沪科版九年级下册24.5 三角形的内切圆精品当堂达标检测题

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题24.11三角形的内切圆

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•荆门一模）如图，点为的内心，，，，则的面积是　　

A． B． C．2 D．4

【分析】过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含30度角的直角三角形可得的长，进而可得的面积．

【解析】如图，过点作的延长线于点，

点为的内心，，

，

，

，，

，

的面积．

故选：．

2．（2021•绍兴模拟）如图，等边三角形的边长为，高为，内切圆、外接圆的半径分别为，，则下列结论不正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为，根据角所对的直角边是斜边的一半得：；等边三角形的高是与的和，根据勾股定理即可得到结论．

【解析】如图，是等边三角形，

的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为，

设，，，

，故正确；

，

，

在中，

，故正确；

，

，

，

，，

，，故错误，正确；

故选：．

3．（2020秋•曲靖期末）如图，中，内切圆和边、、分别相切于点、、，若，，则的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】连接、，如图，根据切线的性质得到，利用四边形的内角和得到，再利用圆周角定理得到，然后根据三角形内角和求出，从而可计算出．

【解析】连接、，如图，

内切圆和边、分别相切于点、，

，，

，

，

，

，

，，

，

．

故选：．

4．（2021•广东模拟）如图，和分别是的外切正三角形和内接正三角形，若的面积为1，则的面积为　　

A．8 B．6 C．4 D．2

【分析】过点作垂足为，交于点，连接，则，，三点一定共线，设，则，再求得，的长，根据三角形的面积公式即可得出和的面积之比，根据的面积为1，则可得的面积．

【解析】过点作垂足为，交于点，连接，

和分别是的外切正三角形和内接正三角形，

设，则，

，

，，，，，

，

，

，

当的面积为1，

则的面积为4．

故选：．

5．（2021•安徽模拟）如图，为的内心，，，，交于点，则的值为　　

A． B． C．8 D．

【分析】设圆与分别切于点、、，设，证明四边形为正方形，利用求得的值，由得出，得到，即可求得的长．

【解析】如图，设圆与分别切于点、、，

设，

圆与分别切于点、、，

，，，

四边形为矩形，

，

四边形为正方形，

，

，，

，，

，

，

，

，

，，，

、、三点共线，

，

，

，

，

故选：．

6．（2020秋•周村区期末）如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系．

【解析】点是的外心，

，

，

点是的内心，

，，

，

，

，

，

，

．

，

．

故选：．

7．（2020秋•张店区期末）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为　　

A．1 B． C．2 D．

【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．

【解析】，，，

，

如图，分别连接、、、、、，

是内切圆，、、为切点，

，，于、、，，

，

，

，

．

故选：．

8．（2021春•江汉区校级月考）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可找到的值．

【解析】如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线相交于、、于点、、，设的半径为，则：

，

，

，

又的长为，

，

，

即，，

，

故、、错误，

故选：．

9．（2021•武昌区模拟）如图，为内切圆，，延长线交于点，若，，则的长为　　

A． B．1 C． D．

【分析】连接，，，，，利用已知易证四边形为正方形，利用，得出比例式，进而求出圆的半径，在利用角平分线的性质得出，最后利用直角三角形的内切圆的半径的关系列出关于的方程即可求解．

【解析】如图，设与的切点为，，，

连接，，，，．

为内切圆，切点为，，，

，，．

切于，切于，

，．

，

四边形为矩形．

，

矩形为正方形．

设圆的半径为，则．

，

．

．

．

是的内心，

平分．

．

平分．

．

设，则．

，，，

．

．

．

即．

故选：．

10．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，是的内切圆，切点分别相为点、、，设的面积、周长分别为、，的半径为，则下列等式：①；②；③；④，其中成立的是　　

A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③

【分析】①正确，首先证明,同法可证,,由,可得．

②正确，利用面积法证明即可．

③正确，证明,可得结论．

④正确，利用切线长定理解决问题即可．

【解析】如图，作直径,连接．

是的切线，

,

,

,

是直径，

,

,

,

,

,

同法可证，,,

,

,故①正确，

连接,,,,．

,故②正确，

,

,

,,

,故③正确，

是的内切圆，切点分别相为点、、，

,,,

,故④正确，

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021秋•高港区月考）若方程的两个根分别是直角三角形两直角边的长，则这个直角三角形的内切圆半径为　 　1　．

【分析】解一元二次方程求出的两个根就是直角三角形的两条直角边的长，两出图形，由勾股定理求出直角三角形的斜边的长，再由切线长定理即可求出其内切圆的半径的长．

【解析】如图，中，，，是的内切圆，与、、边的切点分别为、、，

设方程的两个根分别是、边的长，连接、，则，，

，

四边形是矩形，

，

四边形是正方形；

，，

；

解方程得，，

，，

，

，

，

，

，

这个直角三角形的内切圆半径为1，

故答案为：1．

12．（2020秋•衢州期末）如图所示，三角形中，，，，则它的内切圆半径为 　2　．

【分析】先判定三角形为直角三角形，再利用切线长定理求解．

【解析】如图，设内切圆半径为，

在中，，

为直角三角形，

，，，，，

四边形为正方形，

，，，

，

解得，

故答案为．

13．（2021•游仙区模拟）如图，在中，，其周长为20，是的内切圆，其半径为，则的外接圆直径为 　　．

【分析】设的外接圆圆心为，连接，，作于点，在圆上取点，连接，，作于点，设，，，根据三角形内心定义可得，可得，根据勾股定理可得，再根据是内心，可得平分，平分，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据垂径定理和勾股定理即可求出的长．

