初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.3 因式分解法教学ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.3 因式分解法教学ppt课件，共33页。PPT课件主要包含了因式分解，解下列方程，左边分解因式得，用不同方法解方程，x2−7x0，解一元二次方程，解移项得，一个二次三项式，整式的乘法，反过来得等内容，欢迎下载使用。
情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s后的离地高度（单位：m）约为10x−5x²根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x s落回地面：这时它离地面的高度为0m，即10x−5x²=0将方程的左边分解因式，得x(10−5x)=0这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道：如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0：
反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.所以x=0，或10−5x=0因此，方程10−5x=0的两个根是x1=0，x2=2.对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2=2表示物体在抛离地面2 s时落回地面.
解方程10x−5x²=0时，二次方程是如何降为一次的？
可以发现，在上述解法中，由10x−5x²=0到x=0，或10−5x=0的过程，不是用开平方降次：而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 10 −5x= 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
10x − 5x2 = 0 ①
解方程时，二次方程是如何降为一次的？
x(10 −5x) = 0 ②
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
解：(1)左边分解因式，得
(2)移项、合并同类项，得
∵ a=1,b=−7,c=0.
∴ b2−4ac = (−7)2−4×1×0=49.
解：将原方程的左边分解因式得：
则 ，或
1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，应选用直接开平方法；2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，应选用因式分解法；3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法.
配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法首接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程.
则x=0 ，或3x−17=0，
将方程的左边分解因式，得
(3m + 2)2 − 7(3m + 2) + 10 = 0．
解：分解因式，得(3m + 2 − 2)(3m + 2 − 5) = 0.
∴ 3m + 2 − 2 = 0， 或 3m + 2 − 5 = 0，
解得 m1 = 0，m2 = 1.
x2−2mx−4n2+m2=0
解： x2−2mx+m2−4n2=0
(x−m)2−(2n)2=0
(x−m+2n) (x−m−2n)=0
x−m+2n=0或 x−m−2n=0
∴x1= m−2n， x2= m+2n
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (a，b 均为常数)
两个一次二项式相乘的积
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a + b，那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解.
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
解方程：x2 + 6x − 7 = 0.
解：因式分解得(x + 7)(x − 1) = 0.
∴ x + 7 = 0， 或 x − 1 = 0.
∴ x1= −7， x2 = 1.
用十字相乘法解下列方程：
(1) x2 −5x + 6 = 0；
解：分解因式，得(x − 2)(x − 3) = 0，
(2) x2 + 4x − 5 = 0；
解：分解因式，得(x + 5)(x − 1) = 0，
解得 x1 = 2，x2 = 3.
解得 x1 = −5，x2 = 1．
已知实数m，n满足 ，则 的值为（     ）A．3 B．5 C．5或3 D．−3或5
已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程 的根，则这个三角形的周长为（     ）A．25 B．21 C．19 D．17
如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
因式分解的常见方法有ma + mb = m(a + b)；a2±2ab + b2 = (a±b)2；a2 − b2 = (a + b)(a − b).0
将方程左边因式分解，使右边为 0
右化零，左分解；两因式，各求解
方程 的根是__________．
若关于x的一元二次方程 的一个根是10，则另一个根是______．
某景区古莲花池内一个景观石的坐标为 且满足：m，n是一元二次方程 的两个根， ，则表示景观石位置的点 在（     ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
定义一种新运算※，规定： ，如： ，则方程 的解为（     ）A． B．x1=0， C．x1=0， D． ，
用适当的方法解方程：(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
解：变形得 (3x − 5)(x + 5) = 0. 即 3x − 5 = 0，或 x + 5 = 0. 解得
解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 =
(3) x2 − 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1.
解：配方，得 x2 − 12x + 62 = 4 + 62， 即 (x − 6)2 = 40. 开平方，得 解得 x1 = ， x2 =
解：整理成一般形式，得 3x2 − 4x − 1 = 0. ∵ Δ = b2 − 4ac = 28 > 0，
解:(5)将方程左边分解因式,得x(x+1)=0,∴x=0或x+1=0. ∴x1=0,x2=−1.
(6)将方程左边分解因式,得
(7) 3x2＋2x＝0； (8) x2＝3x.
解:移项，得x2−3x＝0.方程左边分解因式，得 x(x−3)＝0.所以x＝0或x−3＝0.得x1＝0，x2＝3.
(9)移项、合并同类项，得
因式分解，得 (2x＋1)(2x − 1) = 0.
∴ 2x＋1 = 0，或 2x − 1 = 0.