初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.3 角的平分线精品课件ppt

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.3 角的平分线精品课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了角平分线的性质，∴PCPD，应用所具备的条件，定理的作用，证明线段相等，应用格式，∴PDPE，∴EBFC，存在角平分线，涉及距离问题等内容，欢迎下载使用。
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为 1︰20000）
解：作夹角的角平分线 OC，
截取 OD = 2.5 cm，D 即为所求.
思考 如图, OE 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OE 上的任一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD⊥OB，点 C，D 是垂足. PC、PD 的长有什么关系吗？证明你的猜想.
证明 ∵ OP平分∠AOB，（已知)∴ ∠COP=∠DOP.（角平分线的定义)又∵ PC⊥OA，PD⊥ OB ，(已知)∴∠PCO =∠PDO = 90°.（垂直的定义)
如图, OE 平分∠AOB，P 是 OE 上的任一点，PC ⊥ OA 于点 C，PD⊥OB于点 D .求证：PC = PD.
∵在 △ PCO 和 △ PDO中，∠COP =∠DOP ， ( 已证 )∠PCO =∠PDO，( 已证 ) OP = OP， (公共边)
∴△PCO≌△PDO. (AAS)
定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB，
推理的条件有三个，必须写完全，不能少.
判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)，
所以 BD ＝ CD .( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
(2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)，
所以 BD ＝CD.( )
例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
变式：如图，在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.(1) 则点 P 到 AB 的距离为_____；(2) 求 △APB 的面积.
温馨提示：存在一条垂线段 —— 构造应用
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
1. 应用角平分线的性质：
2. 联系角平分线的性质：
思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题. 这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
角平分线上的点到角两边的距离相等
思考：这个结论正确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
(全等三角形的对应角相等).
OP = OP (公共边)，
PD = PE (已知)，
∵ PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL).
∴ ∠DOP =∠EOP
角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE.
∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上.
例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上.
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的 垂线段相等
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是 △ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上，∴PD = PE. 同理 PE = PF.∴PD = PE = PF.即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
(2) 连接 AP，求证：AP 平分∠BAC.
由 (1) 得， PD = PF (已证).又∵ PD⊥AB，PF⊥AB，∴ AP 平分∠BAC(角平分线上的点到角两边的距离相等).
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
变式1：如图，在直角 △ABC 中，AC ＝ BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM ＝ 4，(1)求点 O 到 △ABC 三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段 — — 构造应用
(2)若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
S△ABC = S△AOB＋S△BOC＋S△AOC，
知识点1 角平分线的性质1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论不一定正确的是(　　)A.PC＝PDB.OC＝ODC.∠CPO＝∠DPOD.∠CPD＝∠DOC
3. 如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为　　.
知识点2 角的平分线的判定4.［2026东莞期末］如图，小明将两把完全相同的长方形直尺(单位：cm)放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则OC的长度是(　　)A.3 cm　　B.2 cm　　C.2.5 cm　　D.3.5 cm
5.如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，BM⊥AC于点M，ND⊥BC于点D，且AM＝NM＝ND，若∠A＝70°，则∠C的度数为　　　.
【点拨】∵BM⊥AC，∴∠AMB＝∠NMB＝90°.又∵AM＝NM，BM ＝BM，∴△ABM≌△NBM，∴∠ABM＝∠NBM.∵∠A＝70°，∴∠ABM＝90°－70°＝20°，∴∠NBM ＝20°.∵ND⊥BC，NM⊥BM，NM＝ND，∴BN平分∠MBD，∴∠DBN＝∠NBM＝20°，∴∠ABC＝60°，∴∠C＝180°－70°－60°＝50°.
6.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于F，且∠AEF＝50°，连接DE.(1)求证：DE平分∠ADC；
【证明】过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，如图所示，∵EF⊥BF，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝40°.又∵∠BAD＝100°，∴∠DAE＝180°－∠BAD－∠FAE＝40°＝∠FAE，∴AC平分∠FAD.
又∵EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG.∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH.又∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC.
(2)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，则S△ABE＝　 .
易错点 因考虑问题不全面而漏解7.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有　　处.
到三角形三边距离相等的点有1个，到三角形三边所在直线的距离相等的点共有4个(三角形外角的平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也相等).本题易因认为满足条件的点只有1处而导致漏解.
8. 如图，分别以△ABC的边AB，AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABD，ACE，连接BE，CD，BE和CD交于点F，连接AF.下列结论中不一定成立的是(　　)A.BE＝CDB.∠EFC＝90°C.AF平分∠BFCD.∠DAF＝∠DCA