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初中数学人教版七年级上册1.2.1 有理数导学案
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这是一份初中数学人教版七年级上册1.2.1 有理数导学案，共22页。学案主要包含了知识点梳理，例题解析，综合练习题等内容，欢迎下载使用。
★【知识点梳理】
一、有理数的概念
可以写成分数形式的数称为有理数，其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数。
注意：整数可以写成分数形式，例如2=2/1，-3=-3/1。有理数包括：整数、分数、有限小数、无限循环小数。
★【例题解析】
【例1】．在数 ，，，，，，（每两个 中依次多一个 ）中，有理数有（ ）
A． 个B． 个C． 个D． 个
二、有理数的分类
正整数
整数 0
负整数
有理数 正分数
分数
负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数 0
负整数
负有理数
负分数
【例题解析】
【例1】．下列说法中正确的是（ ）
A．没有最小的有理数B．既是正数也是负数
C．整数只包括正整数和负整数D．是最小的负整数
【例2】．①请写出最大的负整数： ．
②最小的自然数是： ．
③最小的正整数是： ．
④最大的非正整数是： ．
⑤最小的非负整数是： ．
【例3】．判断下列语句是否正确
①有最小的正数（ ）
②有最大的负数（ ）
③0是最小的正数（ ）
④0是最小的整数（ ）
⑤一个整数不是正整数就是负整数（ ）
⑥一个有理数不是正数就是负数（ ）
⑦一个有理数不是整数就是分数（ ）
⑧带正号的就是正数，带负号的就是负数（ ）
【例4】．把下列各数分别填在相应的横线上：
1，，，325，，0，，0.618，，π，0.1010010001…．
负数有： ；
非正数有： ；
负整数有： ；
非负数有： ；
负分数有： ；
非负整数有： ．
【例5】．(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
，，0，，，，，，
(2)图中A区表示 数集，B区表示 数集．
【例6】观察下列各组数，研究每组数的变化规律，并写出后两个数：
（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ．
（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16， ， ．
（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0， ， ．
【综合练习题】
1．下列各数：中，有理数有 个．
2．把下列各数填在相应的大括号里：
，，，，，，，，，．
整数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
负分数集合：{ …}
3．简答：
（1）-1和0之间还有负数吗？如有，请列举．
（2）-3和-1之间有负整数吗？-2和2之间有哪些整数？
（3）有比-1大的负整数吗？有比1小的正整数吗？
（4）写出三个大于-105小于-100的有理数．
（5）如果把一个物体向右移动5m记作移动-5m，那么这个物体又移动+5m是什么意思？这时物体离它两次移动前的位置多远？
4．我们用字母表示一个有理数，试判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例．
(1)一定表示正数，一定表示负数；
(2)如果是零，那么就是负数；
(3)若是正数，则一定为非正数．
5．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置．
6．下列各数：中，有理数有 个．
7．（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别
是 ， ， ；
（2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是 ．
1.2.2数轴
★【知识点梳理】
1.数轴的概念：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
2.数轴满足以下要求（数轴三要素）：
（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。
（3）选取适当的长度为单位长度。
★【例题解析】
【例1】．关于数轴下列作法最准确的是（ ）
A．B．
C． D．
【例2】．下列说法中正确的是（ ）
A．规定了原点、正方向的直线是数轴
B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数
C．数轴上单位长度可以不一致
D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点
【例3】．如图，数轴上点P表示的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
【例4】.如图所示，指出数轴上A,B,C,D,E,F各点分别表示的数：
【例5】．写出下列各数，并将这些数在数轴上表示出来，用“<”把下列各数连接起来．
，，，，7，．
【例6】．点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移2个单位长度到点，则点所表示的数为（ ）
A．3B．C．或D．或7
【例7】．在数轴上，到和两个点的距离相等的点所表示的数为 .
