第七章 命题与证明 - 初中数学八年级上册 单元测试卷（北师大版2024）

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第七章 命题与证明（单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．命题“对顶角相等”的条件是（    ）A．两个角B．相等C．两个角相等D．两个角是对顶角【答案】D【分析】本题考查了命题的结构及对顶角的定义，命题“对顶角相等”是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的简写，因此条件部分是“两个角是对顶角”．【详解】解：∵命题“对顶角相等”等价于“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，∴条件为“两个角是对顶角”，故选：D．2．下列语句中，属于定义的是（    ）A．直角都相等B．作已知角的平分线C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度D．两点之间线段最短【答案】C【分析】本题考查了定义与性质、公理的异同．解决本题需熟记课本中的定义．根据定义的属性进行判断即可．【详解】解：A．直角都相等是直角的性质，不是定义，故A不符合题意；B．作已知角的平分线是作图语言，不是定义，故B不符合题意；C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度是定义，故C符合题意；D．两点之间线段最短是公理，不是定义，故D不符合题意．故选C．3．下列句子是命题的是（    ）A．画B．小于直角的角是锐角吗？C．连接D．三角形的内角和为【答案】D【分析】本题主要考查了命题的概念，命题是能判断真假的陈述句．根据命题的定义即可作出判断即可．【详解】解：∵命题需为陈述句且可判断真假，A项“画”为指令，非陈述句；B项“小于直角的角是锐角吗？”为疑问句，非陈述句；C项“连接”为指令，非陈述句；D项“三角形的内角和为”为陈述句，且在初中几何中为真命题．∴只有D是命题．故选：D．4．下列说法正确的是（   ）A．三角形三条高所在的直线交于一点B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】本题考查了三角形的高线，垂直的定义和性质，平行的性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键，利用三角形的高线，垂直的定义和性质，平行的性质逐项判断即可．【详解】解：A中，三角形三条高所在的直线交于一点，即三角形的垂心，正确，故选项符合题意；B中，应为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项错误，故选项不符合题意；C中，应为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，选项错误，故选项不符合题意；D中，应为：有无数条直线与已知直线平行，选项错误，故选项不符合题意；故选：A．5．下列命题中，是真命题的是（   ）A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角相等C．实数与数轴上的点一一对应D．若，则【答案】C【分析】本题考查了对顶角的定义、平行线的性质、实数与数轴的关系、及等式的性质，关键是熟练掌握知识点并进行判断；根据知识点进行判断即可．【详解】解：∵ 相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴A命题是假命题；∵ 两直线平行时同旁内角互补，∴ B命题是假命题；∵ 实数与数轴上的点一一对应，∴ C命题是真命题；∵时， 或 ，∴ D命题是假命题；故答案选：C．6．下列选项中的a、b的值，可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（   ）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】本题考查的是命题的真假判断，要证明命题“若，则”为假，需找到反例，即成立但不成立，逐一验证各选项即可解答．【详解】解：选项A：，，成立，，结论成立，不符合反例；选项B：，，成立，，结论成立，不符合反例；选项C：，，成立，结论不成立，符合反例；选项D：，，不成立，不符合反例条件．故选：C．7．如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，，再根据角的和差关系列式计算，即可作答．【详解】解：∵，，∴，，∴，故选：B．8．下列各图形中，，能确定的是（　　）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意；B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意；C、由，不能判定，故C不符合题意；D、由不能判定，故D不符合题意；故选：B．9．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可．【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，∴，正确，故此选项不符合题意；B、∵，∴，∴，∵，∴，正确，故此选项不符合题意；C、 ∵，∴，∵，∴，∵，∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意；D、∵，∴，∵，，，∴，正确，故此选项不符合题意；故选：C．10．将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题．【详解】解：，，不一定等于，和n不一定平行，故①不符合题意；，，不一定等于，和n不一定平行，故②不符合题意；过点C作，，，，，，，故③符合题意；，，，故④符合题意；，，，，，故⑤符合题意；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，直线，，则 ．【答案】/度【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等，即可求解．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．12．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是 （填“真命题”或“假命题”），并将其改写成“如果那么”的形式 ．【答案】 真命题 “如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”【分析】本题考查了命题，根据平行公理的推论可判断命题的真假，找出命题的题设和结论，再改写成“如果那么”的形式即可，掌握课本基本知识是解题的关键．【详解】解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是真命题，写成“如果那么”的形式是“如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”，故答案为：真命题；“如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”．13．如图，平分，平分，当和满足 时，．【答案】【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，由平分，平分，得，，根据平行线性质可得，则，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键【详解】解：∵平分，平分，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：．14．如图，已知，若，，则 °．【答案】40【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．先根据求出的度数，再由求出的度数，进而可得出结论．【详解】∵，故答案为：40．15．如图，在和中，点在同一直线上，点为边的中点，，，，若，则的长为 【答案】6【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据，得出，证明，得出．【详解】解：∵点为边的中点，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．故答案为：6．16．如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是 ．①；②；③；④；⑤若，则．【答案】①②⑤【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．①根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；②由，得到，得出．③平分，得出，从而计算出．④由，得出．⑤由，得到，再得到，从而计算出．【详解】解：∵，，平分，，，故①正确，符合题意；，，，，故②正确，符合题意；平分，，，，故③错误，不符合题意；，，故④错误，不符合题意；，，，，，故⑤正确，符合题意．故答案为：①②⑤．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．(1)若，则；(2)对于任意实数，一定有；(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．【答案】(1)假命题，见解析；(2)假命题，见解析；(3)真命题，证明见解析；(4)假命题，见解析．【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可根据真命题和假命题的定义判断并说明即可．【详解】（1）解：是假命题，反例：当时，，，∴结论不成立；（2）解：是假命题，反例：当时，，∴结论不成立；（3）解：是真命题，证明：设两个连续的正奇数为，（为正整数），则∵为正整数，∴是8的倍数，∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；（4）解：是假命题，反例：当四边形为等腰梯形时结论不成立．18．如图，在中，点D在上，交于点E，点F在上，．(1)说明与平行的理由．理由如下：∵（    ），∴（    ）．∵，∴（    ）．∴（    ）．(2)若，求的度数．【答案】(1)已知；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行(2)【分析】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．（1）先根据平行线的性质可得，再根据等量代换可得，然后根据平行线的判定即可得证；（2）先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平角的定义即可得．【详解】（1）解：理由如下：∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）．∵，∴．∴（内错角相等，两直线平行）．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，．19．如图，已知，且点D在边上．(1)求证∶；(2)若，求 的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定：（1）根据全等三角形的性质可得，即可求证；（2）根据全等三角形的性质可得，即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，即的长为10．20．已知.(1)计算：当时， ___________， ___________；当时， ___________，___________；当时，__________，__________．(2)猜想：无论为任何非负实数， __________始终成立（填“>”“