第七章 命题与证明 考点梳理+题型强化练习（北师大版2024）

这是一份第七章 命题与证明 考点梳理+题型强化练习（北师大版2024），文件包含第七章命题与证明-考点梳理+题型强化练习含答案解析docx、第七章命题与证明-考点梳理+题型强化练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
第七章 命题与证明 知识点01 定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.知识点02 公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.知识点03 平行线的判定1）判定方法一：同位角相等，两直线平行.2）判定方法二：内错角相等，两直线平行.3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2.（用共面知识可证明，此处不证）知识点04 平行线的性质两直线平行，同位角相等; 两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补.注： = 1 \* GB3 ①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系.题型01 判断是否是命题【典例1】（24-25七年级下·四川德阳·期中）下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简．其中不是命题的是(　　)A．①B．②C．③D．④【答案】D【分析】本题考查了命题的概念，解题的关键是判断语句是否对某一事情作出明确判断．判断语句是否为命题的核心是看其是否对事情作出真假可辨的判断；①明确判断墙的颜色，②明确判断运算结果，③明确判断的取值性质，均为命题；④仅表示化简操作，未作出任何判断，不属于命题．【详解】解：根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题．①对墙的颜色作出判断，是命题；②对的结果作出判断，是命题；③对的取值性质作出判断，是命题；④仅为化简指令，未作出任何判断，不是命题．故选：D．【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中命题的个数是（    ）①明天下雨吗；②白色的墙；③过直线l外一点作l的垂线；④两点确定一条直线．A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】本题主要了考查命题的定义．命题是能够判断真假的陈述句，据此逐个判断即可．【详解】解：命题是可以判断真假的陈述句．①“明天下雨吗”是疑问句，不能判断真假，不是命题；②“白色的墙”不是完整的句子，不能判断真假，不是命题；③“过直线外一点作的垂线”是祈使句，不能判断真假，不是命题；④“两点确定一条直线”是陈述句，且为真命题．综上，命题的个数是1个，故选：A．【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句属于命题的有（   ）①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】本题考查的是命题的含义与判断，根据命题的含义逐一分析判断即可．【详解】解：①两点之间线段最短是命题；②不许大声喧哗不是命题；③连接P，Q两点不是命题；④花儿在春天开放是命题；⑤不相交的两条直线叫做平行线是命题；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？不是命题．故选：B题型02 判断命题的真假【典例2】（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）下列命题中，属于假命题的是（  ）A．两点确定一条直线B．同角的余角相等C．全等三角形的对应角相等D．如果，那么【答案】D【分析】本题考查命题的真假判断．根据直线公理、余角的性质、全等三角形的性质以及反例逐项判断即可．【详解】解：选项A：两点确定一条直线，是几何基本公理，正确；选项B：同角的余角相等，设和均为的余角，则，，∴，正确；选项C：全等三角形的对应角相等，由全等三角形性质可知，正确；选项D：取，，则，但，，，即，∴ 命题不成立．∴ 假命题是D，故选：D．【变式1】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）下列命题中①若，则；②4的平方根为；③立方根是；④的算术平方根为．是真命题的是（    ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】D【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据平方根和立方根的定义逐一判断各命题的真假即可得到答案．【详解】解：对于①：∵当，则，但，有，∴①为假命题；对于②：∵平方根的定义，4的平方根为，∴②为真命题；对于③：∵的立方根为，∴③为真命题；对于④：∵的算术平方根为，∴④为真命题；∴真命题为②③④，故选：D．【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）给出下列命题：①若，则；②若，则；③能被5整除的数，末位数字必是5；④若，则．其中假命题的个数是（   ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【详解】本题考查真假命题的应用，熟练掌握真假命题的概念是解题的关键．通过命题的概念逐一判断每个命题的真假：①和③是假命题，②和④是真命题，因此假命题有2个．【分析】解：①：根据平方的性质得： ⇒ ，不一定有 ，因此①是假命题；②：根据，则 ，因此②是真命题；③：能被5整除的数，末位数字是0或5，不一定必是5，因此③是假命题；④：根据或，即 ，因此④是真命题；综上，假命题有2个．故选：B．题型03 举反例说明命题是假命题【典例3】（25-26九年级上·江西南昌·期中）请写出一个a的值，能说明命题“若，则”是假命题，则 ．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可．【详解】解：当时，，但不满足，故命题“，则”是假命题，故答案为：（满足条件即可）．【变式1】（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）要说明命题“一个角的补角大于这个角”是假命题，可举反例为 ．【答案】答案不唯一，如：角的补角是，而小于【分析】本题主要考查命题中关于假命题的知识，当一个命题是假命题时，可以举出很多例子与假命题所陈述的内容相悖，这个例子就叫做假命题的一个反例．根据题意所举的反例为一个角的度数为，则补角为，即可说明原命题是假命题．【详解】解：设这个角度数为，当时，这个角的补角小于这个角.故答案不唯一，如：角的补角是，而小于，故答案为：答案不唯一，如：角的补角是，而小于．【变式2】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ．【答案】 1（答案不唯一）【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键．根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答．【详解】解：当时，，但，故答案为：，1．题型04 写出命题的题设与结论【典例4】（2025八年级上·全国·专题练习）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是 ，结论是同位角相等．【答案】两直线平行【分析】本题考查命题的定义．将命题改为““如果……那么……”的形式即可判断．【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”可改为“如果两条直线平行，那么同位角相等”，因此该命题的条件是两直线平行．故答案为：两直线平行．【变式1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ．【答案】 连接直线外一点与直线上一点的所有线段 垂线段最短【分析】本题考查了命题的组成（题设和结论），解题的关键是理解命题的结构，准确分离出题设和结论部分．