【例8】．在数轴上与的距离等于5个单位长度的点所表示的数是（ ）
A．6B．或6C．D．4或
【例9】.数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为2024厘米的线段AB，则线段AB能盖住的整点的个数是（ ）
A.2024个 B.2023个 C.2023个或2024个 D. 2024个或2025个
【例10】.数轴上乌龟距离原点2个单位长度，小白兔距离原点3个单位长度，则乌龟与小白兔的距离为多少？
【例11】．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m处．商场在学校西200m处，医院在学校东500m处．若将马路近似地看做一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．
(1)请画出数轴，并在数轴上表示出四家公共场所的位置．
(2)列式计算青少年宫与商场之间的距离．
【综合练习题】
1．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．数轴上点P表示的数为，与点P距离为4个单位长度的点表示的数为（ ）
A．1B．C．1或D．1或7
3．在数轴上，表示哪个数的点与表示和2的点的距离相等？（ ）
A．B．4C．D．原点
4．小明发现一个被墨水污染的数轴，如图所示，被墨迹盖住部分的整数共有 个．
5．在数轴上，点所表示的数为，那么在数轴上与点相距个单位长度的点表示的数是 ．
6．数轴上，与原点距离为2个单位长度的点表示的数是 ．
7．点A为数轴上一点，把点A先向左移3个单位，再向右移5个单位后对应的数是．则点A到原点的距离是 ．
48．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接起来．
，，0，，，4．
8．如图，数轴上有三个点A，B，C，完成下列问题．
(1)A点表示的数是__________，B点表示的数是___________，C点表示的数是__________．
(2)将点B向右移动5个单位长度到点D，D点表示的数是___________．
(3)在数轴上找点E，使点E到B，C两点距离相等，E点表示的数是___________．
9．南山公园海狮馆为迎接“十一”黄金周，训练海狮做不同的游戏．海狮从某点O出发在一条直线上来回爬动．假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行记为负数，爬行的路程依次为（单位米）：
+4，-3，+7，-8，+5，-11，+10，-2.
(1)海狮最后能否回到出发点O？在什么位置？
(2)海狮离出发点O最远是多少米？
(3)在爬行的过程中，海狮每爬行6米，驯兽员奖励海狮一条小鱼，则海狮共获得多少条小鱼？
10．下表是某水库管理人员记录的雨季一周内水位高低的变化情况：（上周末的水位达到警戒水位，用正数表示水位比前一天上升数，用负数表示水位比前一天下降数，警戒水位为72.5米）
(1)本周哪一天的水位最高？哪一天的水位最低？与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周相比，本周末的水位是上升了还是下降了？为多少米？
1.2.3相反数
【思考】
在数轴上与原点距离是3的点有几个？这些点表示哪个数？
★【知识点梳理】
1.相反数的定义：
像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，a和-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.
2.相反数的性质：
（1）a、b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0则 a、b互为相反数。
（2）一个有理数有且只有一个相反数。
（3）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
3.相反数的几何意义：
一般地，在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点两侧，并且到原点的距离相等。
★【例题解析】
【例1】．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【例2】．下面说法正确的有（ ）
①的相反数是；②符号相反的数互为相反数；③的相反数是3.8；④一个数和它的相反数不可能相等；⑤正数与负数互为相反数．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【例3】．在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A表示的数为5，则点B表示的数是（ ）
A．B．C．5D．
【例4】．如图，数轴上有，，，四个点，其中表示互为相反数的点是（ ）
A．点和点B．点和点C．点和点D．点和点
【例5】．化简下列各对数，并指出哪些互为相反数：
(1)与；
(2)与；
(3)与；
(4)与．
【例6】．设与互为相反数，则 ．
【例7】．若a与互为相反数，则a的值为 ．
【例8】．若，为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，那么，，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【例9】．如图，数轴上的点分别表示实数，则 0（填写“>”、“<”或“=”）．
【综合练习题】
1．下列各组数中的两个数，互为相反数的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
2．下列各组有理数比较大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．化简下列各数:
(1)-[-(-2)]；
(2)-{[+(-3)]}.
