初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程第1课时教案

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课程基本信息
学科
数学
年级
七年级
学期
秋季
课题
5.3 实际问题与一元一次方程(第1课时)
教学目标
1．经历建立方程模型解决实际问题的过程，发展模型观念．
2．理解配套问题和工程问题中的数量关系，会寻求相等关系列方程解决相关的实际问题，掌握运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤．
教学内容
教学重点：
找到配套问题和工程问题中的相等关系，建立数学模型，正确列出一元一次方程进行求解．建立用一：元一次方程解决实际问题的一般方法和步骤．
教学难点：
由实际问题抽象出方程模型．
教学过程
教学环节
主要师生活动
新课导入
问题1 前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将重点研究如何用一元一次方程解决实际问题．生活中有很多需要配套的问题，如一张桌子配一把椅子，一个螺栓配两个螺母，一个电机配三个电扇叶片等，大家还能举出一些生活中配套问题的例子吗？
师生活动：教师引导学生联系生活实际，举例时引导学生重视配套物品之间的比例关系．
设计意图：通过引入和观察图片，激发学生对本节课的兴趣，让学生简单感受配套问题中的相等关系，为本节课的内容做准备．
新知探究
例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母．1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
追问1 通过审题，你能从题目中找到哪些相等关系？
师生活动：学生审题后思考并发言．教师根据学生的回答，引导学生总结出题目中的相等关系．
生产螺栓的工人人数＋生产螺母的工人人数＝22，
每天生产的螺栓数量＝生产螺栓工人数量×1 200，
每天生产的螺母数量＝生产螺母工人数量×2 000，
每天生产的螺栓数量∶每天生产的螺母数量＝1∶2，
(或每天生产的螺母数量＝每天生产的螺栓数量×2)．
追问2 上述相等关系中有些量已知，有些量未知，用字母表示哪个未知量，并能将其他的未知量也表示出来？请具体说明．
师生活动：学生独立思考，并回答问题．教师引导学生通过前面给出的数量关系，选择合适的未知量设为x，并表示其他未知量．学生可能会提出如下方法：
法1：设应安排x名工人生产螺栓，
则生产螺母工人数量为(22－x)名，
每天生产的螺栓数量＝1 200x，
每天生产的螺母数量＝2 000(22－x)．
法2：设应安排x名工人生产螺母，
则生产螺栓工人数量为(22－x)名，
每天生产的螺栓数量＝1 200(22－x)，
每天生产的螺母数量＝2 000x．
追问3 依据相等关系如何列方程求实际问题的解？
师生活动：学生独立思考，并回答问题．教师适当引导学生，关注配套物品之间的比例关系，从“每天生产的螺栓数量∶每天生产的螺母数量＝1∶2”出发列出方程，需要注意的是上述比例关系转化后为“每天生产的螺母数量＝每天生产的螺栓数量×2”，而后解方程，需要检验一下结果是否是方程的解，代入后等式左边等于右边，还需要检验一下是否符合实际意义．如果学生直接列式回答，要求说清式子所表示的具体意义．教师具体板书如下：
法1：解：设应安排x名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母．
根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程
2 000(22－x)＝2×1 200x．
解方程，得
x＝10．
(口头检验：x＝10是原方程的解且符合实际意义．)
进而
22－x＝12．
答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母．
法2：解：设应安排x名工人生产螺母，(22－x)名工人生产螺栓．
依题意得
2 000x＝2×1 200(22－x)．
解方程，得
x＝12．
(口头检验：x＝12是原方程的解且符合实际意义．)
所以生产螺栓工人数量
22－12＝10．
答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母．
总结：
1．在分析配套问题时，需要注意问题中所涉及的量的比例关系．比如：1个螺栓需要配2个螺母可表示为螺栓数：螺母数＝1∶2．
2．注意通过找到的比例关系列方程．
3．可以根据比例式的内项积等于外项积将含比的方程转化为我们熟悉的形式．
设计意图：通过对相等关系的分析，结合教师的引导与启发，帮助学生认识到配套问题中配套物品间的数量关系是列方程的重要依据，并逐步建立用一元一次方程解决实际问题的一般步骤．通过对问题的解决，培养学生用数学的意识，逐步发展模型观念．