【解析】如图，设的外接圆圆心为，连接，，作于点，

在圆上取点，连接，，作于点，

设，，，

，

，

，

，

周长为，的内切圆半径为，

，

，

，

在中，根据勾股定理，得

，

即，

整理得：，

，

，

解得，

，

是内心，

平分，平分，

，

，

，

，

，

，

，

，，

．

外接圆直径为．

故答案为：．

14．（2021•温州模拟）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，，若，则　　．

【分析】利用直角三角形性质求出，再利用切线性质求出，再利用四边形内角和为，即可求得答案．

【解析】在中，，，

，

是的内切圆，与，，分别切于点，，，

、是的切线，

，

，

故答案为：．

15．（2021•绍兴模拟）如图，在中，交，于点，，与的内切圆相切．若的周长为12，则的最大值为 　　．

【分析】设，由切线长性质可得，，，，可得的周长，由相似三角形的性质可得与的函数解析式，即可求得的最大值．

【解析】如图，设切点分别为点，点，点，点，

，，，都与内切圆相切，

，，，，

，，

周长为12，

，

，

的周长，

，

，

，

，

，

即时，的最大值为．

故答案为：．

16．（2021•武汉模拟）如图，内切于正方形，边，上两点，，且是的切线，当的面积为时，则的半径是　　．

【分析】设正方形的边长为，则，设，，则，，，利用勾股定理得出，再由，得出，从而求出，得到．

【解析】设与相切于，与相切于，与相切于，

设正方形的边长为，

，

设，，

在中，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

的半径为，

故答案为：．

17．（2021•越秀区校级模拟）如图，在中，，、、的对边分别为、、，，内切于，且半径为4，则　60　．

【分析】设切点分别是、、，连接、、，则，，，中，，可得，解得，进而可得答案．

【解析】设切点分别是、、，连接、、，则，，，

，

四边形是正方形，

，

，，

根据切线长定理可得：

,,，

中，，

，

解得，，

．

故答案为：60．

18．（2021春•长兴县月考）如图，矩形，，，点为边上的中点，点是的内切圆圆上的一个动点，点是的中点，则的最大值是　　．

【分析】由矩形性质和勾股定理可得，设内切圆半径为，由面积法可得，连接，易证为的中位线，得出，当经过圆心时，最长，则此时最大，作与点，与点，则，，由勾股定理可得，则，从而可得的结果．

【解析】四边形为矩形，

，，

，

设的内切圆半径为，

则有，

即，解得：．

连接，

为中点，为中点，

为的中位线，

，

当经过圆心时，最长，则此时最大，

作与点，与点，

则，

，

，

，

．

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021•即墨区一模）如图，有一块三角形材料，请你在这块材料上作一个面积最大的圆．

【分析】可作出任意两个内角的平分线，作出内切圆．

【解析】分别作，的角平分线，交点即为圆心，再作圆．

如图所示：

20．（2021•诸暨市模拟）如图，在的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点，，在格点（正方形网格的交点）上．

（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形的外心；

（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形的内心．

【分析】（1）根据三角形外心的概念，作直角三角形斜边中点即可；

（2）根据三角形内心的概念，作三角形的两内角平分线交点即可．

【解析】（1）如图，点即为所求；

（2）如图，点即为所求．

21．（2020秋•钦州期末）如图，为的内心，连接并延长交的外接圆于点．

求证：．

【分析】根据点是的内心得出，，求出，即可得出答案．

【解析】证明：如图，连接，

点是的内心，

，，

，

，

，

，，

，

，

；

22．（2021•毕节市）如图，是的外接圆，点是的内心，的延长线交于点，交于点，连接，．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【分析】（1）依据三角形内心的性质可得，，由圆周角定理的推论可得．从而可证，根据等角对等边即可得结论；

（2）由，，即可判定，所以，设，可化为，解得，从而可求的长．

【解析】（1）证明：点是的内心，

平分，平分，

，，

又与所对弧为，

．

，，

即，

故．

（2）解：，，

，

①，

，，设，

由（1）可得，

则①式化为，

解得：，（不符题意，舍去），

则．

23．（2021•瑶海区模拟）已知：如图，在中，点是的内心（三角形三条角平分线的交点），延长与的外接圆交于点，连接，．

求证：（1）；

（2）若，，求的长．

【分析】（1）连接，由三角形的内心得，，再由三角形的外角性质和圆周角定理得，即可得出结论；

（2）过点作于，由（1）得：，则，得，再由等腰三角形的性质得，然后证，由含角的直角三角形的性质即可解决问题．

【解析】（1）证明：连接，如图1所示：

点是的内心，

平分，

，，

，，，

，

；

（2）解：过点作于，如图2所示：

由（1）得：，

，

，

，

，

，

，

，

，，

．

24．（2020秋•大冶市期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点、过作直线．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求的半径．

【分析】（1）连接交于，根据圆周角定理和切线的判定即可证明；

（2）连接，由点是的内心，得到，，推出，根据等角对等边得到，即可得到结论；

（3）根据垂径定理和勾股定理即可求出结果．

【解析】（1）证明：连接交于，如图，

点是的内心

平分，

即，

，

，，

，

，

是的切线；

（2）证明：连接，

点是的内心，

，

，

，

即，

，

，

，

；

（3）解：连接，，如图，

由（1）得，，

，

，

，，

，

在中，，

，解得：，

在中，

，解得：．