数学七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程导学案

这是一份数学七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程导学案，共14页。学案主要包含了学习目标，重难点，情境导入，合作探究，典型例题，错误诊所，达标检测，中考链接等内容，欢迎下载使用。
人教版2024新版 · 七年级数学上册 · 精品导学案
一、学习目标
1. 能分析配套问题、工程问题中的数量关系，找出等量关系并列方程。
2. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本步骤。
3. 培养数学建模能力，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
二、重难点
【重点】找到配套问题和工程问题中的等量关系，列出一元一次方程。
【难点】准确分析配套问题中的比例关系；工程问题中把总工作量看作单位"1"。
三、情境导入
【生活情境】
某家具厂要生产一批桌子，每张桌子由1个桌面和4条桌腿组成。已知1立方米木材可做20个桌面或400条桌腿。现有12立方米木材，怎样分配木材才能使桌面和桌腿恰好配套？
四、合作探究
探究一：配套问题
【例题分析】
某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
【分析】
（1）设安排x名工人生产螺钉，则生产螺母的工人有________名。
（2）每天生产螺钉________个，生产螺母________个。
（3）配套关系：螺母数 = ______ × 螺钉数
（4）列方程：_________________________________
请你写出完整的解题过程：
探究二：工程问题
【例题分析】
整理一批图书，由一个人做要40小时完成。现在计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
【分析】
（1）把总工作量看作______，每个人的工作效率是______。
（2）设先安排x人工作4小时，则这4小时的工作量是________。
（3）增加2人后，有______人工作8小时，工作量是________。
（4）等量关系：前段工作量 + 后段工作量 = 总工作量
（5）列方程：_________________________________
请你写出完整的解题过程：
五、典型例题
【例1】配套问题
用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？
【例2】工程问题
一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成。现在由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程一共需要多少天？
【例3】综合应用
一个水池有甲、乙两个进水管和一个丙出水管。单开甲管6小时可注满空池，单开乙管4小时可注满，单开丙管8小时可放完满池水。三管同时开，几小时可注满空池？
六、错误诊所
七、达标检测
★ 基础过关（必做）
1. 某车间有14名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓10个或螺母15个。1个螺栓需要配2个螺母，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母才能刚好配套？
解：
2. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲乙合作需要几小时完成？
解：
3. 整理一批数据，由一人做需80小时完成。现在计划先由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的34。怎样安排参与整理数据的具体人数？
解：
★★ 能力提升（选做）
4. 某服装厂要生产一批某种型号的学生服，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套。计划用600米长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？
解：
5. 一项工程，甲单独做需30天完成，乙单独做需50天完成。现在甲、乙合作，且施工期间乙要休息14天，问这项工程需要几天完成？
解：
6. 有一个水池，用两个水管注水。如果单开甲管，2小时30分注满；如果单开乙管，5小时注满。如果甲乙两管同时注水20分钟，然后由乙单独注水，问还需要多少时间才能注满？
解：
★★★ 拓展探究（挑战）
7. 某工厂生产桌子，每张桌子由1个桌面和4条桌腿组成。1立方米木材可做20个桌面或400条桌腿。现有12立方米木材，请你设计一下，用多少木材做桌面，多少木材做桌腿，恰好配成方桌多少张？
解：
8. 甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元。甲、乙两人经商量后签订了该合同。
(1) 正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？
(2) 现两人合作完成了这项工程的75%，因别处有急事，必须调走1人，问调走谁更合适些？为什么？
八、中考链接
1. （2024·安徽）某超市有线上和线下两种销售方式。与2022年相比，该超市2023年销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%。设2022年的销售总额为a，线上销售额为x，请用含a和x的代数式表示2023年线下销售额________。