(3)-[+(-1)]；
(4)+[-(+7)]；
(5)-{-[-（-│-3│）}
(6)-{+[-（+3）]}
4．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．化简的结果是 ．
7．若，a的相反数为 ，若与互为相反数，则a为
8．已知下列有理数：，4．
(1)在给定的数轴上表示这些数．
(2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数．
9．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则从大到小的顺序为 ．
1.2.4绝对值
★【知识点梳理】
1.绝对值的定义：
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
2.由绝对值的定义可知：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即：
如果a>0，那么|a|=a
如果a=0，那么|a|=0
如果a<0，那么|a|=-a
★【例题解析】
【例1】判断
（1）绝对值等于本身的数是正数（ ）
（2）1是绝对值是最小的有理数（ ）
（3）存在绝对值最小的有理数（ ）
（4）一个数的相反数一定比它本身小（ ）
（5）绝对值等于本身的数是正数（ ）
（6）互为相反数的两个数的绝对值相等（ ）
（7）若｜m|＞m，则m＜0（ ）
(8) 若|a|＞|b|，则a＞b（ ）
（9）一个数的绝对值一定比0大
【例2】．下列说法正确的是（ ）
A．如果，那么一定是0
B．如果，那么一定是3
C．3和8之间有4个正数
D．和0之间没有负数了
【例3】．若一个数的绝对值等于，则这个数是 ．
【例4】．数轴上，到原点的距离是3的点表示的数是（ ）
A．3B．C．D．以上均不对
【例5】．的相反数是（ ）
A．3B．C．D．
【例6】．若，那么 ．
【例7】．的绝对值是 ．
【例8】．已知|x+2|=1，则x=
【例9】．已知a＜1，则 ．
【例10】．|x| = |-2019| ,x= ．
【例11．已知a=-5 , |a|=|b|，则b的值为 .
【例12】．若，a一定是（ ）
A．正数B．非正数C．负数D．非负数
【例13】．在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．无数个
【例14】．如果，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例15】．如果a是有理数，那么的最小值是 ．
【例16】．在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是 ．
【例17】．如果|a＋3|＋（b﹣2）2＝0，那么代数式（a＋b）2021的值是 ．
【例18】．当式子|x+1|+|x﹣6|取得最小值时，x的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜6B．﹣1≤x≤6C．x=﹣1或x=6D．﹣1＜x≤6
【例19】．写出所有绝对值大于2而小于5的整数
【例20】．若|x|＝2，|y|＝3．且x、y异号，则x-y的值为（ ）
A．5B．5或-5C．1D．1或﹣1
【例21】．已知有以下结论：①一定互为相反数；②③④其中正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例22】．一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）
A．B．C．D．
【例23】．已知，则的值为 ．
【例24】．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定
【例25】．如图，已知在数轴上的位置．
（1） 0， 0填（“>”或“<”）
（2）化简： ．
【例26】．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地.约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．
(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向?距离A地多少千米？
(2)求冲锋舟在当天救灾过程中，共航行了多少千米？
(3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中，至少还需补充多少升油？
【例27】．某次数学单元检测，708班1小组六名同学计划平均成绩达到80分，组长在登记成绩时，以80分为基准，超过80分的分数记为正，不足80分的分数记为负，成绩记录如下：
，，，，，．
(1)本次检测成绩最好的为多少分？
(2)该小组实际总成绩与计划相比是超过还是不足，超过或不足多少分？
(3)本次检测小组成员中得分最高与最低相差多少分？
【例28】．如图，点表示的数是．
(1)在数轴上表示出原点；
(2)点表示的数是______；
(3)将点向左移动3个单位长度到点，那么点表示的数是______；
(4)在数轴上找点，使点到、两点的距离相等，那么点表示的数是______；
(5)点在数轴上，与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数是______．
【例29】．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：
(1)请你根据图中两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：_________ ：_________；
(2)观察数轴，与原点距离为的点表示的数是_________；
(3)若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得点与表示的点重合，回答以下问题：
点与数_________表示的点重合；
若数轴上两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示的数是_________，点表示的数是_________．
【综合练习题】
1．在数轴上表示-6的点与原点的距离是（ ）
A．12B．6C．6D．-6
2．数轴上点A到原点的距离是4，则点A表示的数是（ ）
A．4B．2或－2C．4或－4D．8或－8
3．绝对值等于它本身的数是（ ）
A．零B．负数C．正数 D．正数和零
4．已知|x|＝3，|y|＝2，且xy﹤0，则x＋y的值等于（ ）
A．5或－5B．1或－1C．5或1D．－5或－1
5．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，从轻重的角度看，最接近标准的工件是（ ）
A．－2B．－3C．3D．5
6．已知，则 .
