15.3.2角的平分线的性质与判定-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

15.3.2 角的平分线的性质与判定幻灯片 1：封面标题：15.3.2 角的平分线的性质与判定副标题：从 “等距” 到 “定位” 的几何逻辑 —— 角平分线的双重属性配图：包含角平分线性质示意图（P 在平分线上，PE=PF）、判定示意图（PE=PF，P 在平分线上）、与作图关联的验证图署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：情境导入（从作图到性质的延伸）一、作图后的疑问回顾上节课角平分线的尺规作图：作出∠AOB 的平分线 OP 后，在 OP 上任意取一点 P，过 P 作 PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F；观察与测量：用刻度尺测量 PE 和 PF 的长度，发现 PE=PF，这一现象是否具有普遍性？反向思考：若已知点 P 到∠AOB 两边的距离 PE=PF，能否确定 P 在∠AOB 的平分线上？二、生活中的性质应用洒水车沿角平分线行驶时，洒向路两侧的水量始终相等（到两边距离相等）；景区内，游客中心建在两景点连线夹角的平分线上，可使中心到两景点的距离相等（服务半径均等）；三角形的内心（三条角平分线交点）到三边距离相等，据此可确定内切圆的圆心位置。问题聚焦角平分线上的点是否都满足 “到两边距离相等”？（性质定理）到角两边距离相等的点是否一定在角的平分线上？（判定定理）如何用逻辑推理证明这两个结论，而非仅依赖测量？引出主题：本节课将深入探究角平分线的性质定理与判定定理，通过严谨证明、辨析互逆关系、结合实例应用，掌握角平分线的核心属性，为复杂几何问题解决提供工具。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能理解并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；理解并证明角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上；能熟练运用两个定理解决线段相等、点的位置判定、三角形内心等问题；关联角平分线的作图与定理，理解 “作图验证性质，性质支撑判定” 的逻辑链。过程与方法通过 “观察猜想→推理论证→归纳定理→辨析互逆→应用拓展” 的过程，培养几何推理与逻辑思维能力；经历 “从特殊到一般”“从性质到判定” 的探究，体会数学定理的严谨性与关联性。情感态度与价值观感受角平分线定理在生活与几何中的广泛应用，体会数学的实用价值；在定理证明与综合应用中，增强严谨推理的意识，提升几何解题的信心。二、教学重难点重点：角平分线的性质定理与判定定理的证明及应用；难点：定理证明中 “辅助线添加”（作垂直距离）的必要性；区分性质定理（“点在平分线上→距离相等”）与判定定理（“距离相等→点在平分线上”）的应用场景；结合角平分线定理与全等三角形、线段垂直平分线等知识解决综合问题。幻灯片 4：知识点 1—— 角平分线的性质定理（点在平分线上→距离相等）一、定理内容与符号表示1. 文字表述性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。2. 图形与符号表示已知：如图，OP 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OP 上，PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F。求证：PE=PF。3. 证明过程（全等三角形法）证明：∵ OP是∠AOB的平分线（已知），∴ ∠POE = ∠POF（角平分线的定义）。∵ PE⊥OA，PF⊥OB（已知），∴ ∠PEO = ∠PFO = 90°（垂直的定义）。在△PEO和△PFO中：$\begin{cases} ∠PEO = ∠PFO（已证）， \\ ∠POE = ∠POF（已证）， \\ OP = OP（公共边）， \end{cases}$∴ △PEO ≌ △PFO（AAS全等判定）。∴ PE = PF（全等三角形的对应边相等）。二、定理解读与关键注意“距离” 的定义：定理中的 “距离” 特指 “点到直线的垂线段长度”，非任意线段长度（需作垂直，不可直接用斜线段比较）；定理的普遍性：无论点 P 在角平分线的哪个位置（靠近顶点或远离顶点），只要在平分线上，到两边的距离就相等；定理的作用：由 “点的位置（在平分线上）” 推导出 “线段相等（距离相等）”，简化证明过程（无需再通过全等推导）。三、即时小练（基础应用）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 DE=3，则 DF=；若△ABD 的面积为 15，AB=10，则 DE=。解析：由性质定理得 DF=DE=3；△ABD 的面积 =½×AB×DE=15→½×10×DE证明点共线（如证明三角形三条角平分线交于一点，即内心）。三、与性质定理的互逆关系对比维度性质定理判定定理条件（已知）点在角的平分线上点到角的两边距离相等结论（求证）点到角的两边距离相等点在角的平分线上逻辑关系位置→数量数量→位置作用证线段相等定点的位置、证角平分线辅助线常作垂线段（距离）常连顶点与点（构造角平分线）幻灯片 6：知识点 3—— 定理的综合应用（经典题型）一、应用 1：证明三角形三条角平分线交于一点（内心性质）例题 1：求证：三角形的三条角平分线相交于一点，且该点到三边的距离相等。