15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时）-课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线课文内容ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了学习目标，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，互逆命题，互逆定理，当堂检测等内容，欢迎下载使用。
线段和角是轴对称图形，你能画出它们的对称轴吗？
角平分线的性质是什么？
轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线.
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
类比角的平分线，线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离的关系是什么？
探究：如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，···在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3 ，···与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？
发现：P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B，…
如果把线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B、线段 P2A 与 P2B、线段 P3A 与P3B ······都是重合的，因此它们也分别相等.
猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质.
如图，直线 l ⊥ AB，垂足为 C，AC＝BC，点 P 在 l 上. 求证：PA＝PB.
证明：当点 P 与点 C 不重合时，∵ l⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB．又 AC＝CB，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB (SAS)．∴PA＝PB．
当点 P 与点 C 重合时，显然成立.
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
几何语言：∵ PC ⊥ AB，AC＝BC，∴ PA＝PB.
作用：利用线段垂直平分线的性质证明线段相等或求线段长.
拓展：三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.
思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？
与线段两个端点距离相等的点
在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等.
命题成立吗？你会证明吗？
方法点拨：我们需要过点 P 作出一条辅助线，然后证明这条辅助线是线段 AB 的垂直平分线.注意：这条辅助线不能同时体现出垂直与平分两个性质.
已知，PA＝PB．求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：∵ PA＝PB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 .
线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
思考：分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
你还学习过其他的具有类似关系的命题吗？
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
在几何中，有许多互逆的定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.
注意：1.互逆定理都是真命题.2.一个定理一定有一个逆命题，但不一定有逆定理.3.互逆定理是一对互逆命题，但一对互逆命题不一定是一对互逆定理.