例2 整理一批图书，由1人整理需要40 h完成．现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
追问1 上述工程问题分为几个阶段，涉及哪些基本量，这些基本量之间有怎样的关系？
师生活动：学生审题后不难发现上述工程问题分为两个阶段，题目中已有的基本量是时间和人数．教师可以进一步引导学生发现，虽然没有具体的工作总量，无法表示出具体的工作效率，但是存在关系．
两个阶段的工作量的和＝总工作量，
工作量＝人均效率×人数×时间．
追问2 题目中没有具体的总工作量，如何表示人均工作效率？
师生活动：可以通过把工作总量看作单位1，由此表示出人均工作效率．
追问3 整理出下述信息，你还能从题目中找到哪些相等关系？
人均效率
人数
时间/ h
工作量
第一阶段
4
第二阶段
8
第一阶段工作人数＋2＝第二阶段工作人数．
第一阶段工作量＋第二阶段工作量＝1．
追问4 设先安排x人整理4 h，完成下表，你能列出关于x的方程并求实际问题的解吗？
人均效率
人数
时间/ h
工作量
第一阶段
x
4
第二阶段
8
师生活动：学生独立思考，教师适当加以引导，利用人均效率、人数、时间、工作量和工作总量之间的关系列出方程并求解，过程中需关注学生在确定两个阶段工作量时是否准确，并关注解方程过程的正确性．最后需要检验结果是否是方程的解，代入后等式左边等于右边，还需要检验是否符合实际意义．表格可完善如下：
人均效率
人数
时间/ h
工作量
第一阶段
x
4
第二阶段
x＋2
8
两个阶段的工作量之和为工作总量1，教师具体板书如下：
解：设先安排x人整理4 h．
列得方程
．
解方程，得
x＝2．
(口头检验：x＝2是原方程的解且符合实际意义．)
答：应先安排2人进行整理．
设计意图：追问1~3让学生回顾工程问题中的一些基本量和基本公式，以及“没有工作总量时通常设其为1”，为后续解题做准备．通过梳理题干所给信息，针对未知量进一步寻找相对应的相等关系，增强学生的信息处理能力．
追问4将题目中的一个未知量用字母表示，进而表示其他相关量，最后依据工程问题的基本公式和题目中的相等关系列出方程并求解，让学生感受审题—设未知数—列方程—解方程—作答的一般步骤．
拓展提升
问题2 例2中除了设第一阶段人数为x人这种方法外，是否还可以设其他未知量为x？如果可以，请写出对应的方程，并通过比较，说说选择设哪个未知量对于解决问题更简便．
师生活动：学生思考，可相互交流，自由发言，教师引导学生考虑多种方法解决问题，并通过所列方程和对应相等关系的复杂程度，选择最合适的未知量．例如：
设第一阶段的工作量为x，则第二阶段的工作量为(1－x)，由人均效率相同，可列方程：．
总结：解决有关工程问题时：
(1)工程问题一般涉及三个量：工作效率，时间，工作量，
关系：工作量＝工作效率×时间；
(2)工程问题通常把工作总量设为1，分析题目得出人均效率；
(3)各阶段工作量之和等于工作总量．
设计意图：帮助学生认识到选择合适未知量的重要性，巩固解决实际问题的一般步骤和工程问题各基本量之间的数量关系，渗透一题多解的意识．
课堂练习
1．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用1 m3钢材可以做40个A部件或者240个B部件．现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？
师生活动：学生思考，小组讨论并说出结果．
解：设用x立方米钢材做A部件，(6－x)立方米钢材做B部件．
依题意得
240(6－x)＝3×40x．
解得
x＝4．
所以做B部件的钢材
6－4＝2(m3)．
仪器数量
4×40＝160(台)．
答：应用4 m3钢材做A部件，2 m3钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器；最多能制成160台仪器．
设计意图：考查配套问题．
2．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天．如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？
师生活动：学生思考，小组讨论并说出结果．
解：设要x天可以铺好这条管线．
工作效率
时间/天
工作量
甲
x
乙
x
依题意得
．
解得
x＝8．
答：需要8天可以铺好这条管线．
设计意图：考查工程问题．
课堂小结
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课你学习了哪些内容？
(2)通过学习，你有哪些收获？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心：理解配套问题和工程问题中的数量关系，会寻求相等关系列方程解决相关的实际问题，掌握运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤．
课后任务
教科书第134页，练习 第2题，第140页，习题5.3 第2题．