证明过程：证明：1. 设△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点I，过I作ID⊥BC于D，IE⊥AC于E，IF⊥AB于F；2. 由∠A的平分线性质得：IF=IE（I在∠A平分线上）； 由∠B的平分线性质得：IF=ID（I在∠B平分线上）； ∴ IF=IE=ID（等量代换）；3. 由判定定理得：I在∠C的平分线上（I到∠C两边距离ID=IE）； ∴ △ABC的三条角平分线交于点I，且I到三边距离相等。结论：该交点 I 称为三角形的内心，是三角形内切圆的圆心。二、应用 2：角平分线与全等三角形结合例题 2：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，若 BC=10，BD=6，求点 D 到 AB 的距离。解析：过 D 作 DE⊥AB 于 E（作距离，应用性质定理）；由 AD 平分∠BAC，∠C=90°（DC⊥AC），得 DE=DC（性质定理）；DC=BC-BD=10-6=4，故 DE=4；答案：4。三、应用 3：角平分线与平行线结合（构造等腰三角形）例题 3：如图，BD 平分∠ABC，DE∥BC 交 AB 于 E，求证：BE=DE。证明过程：证明：∵ BD平分∠ABC（已知），∴ ∠EBD = ∠CBD（角平分线的定义）。∵ DE∥BC（已知），∴ ∠EDB = ∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∴ ∠EBD = ∠EDB（等量代换）。∴ BE = DE（等角对等边）。规律总结：角平分线 + 平行线→等腰三角形（角平分线分得的角与平行线形成的内错角 / 同位角相等，推导出等腰）。幻灯片 7：课堂互动（分组探究与辨析）任务 1：定理辨析与纠错小组讨论：判断下列说法是否正确，并说明理由：“点 P 到∠AOB 两边的距离相等，则 P 在∠AOB 的平分线上”（×，需限定 P 在角内部，外部点也可能满足距离相等，但不在内角平分线上）；“在△ABC 中，若点 D 到 AB、AC 的距离相等，则 AD 是∠BAC 的平分线”（×，需限定 D 在 BC 上，否则 D 可能在三角形外部）；“角平分线上的点到角两边的距离相等，反之也成立”（×，反之需限定点在角内部）；成果展示：结合图形举例说明错误原因，强化 “角内部” 这一关键条件。任务 2：综合应用题解答题目：如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC，求证：∠A + ∠C = 180°。要求：小组合作分析：需作辅助线（过 D 作 DE⊥AB 延长线于 E，DF⊥BC 于 F）；应用判定定理：由 BD 平分∠ABC 得 DE=DF，结合 AD=DC 证 Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）；推导角度关系：∠DAE=∠C，由∠DAE + ∠DAB=180° 得∠C + ∠DAB=180°；派代表展示证明过程，说明定理与全等的结合思路。幻灯片 8：中考真题演练（能力提升）题目 1（2024・江苏中考）如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 平分∠BAC，BD⊥AD 于 D，交 AC 于 E，若 AB=4，则 AE=______。解析：由 AD 平分∠BAC 得∠BAD=∠EAD=30°；BD⊥AD 得∠ADB=∠ADE=90°，AD=AD，故△ABD≌△AED（ASA）；由全等得 AE=AB=4；答案：4。题目 2（2024・浙江中考）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D，DE⊥AB 于 E，若 AB=10，则△ADE 的周长为（ ）A. 8 B. 10 C. 12 D. 14解析：由 BD 平分∠ABC 得 DE=DC，BC=BE（△BCD≌△BED，HL）；△ADE 的周长 = AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE；AC=BC=BE，故周长 = BE+AE=AB=10；答案：B。题目 3（2024・广东中考）如图，已知∠AOB，点 P 在 OB 上，求作点 Q，使 Q 在 OA 上，且 PQ 平分∠AOB（保留作图痕迹，不写作法）。解析：核心思路：PQ 平分∠AOB→∠POQ=∠PQO→OQ=PQ（等腰三角形）；作图步骤：① 作∠AOB 的平分线（或直接以 P 为圆心，PO 为半径画弧，交 OA 于 Q，使 OQ=PQ）；② 标记 Q 点，PQ 即为所求；作图痕迹：角平分线或弧与 OA 的交点 Q。幻灯片 9：课堂小结知识梳理两大定理性质定理：角平分线上点→到两边距离相等（位置→数量，证线段相等）；判定定理：到两边距离相等→在角平分线上（数量→位置，定点 / 证角平分线）；关键条件性质定理：需作 “垂线段”（距离），点在平分线上；判定定理：需限定 “点在角内部”，距离为垂线段；核心应用三角形内心（三条角平分线交点，到三边距离相等）；结合全等、平行线、等腰三角形解决综合问题；与作图关联：通过尺规作图验证定理，用定理支撑作图的合理性（如作角平分线后，可通过距离相等验证）。记忆口诀角平分线有两律，性质判定要牢记；平分线上点到边，距离相等是真理；到边距离若相等，点在平分线上立；作垂线段是关键，内心性质常联系；证等用性质，定点用判定，几何应用没问题。