数学九年级上册22.3 实践与探索第2课时学案

第22章  一元二次方程

22.3 实践与探索

第2课时 利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题

学习目标：

1.学会用一元二次方程解决平均变化率和利润问题（重点）；

2.从实际结合问题中抽象出数学模型（难点）.

                        自主学习

一、新知预习

1.列方程

随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高，汽车已将越来越多的进入普通家庭，某市交通部门统计，2017年底，该市汽车保有量为15万辆，截止到2019年底，汽车保有量已经达到21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增加率相同，设这个增长率为x.根据题意，可列出方程_____________.

2.填空：

   （1）某商品每件进价10元，售价15元，每件可得利润__________元.

      ①若涨价2元，则售价___________元, 每件可得利润为___________元；

②若涨价x元，则售价___________元, 每件可得利润为___________元.

  （2） 某商品原来每天可销售100件，后来进行价格调整,市场调查发现：

     若该商品每降价1元，则该商品平均每天可多销售2件.

      ①如果降价2元，那么多卖______件，每天销售量为_______件；

      ②如果降价x元，那么多卖______件，每天销售量为_______件.

   （3）若该商品每涨价3元，则该商品平均每天少销售5件.

      ①如果涨价6元，那么少卖______件，每天销售量为________件；

      ②如果涨价x元，那么少卖_______件，每天销售量为________件.

合作探究

一、探究过程

探究点1：列一元二次方程解决增长率问题

【问题】西藏地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12 100元．

(1)如果第二天、第三天收到捐款数额的增长率相同，求捐款增长率；

解：设捐款增长率为x， 根据题意，可列出方程________________.

 解方程得x1=         ，x2=         .

 检验：当x1＝_____时,_____题意.当x2＝______时,____ ___题意.

 答：捐款的增长率为______.

(2)按照(1)中收到捐款数额的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

【归纳总结】1.常见增长率问题一般公式为“原来的量×（1±变化率）n=后来的量”，其中增长用“﹢”，减少用“-”，“n”表示增长或减少的次数.

2.得出一元二次方程的解后，一定要注意检验，使一元二次方程的解符合实际意义.

【针对训练】

1.某商品原售价为100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确的是(　 　)

A．100(1－x%)2＝120 B．100(1＋x%)2＝120

C．100(1＋2x%)2＝120 D．100(1＋x2%)2＝120

2. 某渔船出海捕鱼，2017年平均每次捕鱼量为10吨，2019年平均每次捕鱼量为8.1吨，求   该渔船2017年～2019年平均每次捕鱼量的年平均下降率．

探究点2：列一元二次方程解决利润率问题

【问题】山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：

 (1)每千克核桃应降价多少元？

解：设每千克核桃降价x元，根据题意，可列出方程______________________.

 解方程得x1=      ，x2=        .

 检验：当x1＝______时,_______题意.当x2＝______时,________题意.

 答：每千克核桃应降价___________.

(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【归纳总结】利润问题中常用的关系式：①利润=售价-进价;②利润率=.

【针对训练】

3.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元(x为整数)．据此规律，请回答：

 (1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利_________元(用含x的代数式表示)；

 (2)若上述条件不变，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？

二、课堂小结

当堂检测

1.某地区1月初疫情感染人数为6万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至1万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（　 　）

A．6（1-2x）=1   B．6（1-x）2=1        C．6（1+2x）=1     D．6（1+x）2=1

2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元.若设该校今明两年在实验器材投资的平均增长率是x,则可列方程为__________.

3.某种文化衫每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多销售10件，如果每天要盈利950元，设每件应该降价x元，那么可列方程为__________________ .

4.某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是前年人数的64%,那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少?

5.菜农李伟种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率.

参考答案

自主学习

一、新知预习

1.15（1+x）²=21.6  

2.（1）5   ①17   7   ②（15+x）   （5+x）   （2）①4    104     ②2x   （100+2x）   （3）①10   90    ②  （100-）

合作探究

一、探究过程 

探究点1：

【问题】  

（1）10000（1+x）²=12100     0.1    -2.1    0.1   符合    -2.1   不符   10％

（2）12100×1.1=13310（元）.答：第四天能收到13310元捐款.

【针对训练】

   1. B 

2.解：设该渔船2017年-2019年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为x，根据题意，列方程得10×（1-x）2=8.1，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：2017年-2019年该渔船每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%．

探究点2：

【问题】

（1）（60-x-40）（100+×20）=2240    4   6   4   符合   6   符合    4元或6元

（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为60-6=54（元），×100%=90%．
答：该店应按原售价的九折出售．

【针对训练】   

3. 解：（1）2x    （50-x）
（2）根据题意得：（50-x）（30+2x）=2100，整理得x2-35x+300=0，解得x1=15，x2=20.因为为了尽快减少库存，所以x应该取20，若上述条件不变，则每件商品降20元时，商场日盈利可达到2100元．
答：每件商品降20元时，商场日盈利可达到2100元．

二、课堂小结

次数    售价-进价    利润÷进价     （售价-进价）÷进价

当堂检测

1.B       2.2（1+x)+2(1+x)2=8

3.（20-x）（40+10x）=950

4. 解：设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x,   前年近视人数为“1”，则今年近视人数为（1 - x）2. 由题意，得(1 – x )2  = 0.64 . 解得 x1 = 0.2= 20%, x2 = 1.8（不合题意，舍去）.

答：这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为20%.        

5.解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2=3.2.解得 x1=0.2=20%，x2=1.8 （舍去）.∴平均每次下调的百分率为20%.