7．若，则 ．
8．若与互为相反数，则 ．
9．x是有理数，则的最小值是 ．
10．化简： ．
11．同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索：
(1)表示数轴上数8与数______两点间的距离；
(2)表示数轴上数与数______两点间的距离；
(3)表示数轴上数与数______的距离和数与数______的距离的和；
(4)满足的所有整数的值是______．
12．如图，数轴上的三点，，分别表示有理数，，，化简 .
13．已知有理数，，则化简 ．
14．若，则 ．
15．若，则 ．
16．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题．
(1)A、B、C三点分别表示___________、___________、___________；
(2)将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是___________；
(3)数轴上表示与原点的距离为4个单位长度的点为___________．
(4)若a，b，c三数在数轴上对应的点分别为A，B，C．请化简
17．张明和同学共买了6袋标准质量为的食品，他们对这6袋食品的实际质量进行了检测，检测结果（用正数记录超过标准质量的克数，用负数记录不足标准质量的克数，单位：）如下：
哪袋食品的质量更标准？为什么？
18．南昆铁路养护小组乘车沿东西向铁路巡视维护．某天早晨从地出发，最后收工时到达地．约定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．
(1)问地在地的哪个方向？它们相距多少千米？
(2)若汽车行驶每千米耗油0.05升，求该天共耗油多少升？
19．某登山队在登上海拔5050m的大本营以后，向顶峰攀登，第一天攀登了550m，由于有险情，第二天回到海拔5450m，第三天攀登了300m，距顶峰还有428m，问：
(1)第二天攀登了多少米？
(2)顶峰的高度是海拔多少米？
20．一辆治安巡逻车在一条东西方向的公路上巡逻．规定向东为正，向西为负，某一时段的行程如下（单位：千米）：
(1)这个时间段巡逻结束时，车头朝________（填“东”或“西”）．
(2)这个时间段巡逻结束时，巡逻车离出发地多远（通过计算说明）？
(3)已知巡逻车的耗油量为升/千米，油价为元/升，求巡逻车这个时间段巡逻共花油钱多少元？
21．山西沁州黄小米，中国国家地理标志产品，山西沁县特产．现有袋沁州黄小米，以每袋千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：
(1)你认为哪一袋沁州黄小米的质量更接近于基准的质量？请用绝对值的知识，通过计算加以说明；
(2)将上述各数表示在如图所示的数轴上，并用“”号连接起来；
(3)问这袋沁州黄小米总共重多少千克？
日期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化（米）
第1袋
第2袋
第3袋
第4袋
第5袋
第6袋
序号
超过或不足数
1.2.5有理数的大小比较
★【知识点梳理】
有理数的大小比较
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
（2）两个负数，绝对值大的反而小。
★【例题解析】
【例1】．在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
【例2】．下列有理数大小关系判断正硧的是（ ）
A．B．C．D．
【例3】．比较大小： ．
【例4】．比较大小： （填“”或“”）．
【例5】．若a，b为有理数，，，且，那么a，b，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【例6】．设是有理数，若，则（ ）
A．为正数B．为负数C．为非正数D．为非负数
【例7】．已知有理数，，，且．
（1）如图，在数轴上将、、三个数填在相应的括号中；
（2）判断下列各式的正负：，，，
（3）化简：．
【综合练习题】
1．用“＜”“=”或“＞”填空：
（1） ；
（2） ．
2．绝对值大于1.5且小于4.5的整数共有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．aB．C．D．
4．两个有理数，表示在数轴上如图所示，则有理数，，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，点A表示的有理数是x，则x，，1的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．若xy>0，则＋＋的值为（ ）
A．3 或1B．-1 或0C．3或-1D．-3或1
7．数a的位置如图，则|a﹣4|＝ ．
8．若，把a ，b ，-a，-b按由小到大的顺序排列 ．
★【知识点梳理】
一、有理数的概念
可以写成分数形式的数称为有理数，其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数。