幻灯片 10：作业布置基础题教材 PXX 练习 1-3 题（巩固定理的基础应用）；如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，EF 与 AD 交于 O，求证：AO 平分∠EOF。提升题已知△ABC 的内心为 I，∠A=70°，求∠BIC 的度数（提示：内心到三边距离相等，结合三角形内角和）；如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE=CF。拓展题探究：在角的外部，到角两边距离相等的点的轨迹是什么？（提示：角的外角平分线）；预习下节课 “第 15 章 轴对称 章末复习”，梳理本章知识框架（包含轴对称图形、垂直平分线、角平分线）。【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．学习目标 如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为 1︰20000）DCS解：作夹角的角平分线 OC，截取 OD = 2.5 cm，D 即为所求.O新课导入角平分线的性质思考 如图, OE 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OE 上的任一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD⊥OB，点 C，D 是垂足. PC、PD 的长有什么关系吗？证明你的猜想.新课讲解证明 ∵ OP平分∠AOB，（已知)∴ ∠COP=∠DOP.（角平分线的定义)又∵ PC⊥OA，PD⊥ OB ，(已知)∴∠PCO =∠PDO = 90°.（垂直的定义) 如图, OE 平分∠AOB，P 是 OE 上的任一点，PC ⊥ OA 于点 C，PD⊥OB于点 D .求证：PC = PD.∵在 △ PCO 和 △ PDO中，∠COP =∠DOP ， ( 已证 )∠PCO =∠PDO，( 已证 ) OP = OP， (公共边)∴△PCO≌△PDO. (AAS)∴ PC = PD新课讲解定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等.应用格式：∵ OP 是∠AOB 的平分线，∴ PD = PE.PD⊥OA，PE⊥OB，推理的条件有三个，必须写完全，不能少.要点归纳判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 BD ＝ CD .( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等×(2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)，所以 BD ＝CD.( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等×新课讲解例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC，∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).∴ EB = FC.例题讲解变式：如图，在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.(1) 则点 P 到 AB 的距离为_____；(2) 求 △APB 的面积.4温馨提示：存在一条垂线段 —— 构造应用解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，新课讲解1. 应用角平分线的性质：存在角平分线涉及距离问题2. 联系角平分线的性质：面积周长条件角平分线的性质方法归纳思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题. 这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等逆命题思考：这个结论正确吗？角平分线的判定新课讲解已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.证明：作射线 OP，∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上.在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，(全等三角形的对应角相等). OP = OP (公共边)，PD = PE (已知)，∵ PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO =∠PEO = 90°.∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL).∴ ∠DOP =∠EOP新课讲解角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：应用格式：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE.∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上.