八年级上册（2024）2认识证明优秀一课一练

这是一份八年级上册（2024）2认识证明优秀一课一练，文件包含安徽省黄山地区2025-2026学年第二学期期末质量监测七年级语文试题pdf、七年级语文参考答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。

知识点01 定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.
【即学即练1】
1．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是 ，结论是 ，此命题是 命题（填“真”或“假”）
2．命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是 ．它是 命题．（填“真”或“假”）
知识点02 证明的必要性
要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.
知识点03 公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
【即学即练2】
1．用反证法证明：
(1)已知：，求证：a必为负数．
(2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．
题型01 观察与实验、归纳与类比、猜想与证明
【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期中）观察下列等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，
第四个等式：，
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式：___________
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）你的眼睛可信吗？
(1)比较图①中线段a和b的大小；
(2)图②中由粗线围成的四边形是正方形吗？
【变式2】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有________种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有________种不同的优惠金额．
题型02 判断是否是定义
【典例2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（ ）
A．过一点画已知直线的垂线B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（ ）
A．直角都相等
B．作已知角的平分线
C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D．两点之间线段最短
【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
题型03 判断是否是命题
【典例3】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（ ）
A．对顶角相等B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角D．过一点画已知直线的垂线
【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列四个选项中的说法不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作已知直线的平行线
C．如果，那么
D．三角形的外角大于任何一个内角
【变式2】（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．对顶角相等B．连结，并延长至点
C．两直线平行，内错角相等D．等角的补角相等
题型04 判断是否是真假命题
【典例4】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）命题“如果，那么”，该命题是 命题．（填“真”或“假”）
【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）有下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③各有两边长分别是5，4的两个等腰三角形全等；④判定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等．其中，正确的命题是 （填序号）．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列四个命题：
①一条直线有无数条平行线；
②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；
④实数a是实数的算术平方根．
其中假命题的序号为 ．
题型05 举反例说明是假命题
【典例5】（25-26八年级上·浙江·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，举出一个反例，反例中的可以为 ．
【变式1】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ．
【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）命题“当时，”是 命题（填“真”或“假”）；如果是假命题，请举出一个反例： ．
题型06 写出命题的题设与结论
【典例6】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…，那么…”的形式为： ．
【变式1】（25-26八年级上·四川遂宁·期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ．
题型07 用反证法证明命题
【典例7】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例．
（2）用反证法证明：中至少有一个角的度数大于等于．
【变式1】（24-25八年级下·广东揭阳·月考）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，，，都被所截．求证：．
证明：假设________，
，
________，
________，
________，这和“平角的定义”矛盾，
假设________不成立，即．

一、单选题
1．（24-25七年级下·江西宜春·期末）下列命题中，真命题的是（）
A．若是正数，则的平方根是
B．若，则
C．无理数在数轴上无法表示
D．一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定是1
2．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两个锐角的和大于直角B．作的平分线
C．三个角对应相等的两个三角形全等D．两直线平行，同位角相等
3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
4．（2023七年级下·全国·专题练习）将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是( )
A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余
B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角
C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角
D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余
5．（24-25七年级下·福建福州·期末）判断命题“如果n是正数，那么n是整数”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以是（ ）
A．1B．C．0D．
6．（2025·河南驻马店·三模）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
二、填空题
7．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）命题“如果，则”是 命题．（填“真”或“假”）
8．（23-24八年级上·全国·期末）命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”的题设是 ，它是 命题（填“真”或“假”）．
9．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号）
①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．
10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例： ，说明该命题是假命题．
11．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码： ．
①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；
③9、5、8、3四个数字都不正确；
④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．
12．（24-25七年级下·广东广州·期末）市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为的大正方形地砖，一种是边长为的小正方形地砖．为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用．经过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为的正方形场地，那么他至少使用了 块大正方形地砖．
三、解答题
13．（2025八年级上·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）正数大于一切负数吗？
（2）两点之间线段最短；
（3）2不是无理数；
（4）作一条直线和已知直线平行．
14．（2025八年级上·全国·专题练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；
(3)直角三角形两个锐角互余；
(4)同角的余角相等．
15．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，，垂足分别为E，F．
(1)求证：．
(2)下面是一个命题，请判断其是真命题还是假命题．若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例，可图示并做好必要标识．
在中，，D是的中点，点E，F分别在上．若，则．
16．（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于下列命题，若你认为是真命题，请给出证明；若你认为是假命题，请举出反例加以说明．
(1)若，，，，则是直角三角形；
(2)若，则代数式是正数．
教学目标
1.了解定义、命题的含义，能区分命题与非命题，知道命题由条件和结论组成，会判断命题真假。
2.经历观察、验证等过程，体会观察、归纳所得结论未必可靠，感受证明的必要性。
3.掌握判断假命题的方法，能通过举反例证明假命题，初步树立推理意识。
教学重难点
1.重点
（1）深刻理解命题的概念，能准确区分命题的条件和结论，会将命题改写为“如果……那么……”的形式。
（2）明确证明的必要性，掌握判断命题真假的方法，尤其是用反例证明假命题的技巧。
2.难点
（1）对于表述隐晦的命题，难以准确拆分其条件和结论，改写命题结构时易出现逻辑混乱。
（2）难以理解证明的严谨性，对“观察不可靠，需逻辑证明”的认知较模糊，推理意识薄弱。
所取的2个整数
1，2
1，3
2，3
2个整数之和
3
4
5
所取的2个整数
1，2
1，3
2，3
2，4
3，4
2个整数之和
3
4
5
6
7
所取的2个整数
1，2
1，3
1，4
1，5
2，3
2，4
2，5
3，4
3，5
4，5
2个整数之和
3
4
5
6
5
6
7
7
8
9