初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.5 分式方程同步达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.5 分式方程同步达标检测题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的解是（ ）
A．B．2C．3D．1
3．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤B．②③④C．②④⑤D．②④
4．若关于x的分式方程的解为2，则m的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．4B．C．2D．
7．若关于的分式方程无解，则的值是（ ）
A．B．或C．或D．或
8．如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的1.5倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
9．某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，元旦期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的（ ）
甲同学：设该饮料每瓶是元，则
乙同学：设该饮料每箱是瓶，则
丙同学：设该饮料每瓶是元，则
丁同学：设该饮料每箱是瓶，则
A．甲、乙、丙B．甲、乙C．乙、丙D．甲、丁
10．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布每尺文，根据题意可列方程是（ ）
A．B．
C．1D．
11．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ）
A．B．C．或D．且
12．分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设．
（1）当时，的值为 ；
（2）若均为非零整数，则的值为 ．
14．小欣和小军周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，已知路线总长为，小欣骑行速度比小军快，小军完成全部行程所用的时间比小欣多5分钟．设小军这次骑行速度为，依题意，可列方程为 ．
15．某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲队单独完成此项工程需要多少天？设甲队单独完成此项工程需要天．根据题意，列方程为 ．
16．是否为方程的解？答： ．
17．在实数范围内规定ab＝，若x（x＋2）＝，则
三、解答题
18．近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的．
(1)求A型、B型玩具的进价分别是多少元；
(2)老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？
19．阅读下列素材，完成任务．
20．已知分式方程．
(1)当取何值时，方程的解为正数？
(2)当取何值时，方程无解？
21．据统计，到扬州的游客非常喜欢刺绣工艺包，为了满足场需求，某刺绣工厂改进了生产工艺，现在平均每天比原计划多生产个工艺包，现在生产个工艺包所得时间与原计划生产个工艺包的时间相同，原计划每天生产多少个工艺包？
22．2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作．
(1)某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？
(2)吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个．
23．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
(1)求王老师驾车的平均速度；
(2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？
24．解方程：．
《18.5分式方程》参考答案
1．A
【分析】本题考查了由实际问题，抽象出分式方程．设设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元，根据用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，列方程即可．
【详解】解：设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元，
根据题意可得．
故选：A．
2．D
【分析】本题重点考查​分式方程的求解步骤​，​正确地去分母将分式方程化为整式方程，并准确求解和检验是解题的关键​．
根据分式方程的求解方法求解即可．
【详解】因为，
即，
解得，
当时，，
所以，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可．
【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程；
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考出了分式方程的解、解分式方程等知识点，掌握方程的解使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．
将代入方程可得，然后解关于m的分式方程即可．
【详解】解：将代入方程可得，即，
，
，
经检验，是分式方程的解，
所以m的值为2．
故选D．
5．B
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意，绫布和罗布总长丈（即尺），设绫布有尺，则罗布有尺，绫布和罗布分别出售均收入文，因此每尺绫布价格为文，每尺罗布价格为文，根据“每尺绫布和罗布共值120文”的条件，即可列方程．
【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺，
根据题意可得：
故选：B．
6．D
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−4＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：原方程去分母，得：，
∴，
由分式方程有增根，得到x−4＝0，即x＝4，
把x＝4代入整式方程，可得：m＝-2．
故选D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7．B
【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以，得，
整理得，，
当，即时，，此时方程无解；
当时，解得，
∵分式方程无解，
∴，
即，
解得；
综上，的值是或，
故选：．
8．D
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据路程、速度、时间的关系，结合共享单车和共享电动车行驶时间的差异列出方程．
先分别表示出共享单车和共享电动车行驶所需的时间，再根据共享单车先出发（换算为小时）且同时到达，得出两者时间差的等式．
【详解】解：根据题意可得方程：，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可．
【详解】解：设该饮料每瓶是元，则，
设这种饮料的原价每瓶是元，则有；
设该种饮料每箱有瓶，则有，
故甲、乙、丙正确，丁错误，
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式，熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键．
根据题意直接列出方程即可．
【详解】解：设绫布每尺文，则罗布每尺文，
根据题意得：，
故选：B．
11．C
【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．
【详解】解：方程去分母，得：，
整理，得：；
∵原方程无解，
∴①整式方程无解，则：，解得：；
②分式方程有增根，则：，解得：；
把代入，得：，解得：；
综上：或
故选C．
12．B
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解法，同时注意检验.
先将分式方程化为整式方程，再求解即可.
