初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线巩固练习

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线巩固练习，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（ ）
A．10B．15C．14D．12
2．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．两组对边分别平行D．两组对边分别相等
3．下列命题：
①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；
②全等三角形的周长相等；
③在同一个三角形中，大边对大角；
④同旁内角互补，两直线平行；
其逆命题为真命题的是（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．真命题的逆命题一定是真命题
B．两边分别平行的两个角相等
C．等角的余角相等
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．下列命题中错误的是（ ）
A．任何一个命题都有逆命题B．一个真命题的逆命题可能是真命题
C．一个定理不一定有逆定理D．任何一个定理都有逆定理
6．观察下列作图痕迹，所作线段能把三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________．
10．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______．
11．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________．
12．如图，在中，的周长为，通过尺规作图，的周长为，则________．
13．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）．
14．如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________．
三、解答题
15．如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接．
(1)吗？说明理由；
(2)若的周长为，cm，求长．
16．如图，在中，平分．
(1)作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的度数；
17．如图，在中，请用尺规作图法，在上求作一点，连接，使得最小．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为20，，求的长．
19．用无刻度直尺和圆规作图：
①画出的角平分线；
②在线段上找一点E，使得和面积相等
20．尺规作图：如图，已知和一点，请按以下要求完成作图：
(1)过点作的垂线，垂足为点；
(2)在线段上试确定一点，使得到射线，的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）．
《15.1.2 线段的垂直平分线 同步练习（附解析）》参考答案
1．D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而求出的长，最后利用三角形周长公式及线段和差关系求解即可．
【详解】解：的垂直平分线经过点且与边交于点，
垂直平分，
，，
，，
，
，
，
的周长．
2．B
【知识点】线段垂直平分线的判定
【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论.
【详解】解：连接，交于点，
∵，
∴，
∴正确，错误.
3．A
【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假
【分析】先写出每个命题的逆命题，再根据初中几何定理判断逆命题的真假，即可得到结果．
【详解】解：①原命题：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；该逆命题为真命题；
②原命题：全等三角形的周长相等；逆命题：周长相等的三角形是全等三角形；举例：边长为，，的三角形和边长为，，的三角形周长都是，但二者不全等，因此该逆命题为假命题；
③原命题：在同一个三角形中，大边对大角；逆命题：在同一个三角形中，大角对大边；该逆命题为真命题；
④原命题：同旁内角互补，两直线平行；逆命题：两直线平行，同旁内角互补；该逆命题为真命题；
综上，逆命题为真命题的是①③④，
故选：A．
4．C
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、判断命题真假、判断是否为互逆命题、平行公理的应用
【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意；
B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
C. 等角的余角相等，故该选项符合题意；
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．D
【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、定理与证明、互逆定理
【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案．
【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确；
真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假，
例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确；
只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确；
不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误．
6．A
【知识点】根据三角形中线求面积、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)
【详解】解：A．由作图可知D为中点，即所作线段能把三角形的面积分成相等的两部分；
B．由作图可知，无法判断两部分面积是否相等；
C．由作图可知平分，无法判断两部分面积是否相等；
D．由作图可知，无法判断两部分面积是否相等．
7．B
【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用
【分析】由三角形内角和定理求出的度数，由作图方法可得平分，，据此求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵在直角三角形中，，，
∴，
由作图方法可得平分，，
∴，
∴．
8．C
【知识点】求对称轴条数
【分析】按照对称轴的定义，针对每个选项的图形确定其对称轴的条数，最后选出对称轴条数最多的图形所对应的选项．
【详解】解：对于A选项：该图形有1条对称轴；
对于B选项：该图形有1条对称轴；
对于C选项：该图形有5条对称轴；
对于D选项：该图形有3条对称轴；
故图形对称轴条数最多的是5条，即C选项．
9．6
【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形三边关系的应用
【分析】连接，由垂直平分线的性质得，推出，即可求解．
【详解】解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度，
∵，
∴的最小值是．
10．16
【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定
【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵垂直于点，且为的中点，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∴的周长是．
11． 结论 条件 逆命题 逆定理
【知识点】判断是否为互逆命题、互逆定理
【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可．
【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理．
故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理．
【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
12．3
【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，列出两个三角形周长式子并作差，再用线段等量代换消去、、，化简后直接算出的长度．
【详解】解：由尺规作图痕迹可得，直线是线段的垂直平分线，
，．
的周长为，
的周长为，
，
∴．
∴，
，
13．②③
【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用
【分析】根据尺规作图判断出平分，，即可作答．
【详解】解：根据尺规作图：平分，，
∴②正确；
∵，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵无法确定是否平分，
∴无法确定，
即无法确定①，
故正确的有：②③．
14．
【知识点】画对称轴
【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键．
先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴．
【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线．
图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴；
直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴；
沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴；
因此，对称轴可以是直线．
故答案为：．
15．(1)解：，理由如下：
垂直平分，
，
，，
，
；
(2)．
【知识点】线段垂直平分线的性质、线段的和与差
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，于是结论得证；
（2）由的周长为可得，再结合，可得，即，由（1）可得，再结合，可得，于是得解．
【详解】（1）略；
（2）解：的周长为，
，
，
，
，
由（1）可得：，
又，
，
即，
长为．
16．(1)解：如图，即为所求；
(2)
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、作垂线(尺规作图)
【分析】（1）利用尺规作垂线的方法作图即可；
（2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行求解即可.
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴.
17．如图即为所求
【知识点】垂线段最短、作垂线(尺规作图)
【分析】作与交于点，根据垂线段最短可得最小；
【详解】略
18．(1)
(2)
【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质
【分析】（1）由垂直平分得，为等腰三角形，，故．由垂直平分得，为等腰三角形，为的外角，故，．
（2）由（1）得．，周长为20，，得，即，可得．
【详解】（1）解：，
∴垂直平分，
，
为等腰三角形．
，
垂直平分，
∴，
为等腰三角形，
．
，
．
（2）解：由（1）得，且，
周长
，
，即，
，即．
19．
【知识点】根据三角形中线求面积、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)
【分析】①作的角平分线；
②作的垂直平分线交于点，则和面积相等
【详解】略
20．(1)如图，直线即为所求．
(2)如图，点即为所求．
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)
【分析】（1）以为圆心，以大于点到的距离为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，以大于它们距离的为半径画弧，连接与两弧的交点所得的直线与交于点；
（2）用尺规作的角平分线，其与的交点即为所求的点，根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可知到射线，的距离相等．
【详解】（1）略
（2）略
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
B
A
C
D
A
B
C