沪科版（2024）八年级上册（2024）15.3 角的平分线表格教学设计

这是一份沪科版（2024）八年级上册（2024）15.3 角的平分线表格教学设计教案主要包含了温故，引新，探究，变式，尝试，提升等内容，欢迎下载使用。
学科
数学
年级
八
课型
新授课
单元
15
课题
15.3.2角平分线
课时
第2课时
教材分析
角平分线的教材编排通常遵循“性质-判定-应用”的逻辑主线。性质部分强调“点到角两边的距离相等”这一核心结论，判定部分则为其逆定理。教材注重通过尺规作图等实践活动引导学生发现猜想，并强调定理的符号语言表达，为后续学习轴对称、全等三角形等知识奠定基础。
学情
分析
学生在学习本节前已具备三角形全等证明、点与线距离概念等基础，但几何证明的逻辑链条构建仍是难点。他们容易混淆性质与判定定理的条件与结论，且在复杂图形中识别角平分线模型存在困难。教学中需借助直观操作化解抽象性，并通过对比辨析强化对定理内涵的理解。
核心素养目标
1.会叙述角平分线的性质及判定.
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力
教学重点
会叙述角平分线的性质及判定
教学难点
能应用这两个性质解决一些简单的实际问题
教学准备
多媒体课件
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、温故
复习提问，温故孕新
如图，P是线段AB的垂直平分线上一点，若点P到端点A的距离PA=3，则点P到端点B的距离PB是多少？你判断的依据是什么？
解：PB=3.
依据：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
学生回顾旧知，回答问题
通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新
创设情境，引入课题
如图，我们知道如何在两条公路的中间修建一座加油站，使得加油站到两条公路的距离相等.现在我们将问题进行升级，如何在三条公路的中间，选择一个地点建造加油站，使得加油站到三条公路的距离都相等.
学生思考回答问题
让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究
合作探究，活动领悟
思考
如图，OE是∠AOB的平分线，P是OE上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点C，D是垂足，PC，PD的长有什么关系吗？
PC=PD
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.
证明你的猜想.
已知：如图，OP平分∠AOB，点P是OP上的任意一点， PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.
求证：PC=PD.
证明：∵ OP 平分∠AOB
∴ ∠AOP=∠BOP
∵ PC⊥OA，PD⊥OB
∴ ∠PCO=∠PDO=90°
在△PCO和△PDO中，
∠AOP=∠BOP ∠PCO=∠PDO OP= OP
∴ △PDO≌△PEO
∴ PC=PD
归纳：
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1.应用该定理所具备的条件：（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
2.应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD= PE.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
思考：
写出下面角平分线性质定理的逆命题.这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO≌Rt△PEO中PD=PEOP=OP
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
归纳：
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
书写格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流
小组讨论，归纳
通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
四、变式
师生互动，变式深化
例 已知：如图所示，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相较于点P. 求证：AP平分∠BAC.
证明：过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，
PQ⊥AB，垂足分别为点M，N，Q.
∵ BE是∠B的平分线，点P在BE上
∴ PQ=PM
同理，PN=PM.
∴ PN=PQ
∴ AP平分∠BAC.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
归纳：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
用途：证线段相等.
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用途：判定一条射线是角平分线.
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
学生思考解答
通过例题的讲解，巩固所学知识
五、尝试
尝试练习，巩固提高
1.如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是 ( )
A.PC=PD B.OC=OD
C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC
2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为( )
A．35° B．125°
C．55° D．135°
3.如图，已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，则AD平分 .
4.如图，在△ABC 中，以点C 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC ，BC于点D ，E ，分别以点D ，E 为圆心，大于 12DE 的长为半径作弧，两弧交于点 F ；作射线CF 交AB 于点G . 若AC＝9， BC＝6，△BCG 的面积为8，则△ACG 的面积为 ⁠.
5.我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
六、提升
适时小结，兴趣延伸
回顾这节课你学到了什么？
角平分线的性质与判定
各小组思考，代表总结本节课内容
学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书
设计
作业
设计
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD=3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2.如图，D为∠ABC的平分线上一点，P为平分线上异于D的一点，PA⊥BA，PC⊥BC，垂足分别为A，C，则下列结论错误的是( )
A.AD=CD B.∠DAP=∠DCP
C.PD=BD D.∠ADB=∠BDC
3.已知△ABC的周长为20cm，角平分线AD、BE相交于点O，OP⊥AB交AB于点P，OP＝2cm，则△ABC的面积为 .
4.如图，在△ABC中，∠B＝42°， AD⊥BC于点D ， E 是BD上一点， EF⊥AB于点F . 若ED＝EF ，则∠AEC的度数为 ⁠.
5.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.
教学反思
本节课通过折纸、作图等探究活动有效激发了学生兴趣，成功突破了定理的生成过程。但部分学生在实际应用中，面对需要添加辅助线（如作垂线段）的证明题时仍显吃力。后续需设计梯度练习，加强识图、构图能力训练，并注重引导学生体会从“实验几何”到“论证几何”的思维跨越。