2. （2023·山东济南）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵、B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵、B种树苗10棵，共花费1060元。求A、B两种树苗的单价。
解：
3. （2024·江苏苏州）某公司生产一种产品，甲车间有30名工人，每人每天可生产2个A型零件或3个B型零件。已知2个A型零件和3个B型零件配成一套。问应安排多少人生产A型零件，才能使每天生产的A、B两种零件恰好配套？
解：
九、数学文化
《九章算术》中的工程问题
《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，成书于公元1世纪左右，共收录了246个与生产、生活实践相关的应用问题。其中"均输"章中就有许多工程问题和比例问题。
【试一试】你能用一元一次方程的知识来解答这道古代数学题吗？
十、小结与反思
列方程解应用题的一般步骤：
审（审题）→ 设（设未知数）→ 列（列方程）→ 解（解方程）→ 验（检验）→ 答（作答）
【我的反思】
1. 我在解决配套问题时最容易出错的地方是：_______________________
2. 工程问题中"把总工作量看作单位1"，我的理解是：_________________
3. 我还有哪些不理解的地方：_________________________________
答案
典型例题答案
【例1】
配套问题
用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？
【例2】
工程问题
一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成。现在由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程一共需要多少天？
【例3】
综合应用
一个水池有甲、乙两个进水管和一个丙出水管。单开甲管6小时可注满空池，单开乙管4小时可注满，单开丙管8小时可放完满池水。三管同时开，几小时可注满空池？
三、情境导入
设用x立方米做桌面，则(12-x)立方米做桌腿。
等量关系：桌腿数 = 4 × 桌面数
400(12-x) = 4 × 20x → 4800 - 400x = 80x → 480x = 4800 → x = 10
12 - x = 2
答：用10立方米做桌面，2立方米做桌腿，恰好配成200张桌子。
四、合作探究
探究一（螺钉螺母）：
（1）(22-x)名 （2）1200x个，2000(22-x)个 （3）2
（4）2000(22-x) = 2 × 1200x
解得 x = 10，22-x = 12
答：应安排10人生产螺钉，12人生产螺母。
探究二（整理图书）：
（1）1， （2）4x40 （3）(x+2)人，8(x+2)40
4x40 + 8(x+2)40 = 1 → 4x + 8x + 16 = 40 → 12x = 24 → x = 2
答：应先安排2人工作。
五、典型例题
【例1】设用x张制盒身，则(36-x)张制盒底。
盒底数 = 2 × 盒身数 → 40(36-x) = 2 × 25x → 1440 - 40x = 50x → 90x = 1440 → x = 16
36 - x = 20
答：用16张制盒身，20张制盒底。
【例2】设完成这项工程一共需要x天。
甲做了x天，乙做了(x-2)天。
x10 + (x−2)6 = 1 → 3x + 5(x-2) = 30 → 8x = 40 → x = 5
答：一共需要5天。
【例3】设三管同时开x小时可注满。
甲效率16，乙效率14，丙效率18（出水）
( + - )x = 1 → ( + - )x = 1 → 7x24 = 1 → x =
答：三管同时开247小时可注满。
七、达标检测
1. 设安排x人生产螺栓，则(14-x)人生产螺母。
2 × 10x = 15(14-x) → 20x = 210 - 15x → 35x = 210 → x = 6
14 - x = 8
答：安排6人生产螺栓，8人生产螺母。
2. 设合作需要x小时完成。(120 + 112)x = 1 → x = 7.5
答：合作需要7.5小时。
3. 设先安排x人做2小时。2x80 + 8(x+5)80 =
2x + 8x + 40 = 60 → 10x = 20 → x = 2
答：先安排2人做2小时。
4. 设用x米布料生产上衣，则(600-x)米生产裤子。
上衣数量 = 裤子数量 → 2x3 = 3(600−x)3 → 2x = 1800 - 3x → x = 360
600 - x = 240，共能生产 2×3603 = 240套
答：用360米生产上衣，240米生产裤子，共生产240套。
5. 设需要x天完成。x30 + (x−14)50 = 1
5x + 3(x-14) = 150 → 8x = 192 → x = 24
答：需要24天完成。
6. 甲管效率12.5 = 25每小时，乙管效率15每小时。
设还需要x小时注满。(25 + 15)×(2060) + (15)x = 1
× + x5 = 1 → + x5 = 1 → x = 4
答：还需要4小时。
7. 设用x立方米做桌面，则(12-x)立方米做桌腿。
400(12-x) = 4 × 20x → 4800 - 400x = 80x → x = 10
12 - x = 2，可配成 20×10 = 200张
答：用10立方米做桌面，2立方米做桌腿，配成200张方桌。
8. (1) 设合作x天完成。(130 + 120)x = 1 → x = 12
12 < 15，能履行合同。
(2) 已完成75%，用时 0.75 ÷ (130 + 120) = 9天
剩余25%，若甲单独做需 0.25 ÷ 130 = 7.5天，总共9+7.5=16.5>15，违约
若乙单独做需 0.25 ÷ 120 = 5天，总共9+5=14