北师大版（2024）八年级上册（2024）第一章 勾股定理1 探索勾股定理课后练习题

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）第一章 勾股定理1 探索勾股定理课后练习题试卷主要包含了基础训练，巩固提升，能力应用等内容，欢迎下载使用。
1．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则A'B'的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（ ）
A．9B．8C．2D．45
3．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=（ ）
A．3B．4C．5D．125
4．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（ ）
A．5B．10C．125D．245
5．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ）
A．6B．7C．10D．13
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，BC=12，根据尺规作图痕迹可知，△BPD的周长是（ ）
A．17B．18.5C．20D．25
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于12AB长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边BC于点D．若BC＝2AC＝8，则CD的长为
8．如图， 在 Rt△ABC中， ∠C=90°， 若 BC=3， AC=4， 则 AB的长是 .
9．如图，在△ABC中， ∠C=90°，以点 A为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC于点 M和点 N，再分别以点 M、N为圆心，大于 12MN的长为半径画弧，两弧交于点 P.连接 AP并延长交 BC于点 D，若 AD=5，AC=4，则点 D到直线 AB的距离是 .
10．如图，在边长为1的小正方形网格中，已知△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上).
（1） 线段AB 的长度为 ；
（2）请使用无刻度直尺在图中作△ABC的角平分线BD.
二、巩固提升
11．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，nm>n．若大正方形的面积为10，m+n2=16，则小正方形的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．42
12．如图是一个弩箭模型，箭MN 经过 BC的中点 D．已知AB=AC=17cm， AN=14cm， BC=30cm， 则DN的长为( )
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
13． 如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点B到直线AC的距离为（ ）
A．1310B．135C．1110D．115
14．如图，分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=6，S2=9，则S3= ．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=5，BD⊥AC于点D，且BD=4，则AC的长为__________．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1,S2,S3，若S2+S1−S3=36，则阴影部分的面积为 ．
17． 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E.若AC=12， BBC=16，则AE的长为 .
18．如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，AP 为伞柄，伞圈D 能沿着伞柄AP 滑动，伞骨AB=AC，E，F分别是伞骨上两个定点，且满足 AE=13AB,AF=13AC,DE=DF.
（1）求证： △ADE≅△ADF;
（2）当伞完全撑开后，点B，D，C在同一条直线上，已知AB=55cm，AD=33cm，两个身体宽度40 cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔10 cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到?
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）求CD的长．
三、能力应用
20．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E。
（1）求证：△ACE是等腰三角形。
（2）若AC=13cm，CE=24cm，求△ACE的面积。
21．在四边形ABCD中，AB=7，BC=24，CD=20，AD=15，∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∴AB=AC2+BC2=82+62=10，
∵ △ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴A'B'=AB=10.
故答案为：C
【分析】根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对应边相等.所以A'B'=AB，利用勾股定理求出AB即可.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 正方形A，B的面积为2，4，
∴没标字母的正方形的面积为：6，
∵ C的面积为：3，
∴ 正方形D的面积为：3+6=9
故答案为：A
【分析】根据勾股定理，首先得出没标字母的正方形的面积为：6，进而再根据勾股定理即可得出正方形D的面积为：3+6=9。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB为斜边，
根据勾股定理：AB=AC2+BC2=32+42=5
故答案为：C.