将“垂线段最短”改写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论．【详解】解：命题“垂线段最短”可以改写为：如果从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段，那么垂线段最短．所以题设是从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段；结论是垂线段最短．故答案为：连接直线外一点与直线上一点的所有线段；垂线段最短．【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ；该命题的条件是 ，结论是 ．【答案】 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 两个角是同一个角的余角 这两个角相等【分析】本题主要考查了命题与定理，根据命题的构成，如果前面是条件，那么后面是结论，解答即可．【详解】解：同角的余角相等改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，该命题的条件是：两个角是同一个角的余角，结论是：这两个角相等，故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；两个角是同一个角的余角；这两个角相等．题型05 判断使两直线是否平行【典例5】（24-25七年级下·广东揭阳·月考）如图，由下列条件不能得到的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并运用．利用平行线的判定定理进行分析即可．【详解】解：A、当时，根据内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意；B、当时，根据同位角相等，两直线平行得，故B不符合题意；C、当时，根据同旁内角互补，两直线平行得，故C不符合题意；D、与不属于同位角或内错角，故不能判定，故D符合题意，故选：D．【变式1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，下列条件无法判定的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意；B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意；C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意；D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项符合题意；故选：D．【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，，那么D．如果，，，那么【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答．【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意；B、若，则，结论正确，本选项不符合题意；C、若，∴，∵，∴，∴，原结论错误，本选项符合题意；D、若，，∴，∵，∴，∵，∴，结论正确，本选项不符合题意．故选：C．题型06 补充条件使两直线平行【典例6】（24-25七年级下·陕西铜川·期末）如图，若要使，则可以添加的一个条件是 ．（只填一个）【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查平行线的判定，熟悉平行线判定是解题关键.【详解】解：当，则（同位角相等，两直线平行）；当，则（同旁内角互补，两直线平行）；当，则（同位角相等，两直线平行）；当，则（内错角相等，两直线平行）；当，则（同旁内角互补，两直线平行）；故答案为：或或或或 （答案不唯一）.【变式1】（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件 ，使得．（写出一种情况即可）【答案】或或（答案不唯一，填一个即可）【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可．【详解】解：∵，∴（同位角相等，两直线平行）；∵，∴（同旁内角互补，两直线平行）；∵，∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）．【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行．【答案】/45度【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角、同位角相等两直线平行是解题的关键；由内错角相等，两直线平行，即可得到答案．【详解】解：,要使木条，由内错角相等，两直线平行得：当时，．故答案为：．题型07 利用平行线的性质求解【典例7】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，已知，，则的度数为 ．【答案】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据“内错角相等，两直线平行”判定，再根据平行线的性质可得，由此求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，又∵，∴．故答案为：．【变式1】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知平分，于点E，，则 ．【答案】【分析】直接利用平行线的判定得出，进而得出，利用角平分线的定义结合已知得出，即可得出答案．此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出是解题关键．【详解】解：，，，，，平分，又，．故答案为：．【变式2】（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）如图直线，点 C 在上，点 B 在 ， ，则 【答案】/65度【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，余角性质，解答即可．本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】如图，∵，，∴．故答案为：．题型08 平行线的判定与性质多结论问题【典例8】（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】①②③⑤【分析】本题考查平行线的判定和性质.根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴；故①正确；∴；故③正确；∴；故②正确；∴；故⑥错误；∵，，∴，∴；故⑤正确；条件不足，无法得到；故④错误；故答案为：①②③⑤．【变式1】（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是 ．①；②；③；④；⑤若，则．【答案】①②⑤【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．①根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；②由，得到，得出．③平分，得出，从而计算出．④由，得出．⑤由，得到，再得到，从而计算出．【详解】解：∵，，平分，，，故①正确，符合题意；，，，，故②正确，符合题意；平分，，，，故③错误，不符合题意；，，故④错误，不符合题意；，，，，，故⑤正确，符合题意．故答案为：①②⑤．【变式2】（2025·福建福州·模拟预测）如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确的结论是（填序号） ．【答案】①②③【分析】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、角平分线定义及余角关系，①根据条件，得，与为同位角，根据平行线判定定理（同位角相等，两直线平行），可推导，故①正确； ②由，可得为等腰三角形（底角相等），但又因为，即可得出平分；故②正确；③由余角关系得，可得，故③正确，所以，结合，再通过平分及等腰三角形性质，计算，故④错误．