注意：整数可以写成分数形式，例如2=2/1，-3=-3/1。有理数包括：整数、分数、有限小数、无限循环小数。
★【例题解析】
【例1】．在数 ，，，，，，（每两个 中依次多一个 ）中，有理数有（ ）
A． 个B． 个C． 个D． 个
二、有理数的分类
正整数
整数 0
负整数
有理数 正分数
分数
负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数 0
负整数
负有理数
负分数
【例题解析】
【例1】．下列说法中正确的是（ ）
A．没有最小的有理数B．既是正数也是负数
C．整数只包括正整数和负整数D．是最小的负整数
【例2】．①请写出最大的负整数： ．
②最小的自然数是： ．
③最小的正整数是： ．
④最大的非正整数是： ．
⑤最小的非负整数是： ．
【例3】．判断下列语句是否正确
①有最小的正数（ ）
②有最大的负数（ ）
③0是最小的正数（ ）
④0是最小的整数（ ）
⑤一个整数不是正整数就是负整数（ ）
⑥一个有理数不是正数就是负数（ ）
⑦一个有理数不是整数就是分数（ ）
⑧带正号的就是正数，带负号的就是负数（ ）
【例4】．把下列各数分别填在相应的横线上：
1，，，325，，0，，0.618，，π，0.1010010001…．
负数有： ；
非正数有： ；
负整数有： ；
非负数有： ；
负分数有： ；
非负整数有： ．
【例5】．(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
，，0，，，，，，
(2)图中A区表示 数集，B区表示 数集．
【例6】观察下列各组数，研究每组数的变化规律，并写出后两个数：
（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ．
（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16， ， ．
（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0， ， ．
【综合练习题】
1．下列各数：中，有理数有 个．
2．把下列各数填在相应的大括号里：
，，，，，，，，，．
整数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
负分数集合：{ …}
3．简答：
（1）-1和0之间还有负数吗？如有，请列举．
（2）-3和-1之间有负整数吗？-2和2之间有哪些整数？
（3）有比-1大的负整数吗？有比1小的正整数吗？
（4）写出三个大于-105小于-100的有理数．
（5）如果把一个物体向右移动5m记作移动-5m，那么这个物体又移动+5m是什么意思？这时物体离它两次移动前的位置多远？
4．我们用字母表示一个有理数，试判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例．
(1)一定表示正数，一定表示负数；
(2)如果是零，那么就是负数；
(3)若是正数，则一定为非正数．
5．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置．
6．下列各数：中，有理数有 个．
7．（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别
是 ， ， ；
（2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是 ．
1.2.2数轴
★【知识点梳理】
1.数轴的概念：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
2.数轴满足以下要求（数轴三要素）：
（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。
（3）选取适当的长度为单位长度。
★【例题解析】
【例1】．关于数轴下列作法最准确的是（ ）
A．B．
C． D．
【例2】．下列说法中正确的是（ ）
A．规定了原点、正方向的直线是数轴
B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数
C．数轴上单位长度可以不一致
D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点
【例3】．如图，数轴上点P表示的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
【例4】.如图所示，指出数轴上A,B,C,D,E,F各点分别表示的数：
【例5】．写出下列各数，并将这些数在数轴上表示出来，用“<”把下列各数连接起来．
，，，，7，．
【例6】．点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移2个单位长度到点，则点所表示的数为（ ）
A．3B．C．或D．或7
【例7】．在数轴上，到和两个点的距离相等的点所表示的数为 .