【分析】本题主要考查勾股定理的应用.根据题干信息判断AB为斜边，利用勾股定理直接计算即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，
斜边长为： 62+82 ＝10，
三角形的面积＝ 12 ×6×8＝24，
设斜边上的高为x，则 12 x•10＝24，
解得x＝4.8.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理算出斜边的长，进而根据三角形的面积计算方法列出方程，求解即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：斜边的长=52+122=13，
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算即可解答.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，AD 平分∠BAC，且 DP 垂直于 AB。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠DAC = ∠DAB；又因为∠C = ∠APD = 90°，AD 为公共边，所以
△ACD ≌ △APD（AAS）。
由全等三角形性质可得：AP = AC = 5，CD = PD。因此 BP = AB - AP = 13 - 5 = 8。
△BPD 的周长为 PD + DB + PB，将 PD 替换为 CD，可得：周长=CD+DB+PB=BC+PB。
代入 BC=12、PB=8，得周长=12+8=20。
故答案为：C。
【分析】先识别作图痕迹得到角平分线与垂直条件，通过证明全等三角形实现线段等量替换，再将三角形周长转化为已知线段之和，从而简化计算。
7．【答案】3
【解析】【解答】解：连接AD
由作图可得，直线MN垂直平分线段AB
∴AD=BD
∵BC=2AC=8
∴AC=4
设CD=x，则BD=AD=8-x
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=CD2+AC2
即(8-x)2=x2+42
解得：x=3
∴CD的长为3
故答案为：3
【分析】连接AD，由作图可得，直线MN垂直平分线段AB，则AD=BD，设CD=x，则BD=AD=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】5
【解析】【解答】解：∵∠C=90°， 若 BC=3， AC=4，
∴AB=BC2+AC2=5，
故答案为：5.
【分析】利用勾股定理直接求出AB的长即可.
9．【答案】3
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2，
∴CD=AD2−AC2=52−42=3，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴点D到直线AB的距离=CD=3，
故答案为：3.
【分析】先利用勾股定理求出CD的长，再利用角平分线的性质可得答案.
10．【答案】（1）5
（2）解：如图，BD即为所作；
【解析】【解答】解：AB=32+42=5，
即线段AB的长度为5，
故答案为：5．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长即可；
（2）取格点D，连接BD，根据等腰三角形的三线合一可知BD即为所作．
11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为10，
∴大正方形的边长为10，
∵直角三角形的两条直角边长分别为m，nm>n，
∴m2+n2=102=10，
∵m+n2=16，即m2+n2+2mn=16，
∴mn=12×16−m2+n2=3，
因此一个直角三角形的面积=12mn=32，四个直角三角形的面积=4×32=6，
∴小正方形的面积=大正方形面积-四个直角三角形面积=10-6=4，
故答案为：C．
【分析】本题结合条件，利用勾股定理得出m2+n2=10，然后利用完全平方公式计算得出mn=3，依据直角三角形面积计算公式得出四个直角三角形的面积为6，最后用“大正方形面积-四个直角三角形面积”代入计算即可求出小正方形的面积。
12．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点
∴BD=CD=12BC=15cm
∵AB=AC=17cm，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB=17cm，BD=15cm，
∴AD=AB2−BD2=172−152=8cm
∵AN=14cm，
∴DN=AN-AD=14-8=6(cm)
故答案为：D
【分析】根据线段中点的定义可求BD的长度，由等腰三角形的性质以及勾股定理求出AD的长度，进而可求DN.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理知AC=32+42=5，设B到AC的距离为d，
S△ABC=4×4−12×1×3−12×3×4−12×1×4=132，S△ABC=12×AC×d=132
即有12×5×d=132，得d=135.
故答案：B.
【分析】由勾股定理知AC的长，同时求出△ABC的面积，由等面积法可得S△ABC=12×AC×d=132，由此可得点B到AC的距离.
14．【答案】15
【解析】【解答】解：∵在直角△ABC中，AB2=AC2+BC2，
又∵S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，
∴S3=S1+S2=6+9=15．
故答案为：15．
【分析】根据直角三角形的三边关系AB2=AC2+BC2，从而得到S3=S1+S2=6+9=15，即可求解．
15．【答案】256
【解析】【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90∘，
∵在Rt△BDC中，BC=5，BD=4，
∴由勾股定理可知，
DC2=BC2−BD2=9，
∴DC=3，
∴同理，在Rt△ABD中，由勾股定理可知，
AB2−AD2=BD2，
∵AB=AC，
∴AD=AC−DC=AB−DC=AB−3代入得，
AB2−(AB−3)2=16，
解得，AB=AC=256，
故答案为：256．
【分析】在Rt△BCD中，利用勾股定理算出CD的长，由线段和差及等量代换得AD=AC-CD=AB-CD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出AC的长.