【详解】解：
两边同时乘以得：
，
去括号得：，
移项合并得：，
经检验：是原方程的解，
故选：B
13． 或
【分析】本题考查了解分式方程，求使分式值为整数时未知数的整数值，求代数式的值；
（1）解方程，即可求解；
（2）化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解．
【详解】解：（1）由题意得
，
去分母得，
，
解得：，
经检验：是此方程的解，
故答案为：；
（2）由题意得
，
均为非零整数，
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系：小军完成全部行程所用的时间比小欣多5分钟是解题的关键．根据“小军完成全部行程所用的时间比小欣多5分钟”列出方程即可．
【详解】解：5分钟小时．
设小军这次骑行速度为，则小欣骑行速度为，
依题意，可列方程得：，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设甲队单独完成此项工程需天，则乙队单独完成此项工程需天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量，即可列出关于的分式方程．
【详解】解：设甲队单独完成此项工程需天，则乙队单独完成此项工程需天．
根据题意，得．
故答案为：．
16．不是
【分析】观察可得最简公分母是（x−2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解方程，故可判断．
【详解】解：方程的两边同乘（x−2），得
解得x＝2．
检验：把x＝2代入（x−2）＝0．
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
故答案为：不是．
【点睛】本题考查了列分式方程和分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
17．－1
【分析】试题分析：先把x（x＋2）＝，转化为，解该分式方程即可．
【详解】解：∵x（x＋2）＝
∴
去分母得：x＋2﹣x＝2（x＋2）
去括号得：x＋2﹣x＝2x＋4
移项、合并同类项得：2x＝－2
系数化为1得：x＝－1
经检验x＝－1是原分式方程的解．
故答案为：－1．
【点睛】本题考查了新定义运算和分式方程的解法，解题时注意要按照题中定义的运算法则进行运算，所得的结果还要进行检验．
18．(1)A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元
(2)购进A型玩具80套
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元，根据用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套，根据恰好用了950元，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元；
（2）解：设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套，
由题意得：，
解得：，
答：购进A型玩具80套．
19．任务1：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克；
任务2：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克；
任务3：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，寻找等量关系或不等关系是解题的关键；
（1）设“左优红”葡萄的进价为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可；
（2）设“晨香”葡萄的利润为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可；
（3）设购进“左优红”葡萄千克，根据题意，列不等式，解不等式即可．
【详解】解：任务1：设“左优红”葡萄的进价为元/千克，则“晨香”葡萄的进价为元/千克．
由题意，得，
解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则．
答：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克．
任务2：设“晨香”葡萄的利润为元/千克，则“左优红”葡萄的利润为元/千克．
由题意，得，解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则．
答：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克．
任务3：设购进“左优红”葡萄千克，购进“晨香”葡萄千克，
由题意，得，
，
若要使利润不低于9000元，则，即，
解得，
的最大值为300．
答：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克．
20．(1)且
(2)
【分析】本题考查分式方程：将分式方程去分母整理为，然后：
（1）方程的解为正数，则解为正数且不为增根4，据此列出不等式组求解即可；
（2）分为0和不为0两种情况讨论即可．
【详解】（1）去分母得：
整理得：．
∵方程的根为正数，
∴且，
解得：且；
（2）分式方程化为：，
∵方程无解，
∴方程有增根或等式不成立，
①当方程有增根时，即，
即，
∴，
②当时，等式不能成立，
∴，
综上所述，a的值为．
21．原计划每天生产个工艺包．
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．
根据题意找出等量关系，列方程，求解即可．
【详解】解：设原计划每天生产个工艺包，则现在平均每天生产个工艺包，
根据题意可得，
解得，，
经检验：是原分式方程的解，
答：原计划每天生产个工艺包．
22．(1)“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元
(2)“山侠”公仔最多能购进个
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元，先求出购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用，再根据“商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个”建立分式方程求解；
（2）设购进“山侠”个，则购进“水仙”个，根据“商店计划用不超过10200元的资金”建立一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元，
由题意得，购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用都为（元），
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴“山侠”公仔的单价为（元）
答：“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元；
（2）解：设购进“山侠”个，则购进“水仙”个，
由题意得，，
解得：，
答：“山侠”公仔最多能购进个．
23．(1)48千米/小时
(2)千克
【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数乘法的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校，建立方程，解方程即可得；
（2）先求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可得．
【详解】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时．
（2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时），
则（千克），
答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量．
24．x=4
【分析】将原方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
【详解】解：整理，得：，
方程两边同时乘以x（x-2），得：x2-8=x（x-2），
去括号，得：x2-8=x2-2x，
移项，合并同类项，得：2x=8，
系数化1，得：x=4，
检验：当x=4时，x（x-2）≠0，
∴x=4是原分式方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤准确计算是解题关键，注意分式方程结果要进行检验．
如何设计水果的购进方案
素材1
某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售，已知“左优红”的进价比“晨香”高4元/千克，用1800元能购进的“左优红”和用1200元能购进的“晨香”一样多．
素材2
根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利润的1.25倍，同样获得120元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左优红”葡萄多3千克．
问题解决
任务1
确定进价：求两种葡萄每千克的进价；
任务2
确定利润：求两种葡萄每千克的利润；
任务3
确定购进方案：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄多少千克？
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
D
B
D
B
D
A
B
题号
11
12








答案
C
B