【例8】．在数轴上与的距离等于5个单位长度的点所表示的数是（ ）
A．6B．或6C．D．4或
【例9】.数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为2024厘米的线段AB，则线段AB能盖住的整点的个数是（ ）
A.2024个 B.2023个 C.2023个或2024个 D. 2024个或2025个
【例10】.数轴上乌龟距离原点2个单位长度，小白兔距离原点3个单位长度，则乌龟与小白兔的距离为多少？
【例11】．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m处．商场在学校西200m处，医院在学校东500m处．若将马路近似地看做一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．
(1)请画出数轴，并在数轴上表示出四家公共场所的位置．
(2)列式计算青少年宫与商场之间的距离．
【综合练习题】
1．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．数轴上点P表示的数为，与点P距离为4个单位长度的点表示的数为（ ）
A．1B．C．1或D．1或7
3．在数轴上，表示哪个数的点与表示和2的点的距离相等？（ ）
A．B．4C．D．原点
4．小明发现一个被墨水污染的数轴，如图所示，被墨迹盖住部分的整数共有 个．
5．在数轴上，点所表示的数为，那么在数轴上与点相距个单位长度的点表示的数是 ．
6．数轴上，与原点距离为2个单位长度的点表示的数是 ．
7．点A为数轴上一点，把点A先向左移3个单位，再向右移5个单位后对应的数是．则点A到原点的距离是 ．
48．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接起来．
，，0，，，4．
8．如图，数轴上有三个点A，B，C，完成下列问题．
(1)A点表示的数是__________，B点表示的数是___________，C点表示的数是__________．
(2)将点B向右移动5个单位长度到点D，D点表示的数是___________．
(3)在数轴上找点E，使点E到B，C两点距离相等，E点表示的数是___________．
9．南山公园海狮馆为迎接“十一”黄金周，训练海狮做不同的游戏．海狮从某点O出发在一条直线上来回爬动．假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行记为负数，爬行的路程依次为（单位米）：
+4，-3，+7，-8，+5，-11，+10，-2.
(1)海狮最后能否回到出发点O？在什么位置？
(2)海狮离出发点O最远是多少米？
(3)在爬行的过程中，海狮每爬行6米，驯兽员奖励海狮一条小鱼，则海狮共获得多少条小鱼？
10．下表是某水库管理人员记录的雨季一周内水位高低的变化情况：（上周末的水位达到警戒水位，用正数表示水位比前一天上升数，用负数表示水位比前一天下降数，警戒水位为72.5米）
(1)本周哪一天的水位最高？哪一天的水位最低？与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周相比，本周末的水位是上升了还是下降了？为多少米？
1.2.3相反数
【思考】
在数轴上与原点距离是3的点有几个？这些点表示哪个数？
★【知识点梳理】
1.相反数的定义：
像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，a和-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.
2.相反数的性质：
（1）a、b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0则 a、b互为相反数。
（2）一个有理数有且只有一个相反数。
（3）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
3.相反数的几何意义：
一般地，在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点两侧，并且到原点的距离相等。
★【例题解析】
【例1】．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【例2】．下面说法正确的有（ ）
①的相反数是；②符号相反的数互为相反数；③的相反数是3.8；④一个数和它的相反数不可能相等；⑤正数与负数互为相反数．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【例3】．在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A表示的数为5，则点B表示的数是（ ）
A．B．C．5D．
【例4】．如图，数轴上有，，，四个点，其中表示互为相反数的点是（ ）
A．点和点B．点和点C．点和点D．点和点
【例5】．化简下列各对数，并指出哪些互为相反数：
(1)与；
(2)与；
(3)与；
(4)与．
【例6】．设与互为相反数，则 ．
【例7】．若a与互为相反数，则a的值为 ．
【例8】．若，为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，那么，，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【例9】．如图，数轴上的点分别表示实数，则 0（填写“>”、“<”或“=”）．
【综合练习题】
1．下列各组数中的两个数，互为相反数的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
2．下列各组有理数比较大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．化简下列各数:
(1)-[-(-2)]；
(2)-{[+(-3)]}.