【详解】解：∵，，∴，∴，故①正确，符合题意；∴，∵，∴，∴平分；故②正确，符合题意；∵的余角比大，∴，∵，∴，∴，故③正确，符合题意；设，，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，故④错误，不符合题意；综上，正确的是①②③；故答案为：①②③．题型09 平行线的判定与性质的综合问题【典例9】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）如图，射线被直线所截，交点分别为，连接，若平分．(1)试说明的理由；(2)若，求的度数？【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】本题考查了平行线的判定与性质．（1）根据同角的补角相等可得，根据平行线的判定即可得证；（2）根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，，根据已知条件，即可求解．【详解】（1）解：，，，；（2）平分，，，，，，又，．【变式1】（25-26八年级上·湖北宜昌·月考）如图，A，D，E三点在同一条直线上，且．(1)求证：；(2)当满足什么条件时，？并说明理由【答案】(1)见解析(2)当时，，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好．（1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可；（2）结合，则，根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可．【详解】（1）证明：，，，，即；（2）解：当时，，理由如下：∵，∴，，，，则，∴，∴，则，∴．【变式2】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图，，直线分别与、交于点、点，连接，且．(1)若，求的度数；(2)判断与的位置关系，并说明理由；(3)若平分，平分，交于点，试判断与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)．见解析(3)．见解析【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．（1）根据平行线的性质得到，进而根据计算即可；（2）根据平行线的性质得到，进而可知，即可得到；（3）根据平行线的性质得到，，，根据角平分线的定义得到，可知．【详解】（1），．又，；（2）．理由：，．又，，；（3）与的数量关系为：．理由：，，，．平分，平分，，． 一、单选题1．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）下列语句不是命题的是（   ）A．平行于同一条直线的两条直线平行B．同位角都相等C．如果，那么D．延长线段至点C【答案】D【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对事件作出判断的语句，叫做命题，进行判断即可．【详解】解：A，B，C选项都对事件作出了判断，是命题，D选项没有对事件作出判断，不是命题；故选：D．2．（2024·广东·模拟预测）下列命题中，是真命题的为（　　）A．相等的角是对顶角B．平行于同一条直线的两条直线平行C．是有理数D．若，则【答案】B【分析】本题考查了真假命题，对顶角，平行线公理的推论，无理数，绝对值的意义，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据对顶角的定义，平行线公理的推论，无理数的定义，绝对值的意义分别判断各选项即可．【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，本选项不符合题意；B、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，本选项符合题意；C、是无理数，原命题是假命题，本选项不符合题意；D、若，则，原命题是假命题，本选项不符合题意；故选：B．3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列图形中，由，能得到的是（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键，根据平行线判定方法依次判定即可．【详解】解：A、由，能得到，故本选项不符合题意；B、由，能得到，故本选项不符合题意；C、由，无法得到，故本选项不符合题意；D、由，能得到，故本选项符合题意；故选：D．4．（24-25七年级下·贵州·月考）以下可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】本题考查了有理数的大小比较、命题与定理、绝对值的意义，根据题意所表达的意思，逐项分析即可得解，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：A、当，时，，此时，，则，不符合题意；B、当，时，，不符合题意；C、当，时，，此时，，则，符合题意；D、当，时，，不符合题意；故选：C．5．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的同位角相等以及角平分线平分角是解题的关键．结合条件，根据平行线的性质及平角定义可得的度数，再由角平分线的定义即可算出．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵是的平分线，∴．故选：C．6．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，已知，，、分别为的角平分线，则下列说法正确的是（   ）①；②；③平分；④．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【答案】D【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案．【详解】解：如图，延长交于，∵，∴，∵，∴，∴，①正确，故符合要求；∵分别为的角平分线，∴，，如图，过作，∴，∴，，∵，∴∴，∴④正确，故符合要求；∵，∴，，∵，∴，∴平分，∴③正确，故符合要求；∵，∴，∵与的位置关系不确定，∴与的大小关系不确定，∴不一定成立，∴②错误，故不符合要求；∴正确的共有3个，①③④故选D．二、填空题7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）“直角三角形的两个锐角互余”是 ．（填“公理”或“定理”）【答案】定理【分析】本题主要考查了公理和定理的判定，根据公理和定理的定义进行判断即可．解题的关键是熟练掌握公理：人类理性认知中不证自明的基本事实（如“两点确定一条直线”），经过长期实践检验被普遍接受，构成数学体系的逻辑起点；定理：通过严格逻辑证明从公理、定义或其他定理推导出的真命题，其真实性依赖于演绎推理过程．【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”是定理．故答案为：定理．8．（25-26八年级上·全国·课后作业）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ．【答案】如果同旁内角互补，那么两直线平行【分析】本题考查了命题改写，掌握“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题的关键．根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析解答即可．【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”，写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”．故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行．9．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，补充一个条件，使成立，这个条件可以是 ．【答案】（或或）【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．