm2.因为 22