(3)-[+(-1)]；
(4)+[-(+7)]；
(5)-{-[-（-│-3│）}
(6)-{+[-（+3）]}
4．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．化简的结果是 ．
7．若，a的相反数为 ，若与互为相反数，则a为
8．已知下列有理数：，4．
(1)在给定的数轴上表示这些数．
(2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数．
9．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则从大到小的顺序为 ．
1.2.4绝对值
★【知识点梳理】
1.绝对值的定义：
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
2.由绝对值的定义可知：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即：
如果a>0，那么|a|=a
如果a=0，那么|a|=0
如果a<0，那么|a|=-a
★【例题解析】
【例1】判断
（1）绝对值等于本身的数是正数（ ）
（2）1是绝对值是最小的有理数（ ）
（3）存在绝对值最小的有理数（ ）
（4）一个数的相反数一定比它本身小（ ）
（5）绝对值等于本身的数是正数（ ）
（6）互为相反数的两个数的绝对值相等（ ）
（7）若｜m|＞m，则m＜0（ ）
(8) 若|a|＞|b|，则a＞b（ ）
（9）一个数的绝对值一定比0大
【例2】．下列说法正确的是（ ）
A．如果，那么一定是0
B．如果，那么一定是3
C．3和8之间有4个正数
D．和0之间没有负数了
【例3】．若一个数的绝对值等于，则这个数是 ．
【例4】．数轴上，到原点的距离是3的点表示的数是（ ）
A．3B．C．D．以上均不对
【例5】．的相反数是（ ）
A．3B．C．D．
【例6】．若，那么 ．
【例7】．的绝对值是 ．
【例8】．已知|x+2|=1，则x=
【例9】．已知a＜1，则 ．
【例10】．|x| = |-2019| ,x= ．
【例11．已知a=-5 , |a|=|b|，则b的值为 .
【例12】．若，a一定是（ ）
A．正数B．非正数C．负数D．非负数
【例13】．在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．无数个
【例14】．如果，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例15】．如果a是有理数，那么的最小值是 ．
【例16】．在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是 ．
【例17】．如果|a＋3|＋（b﹣2）2＝0，那么代数式（a＋b）2021的值是 ．
【例18】．当式子|x+1|+|x﹣6|取得最小值时，x的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜6B．﹣1≤x≤6C．x=﹣1或x=6D．﹣1＜x≤6
【例19】．写出所有绝对值大于2而小于5的整数
【例20】．若|x|＝2，|y|＝3．且x、y异号，则x-y的值为（ ）
A．5B．5或-5C．1D．1或﹣1
【例21】．已知有以下结论：①一定互为相反数；②③④其中正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例22】．一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）
A．B．C．D．
【例23】．已知，则的值为 ．
【例24】．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定
【例25】．如图，已知在数轴上的位置．
（1） 0， 0填（“>”或“<”）
（2）化简： ．
【例26】．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地.约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．
(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向?距离A地多少千米？
(2)求冲锋舟在当天救灾过程中，共航行了多少千米？
(3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中，至少还需补充多少升油？
【例27】．某次数学单元检测，708班1小组六名同学计划平均成绩达到80分，组长在登记成绩时，以80分为基准，超过80分的分数记为正，不足80分的分数记为负，成绩记录如下：
，，，，，．
(1)本次检测成绩最好的为多少分？
(2)该小组实际总成绩与计划相比是超过还是不足，超过或不足多少分？
(3)本次检测小组成员中得分最高与最低相差多少分？
【例28】．如图，点表示的数是．
(1)在数轴上表示出原点；
(2)点表示的数是______；
(3)将点向左移动3个单位长度到点，那么点表示的数是______；
(4)在数轴上找点，使点到、两点的距离相等，那么点表示的数是______；
(5)点在数轴上，与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数是______．
【例29】．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：
(1)请你根据图中两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：_________ ：_________；
(2)观察数轴，与原点距离为的点表示的数是_________；
(3)若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得点与表示的点重合，回答以下问题：
点与数_________表示的点重合；
若数轴上两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示的数是_________，点表示的数是_________．
【综合练习题】
1．在数轴上表示-6的点与原点的距离是（ ）
A．12B．6C．6D．-6
2．数轴上点A到原点的距离是4，则点A表示的数是（ ）
A．4B．2或－2C．4或－4D．8或－8
3．绝对值等于它本身的数是（ ）
A．零B．负数C．正数 D．正数和零
4．已知|x|＝3，|y|＝2，且xy﹤0，则x＋y的值等于（ ）
A．5或－5B．1或－1C．5或1D．－5或－1
5．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，从轻重的角度看，最接近标准的工件是（ ）
A．－2B．－3C．3D．5
6．已知，则 .