16．【答案】9
【解析】【解答】解：设Rt△ABC的三边为AB=a，AC=b，BC=c，
由题意得S1=a2，S3=b2，S2=c2；由勾股定理a2+b2=c2，
已知S2+S1−S3=36，即c2+a2−b2=36，整理得2a2=36，
解得a2=18，
阴影部分是一个三角形，以AB等长的边为底，高等于AB的长度，
所以阴影面积为S=12a2=12×18=9．
故答案为：9．
【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，核心是将正方形面积转化为直角三角形边长的平方。设Rt△ABC的三边为AB=a，AC=b，BC=c，根据正方形面积公式，正方形的面积等于边长的平方，因此S1=a2，S2=c2，S3=b2。由勾股定理可知a2+b2=c2，结合已知条件S2+S1−S3=36，将面积替换为边长的平方，得到c2+a2−b2=36，再代入勾股定理的关系式，化简可得2a2=36，求出a2=18。观察图形可知阴影部分是直角三角形，其面积为12a2，代入a2的值即可求出阴影部分面积。
17．【答案】10
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°
∴△ABC为直角三角形
∴AB=AC2+BC2=122+162=20
∵ AD=BD
∴△ADB是等腰三角形
∵ DE平分∠ADB
∴点E平分AB
∴AE=12AB=12×20=10
故答案为：10.
【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用等腰三角形三线合一，求出AE.
18．【答案】（1）证明：∵AB=AC,AE=13AB,AF=13AC,
∴AE=AF，
在△ADE 和△ADF 中，
AE=AFAD=ADDE=DF
∴ △ADE≌△ADF (SSS).
（2）解：如图，连接BC，
∵△ADE≌△ADF(SSS)，
∴∠EAD=∠FAD，
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∵AB=55cm，AD=33cm，
∴BD=AB2−AD2=552−332=44cm，
∴BC=2BD=88cm，
∵40×2+10=90cm>88cm，
∴他们会被垂直滴下的雨水淋到．
答：他们会被垂直滴下的雨水淋到．
【解析】【分析】（1）先根据三等分点可得AE=AF，然后根据SSS证明两个三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠EAD=∠FAD，根根据勾股定理求出BD的长度，然后利用三线合一求出BC长判断解答即可．
19．【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
∵DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED(AAS)；
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵△ACD≌△AED，
∴AE=AC=3，CD=DE，
∴BE=AB−AE=5−3=2，
设CD=DE=x，则BD=4−x，
根据勾股定理得：BD2=DE2+BE2，
∴(4−x)2=x2+22，
解得：x=32，
∴CD的长为32．
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得∠CAD=∠EAD，根据角之间的关系可得∠ACD=∠AED=90°，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AB，再根据全等三角形性质可得AE=AC=3，CD=DE，根据边之间的关系可得BE，设CD=DE=x，则BD=4−x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠AEC=∠DCE
∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∴∠ACE=∠AEC
∴ △ACE是等腰三角形
（2）解：过点A作AG⊥CE，垂足为G
∵AC=AE
∴CG=EG=12CE=12
∴AG=AC2−CG2=5
∴S△ACE=12CE·AG=60
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠AEC=∠DCE，根据角平分线定义可得∠ACE=∠DCE，则∠ACE=∠AEC，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据等腰三角形三线合一性质可得CG，再根据勾股定理可得AG，再根据三角形面积即可求出答案.
21．【答案】解：连接AC，如图，
∵AB=7，BC=24，∠B=90°，
∴由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=625，
∵CD=20，AD=15，
∴CD2+AD2=152+202=625=AC2，
∴△ACD为直角三角形，
∴S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD
=12×24×7+12×15×20
=234
【解析】【分析】连接AC，先由勾股定理得AC2=AB2+BC2=625，根据勾股定理逆定理可得CD2+AD2=AC2，则有△ACD为直角三角形，然后通过S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD，再代入即可求解．