根据平行线的判定方法作答即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：（或或）10．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可举出反例“ ”．【答案】【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、假命题的概念解答．【详解】解：当时，，说明命题“若，则”是假命题，故答案为：．11．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘与平行，与平行，与的夹角为，与的夹角为，则 °．【答案】135【分析】本题考查平行线的性质，周角的定义，掌握知识点是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，先求出，再由周角为，即可解答．【详解】解：∵，， ， ，∴，∴．故答案为：135．12．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）如图，点E在延长线上，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上的一动点，Q为上一点，且满足，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值，其中正确的结论有 ．【答案】①②③④【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，余角和补角的性质，准确分析计算是解题的关键．利用平行线的判定和性质，角平分线的性质，余角和补角的性质，逐项进行判断即可．【详解】解：①∵，∴，，∵，,∴，故①正确，符合题意；②∵，∴∵，∴，∴平分，故②正确，符合题意；③∵，，∵比的余角小，则，，，∴,故③正确，符合题意；④∵为的平分线，∴，∵，∴，∴，故④正确，符合题意；故答案为：①②③④．三、解答题13．（2025八年级上·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）正数大于一切负数吗？（2）两点之间线段最短；（3）2不是无理数；（4）作一条直线和已知直线平行．【答案】（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题【分析】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．根据命题的定义即可求解．【详解】解：由命题的定义可得（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题．14．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题．(1)互为相反数的两个数的和为零；(2)同旁内角互补．【答案】(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零，是真命题(2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补．是假命题【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键．（1）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假；（2）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假．【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题；（2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题，反例：如图，和是同旁内角，但两直线不平行，故和不互补．15．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，已知，于D，于F．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行，证明即可；（2）根据垂直于同一直线的两直线平行，平行线的性质解答即可．本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，∴，∴．（2）解：∵，∴；∵，，∴，∴，∴．16．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，点、在上，且，，．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质．根据，可知，根据两直线平行，内错角相等，可证，利用可证结论成立；根据可知，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立．【详解】（1）证明：，，，，，在和中，，；（2）证明：由可知，，．17．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，是直角三角形，，，操作发现：(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；(3)如图3，此时发现与又存在新的数量关系，直接写出与的数量关系．【答案】(1)(2)详见解析(3)，详见解析【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质．（1）根据平角的定义，平行线的性质进行计算即可；（2）根据三角形内角和定理，平行线的性质以及对顶角相等进行计算即可；（3）根据三角形内角和定理及对顶角的性质进行计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴，又∵，∴；（2）解：如图2，过点B作，则，∵，∴，，又∵，∴，即；（3）解：，理由如下：由三角形内角和定理可得，，而，∴．18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，点H在线段上，点E在线段上，过点E作线段、，使，． (1)如图1，求证：；(2)如图2，连接，过点F作交线段于点M，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点T，平分交的延长线于点R，点N在线段TF上，连接，过点R作交的延长线于点K，若，，的面积为9，求的长度．（提示：不能直接应用三角形内角和为）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．（1）根据得到，进而证明，即可证明，根据，即可证明；（2）过点F作，即可得到，，证明，得到，从而证明，即可证明；（3）过点F作交于O，设，则，证出，过点R作，则，证，进而得出，由平行线的性质得，再由三角形面积关系即可得出答案﹒【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）解：过点F作， ∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：过点F作交于O﹒ ∴，∴，∵平分，∴设，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵且，∴，∴，过点R作，∴，∵且，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴在中，∵，，∴，∴﹒教学目标1.梳理定义、命题、公理、定理等核心概念，明确命题的构成与真假判断方法，构建单元知识网络。2.掌握综合法证明的步骤与规范，能清晰区分平行线的判定与性质，并灵活运用进行推理。3.体会证明的必要性，提升逻辑推理与规范表达能力，树立严谨的数学思维意识。教学重难点1.重点（1）系统整合单元知识，深化对命题、证明等概念的理解，熟练掌握证明的规范书写格式。（2）灵活运用平行线的判定与性质、三角形内角和定理等解决几何证明问题，构建清晰推理链。2.难点（1）难以将零散知识结构化，在复杂图形中易混淆平行线的判定与性质，导致推理方向错误。（2）证明思路构建困难，尤其在需添加辅助线的问题中，无法有效衔接已知与求证，推理依据缺失。