7．若，则 ．
8．若与互为相反数，则 ．
9．x是有理数，则的最小值是 ．
10．化简： ．
11．同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索：
(1)表示数轴上数8与数______两点间的距离；
(2)表示数轴上数与数______两点间的距离；
(3)表示数轴上数与数______的距离和数与数______的距离的和；
(4)满足的所有整数的值是______．
12．如图，数轴上的三点，，分别表示有理数，，，化简 .
13．已知有理数，，则化简 ．
14．若，则 ．
15．若，则 ．
16．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题．
(1)A、B、C三点分别表示___________、___________、___________；
(2)将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是___________；
(3)数轴上表示与原点的距离为4个单位长度的点为___________．
(4)若a，b，c三数在数轴上对应的点分别为A，B，C．请化简
17．张明和同学共买了6袋标准质量为的食品，他们对这6袋食品的实际质量进行了检测，检测结果（用正数记录超过标准质量的克数，用负数记录不足标准质量的克数，单位：）如下：
哪袋食品的质量更标准？为什么？
18．南昆铁路养护小组乘车沿东西向铁路巡视维护．某天早晨从地出发，最后收工时到达地．约定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．
(1)问地在地的哪个方向？它们相距多少千米？
(2)若汽车行驶每千米耗油0.05升，求该天共耗油多少升？
19．某登山队在登上海拔5050m的大本营以后，向顶峰攀登，第一天攀登了550m，由于有险情，第二天回到海拔5450m，第三天攀登了300m，距顶峰还有428m，问：
(1)第二天攀登了多少米？
(2)顶峰的高度是海拔多少米？
20．一辆治安巡逻车在一条东西方向的公路上巡逻．规定向东为正，向西为负，某一时段的行程如下（单位：千米）：
(1)这个时间段巡逻结束时，车头朝________（填“东”或“西”）．
(2)这个时间段巡逻结束时，巡逻车离出发地多远（通过计算说明）？
(3)已知巡逻车的耗油量为升/千米，油价为元/升，求巡逻车这个时间段巡逻共花油钱多少元？
21．山西沁州黄小米，中国国家地理标志产品，山西沁县特产．现有袋沁州黄小米，以每袋千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：
(1)你认为哪一袋沁州黄小米的质量更接近于基准的质量？请用绝对值的知识，通过计算加以说明；
(2)将上述各数表示在如图所示的数轴上，并用“”号连接起来；
(3)问这袋沁州黄小米总共重多少千克？
日期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化（米）
第1袋
第2袋
第3袋
第4袋
第5袋
第6袋
序号
超过或不足数
1.2.5有理数的大小比较
★【知识点梳理】
有理数的大小比较
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
（2）两个负数，绝对值大的反而小。
★【例题解析】
【例1】．在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
【例2】．下列有理数大小关系判断正硧的是（ ）
A．B．C．D．
【例3】．比较大小： ．
【例4】．比较大小： （填“”或“”）．
【例5】．若a，b为有理数，，，且，那么a，b，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【例6】．设是有理数，若，则（ ）
A．为正数B．为负数C．为非正数D．为非负数
【例7】．已知有理数，，，且．
（1）如图，在数轴上将、、三个数填在相应的括号中；
（2）判断下列各式的正负：，，，
（3）化简：．
【综合练习题】
1．用“＜”“=”或“＞”填空：
（1） ；
（2） ．
2．绝对值大于1.5且小于4.5的整数共有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．aB．C．D．
4．两个有理数，表示在数轴上如图所示，则有理数，，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，点A表示的有理数是x，则x，，1的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．若xy>0，则＋＋的值为（ ）
A．3 或1B．-1 或0C．3或-1D．-3或1
7．数a的位置如图，则|a﹣4|＝ ．
8．若，把a ，b ，-a，-b按由小到大的顺序排列 ．
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