方法归纳例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)例题讲解方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上.解：如图所示：例题讲解OP 平分∠AOBPD⊥OA 于 DPE⊥OB 于 EPD = PEOP 平分 ∠AOBPD = PEPD⊥OA 于 DPE⊥OB 于 E角的平分线的判定角的平分线的性质新课讲解活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线相交于一点三角形的内角平分线新课讲解活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的 垂线段相等你能证明这个结论吗？新课讲解已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.∵BM 是 △ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上，∴PD = PE. 同理 PE = PF.∴PD = PE = PF.即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.D E F 证明结论：新课讲解(2) 连接 AP，求证：AP 平分∠BAC.由 (1) 得， PD = PF (已证).又∵ PD⊥AB，PF⊥AB，∴ AP 平分∠BAC(角平分线上的点到角两边的距离相等). 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D E F 新课讲解变式1：如图，在直角 △ABC 中，AC ＝ BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM ＝ 4，(1)求点 O 到 △ABC 三边的距离和.EO温馨提示：不存在垂线段 — — 构造应用12新课讲解解：连接 OC，(2)若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.EOS△ABC = S△AOB＋S△BOC＋S△AOC，新课讲解2.联系角平分线性质：距离面积周长1.应用角平分线的判定与性质：判定角平分线距离问题条件要点归纳2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 .3E1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .60BF课堂练习3. 在 Rt△ABC 中，BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于 E，则：(1) 哪条线段与 DE 相等？为什么？(2) 若 AB＝10，BC＝8，AC＝6，求 BE，AE 的长和 △AED 的周长.解：(1) DC＝DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.(2) 在 Rt△CDB 和 Rt△EDB 中，DC = DE，DB = DB，∴ Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴ BE＝BC＝8.∴ AE＝AB - BE＝2.∴△AED 的周长为AE + DE + DA＝ AE + DC + DA= AE + AC = 2 + 6＝8.6810课堂练习4. 已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP，OQ 边上取OA＝OB，点 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N. 求证：CM ＝ CN.证明：∵ OD 平分∠POQ，∴∠AOD = ∠BOD.在△AOD 与△BOD 中， OA = OB， ∠AOD =∠BOD， OD = OD，∴△AOD≌△BOD (SAS).又∵ CM⊥AD ，CN⊥BD ，∴ CM = CN.∴∠ADO =∠BDO.课堂练习5.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F，求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．证明：过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M.∵点 F 在∠BCE 的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，∴FM＝FH.∴FG＝FH.∴点 F 在∠DAE的平分线上.　　　GHMABCFED课堂练习知识点1 角平分线的性质 D  返回 C  返回（第3题） B  （第3题）  返回（第4题） 12  返回知识点2 角的平分线的判定（第5题） A  返回（第6题） A  返回易错点 因考虑问题不全面而漏解 4 返回 4（第8题）    返回角平分线的性质及判定性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等判定定理角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上重要结论三角形的角平分线相交于内部一点课堂小结必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！